根号を含む式の計算 ── 問題
基礎
- √3 × √10 を計算しなさい。 （ア 30 イ √30 ウ √10 + √3 エ √13）
- 2√5 × 4√7 を計算しなさい。 （ア 6√35 イ 16√3 ウ 1 + 8√35 エ 56√5 undefined 8√35）
- 5/√7 の分母を有理化しなさい。 （ア 5√7 イ 5√7/49 ウ 5√7/7 エ 5/7）
- 5√7 + 6√7 を計算しなさい。 （ア 30√7 イ 11√14 ウ 77 エ 1 + 11√7 undefined 11√7）
- √2 + √3 の計算として正しいものはどれですか。 （ア √6 にまとまる イ √5 にまとまる ウ 2√5 にまとまる エ これ以上まとまらない）
- √12 + √27 の計算として正しいものはどれですか。 （ア 2√3 + 3√3 のまま イ 6√3 ウ 5√3 エ √39）
標準
- √27 + √75 を計算しなさい。 （ア 8√6 イ 8√3 ウ 15√3 エ √102）
- √80 − √5 を計算しなさい。 （ア 5√3 イ 4√5 ウ 5√5 エ 3√5 undefined 15）
- √3 + 9/√3 を計算しなさい。 （ア 12√3 イ 4√3 ウ 2√3 エ 10√3）
- (√3 + 5)² を展開しなさい。 （ア 25 + 11√3 イ 28 + 10√3 ウ 28 エ 28 + 5√3）
- (√10 + √3)(√10 − √3) を計算しなさい。
- √17 の小数部分を b とします。b を根号を使って表しなさい。 （ア b = √17 − 16 イ b = 5 − √17 ウ b = √17 − 5 エ b = √17 − 4）
- 面積が 18 cm² の正方形と、面積が 8 cm² の正方形があります。2 つの正方形の 1 辺の長さの和はどれですか。 （ア √26 cm イ 5√2 cm ウ 4√2 cm エ 6√2 cm）
発展
- (√6 − √2)² を展開しなさい。 （ア 8 − 4√3 イ 8 − 2√3 ウ 4 エ 4 − 4√3）
- (√2 + 5)(√2 − 3) を展開しなさい。 （ア 3√2 − 15 イ −13 ウ 17 + 2√2 エ 2√2 − 13）
- x = √7 + 4、y = √7 − 4 のとき、x² − y² の値を求めなさい。 （ア 16√7 イ 8√7 ウ 112 エ 16）
- x = √2 + 2 のとき、x² − 4x + 4 の値を求めなさい。
- 1/(√3 + 1) の分母を有理化したものはどれですか。 （ア (√3 − 1)/4 イ √3 − 1 ウ (√3 − 1)/2 エ (√3 + 1)/2）
- √13 の小数部分を b とするとき、b² + 6b の値を求めなさい。
根号を含む式の計算 ── 解答
基礎
- イ √30 中どうしをかける：√(3 × 10) = √30。中を簡単にして √30。
- undefined 8√35 外どうし 2 × 4 = 8、中どうし √5 × √7 = √35。8√35。
- ウ 5√7/7 分母と分子に √7 をかける：5√7/7。約分して 5√7/7。
- undefined 11√7 同じ √7 の項は係数をたす：(5 + 6)√7 = 11√7。中はそのまま。
- エ これ以上まとまらない √ の中が違う項はまとめられない。√2 + √3 ≒ 3.14、√5 ≒ 2.24 で違う。
- ウ 5√3 中を簡単にすると 2√3 + 3√3 = 5√3。同じ √3 なのでまとめられる。
標準
- イ 8√3 √27 = 3√3、√75 = 5√3。まとめて 8√3。
- エ 3√5 √80 = 4√5、√5 = √5。(4 − 1)√5 = 3√5。
- イ 4√3 有理化：9/√3 = 9√3/3。√3 + 9√3/3 = 4√3。
- イ 28 + 10√3 (√3)² + 2 × √3 × 5 + 5² = 3 + 10√3 + 25 = 28 + 10√3。
- 7 和と差の積：(√10)² − (√3)² = 10 − 3 = 7。√ が消える。
- エ b = √17 − 4 16 ＜ 17 ＜ 25 なので 4 ＜ √17 ＜ 5。整数部分は 4。小数部分は √17 から整数部分をひいて √17 − 4。
- イ 5√2 cm 1 辺は √18 = 3√2 cm と √8 = 2√2 cm。√ の中どうしは足せない（√26 は誤り）。3√2 + 2√2 = 5√2 cm。
発展
- ア 8 − 4√3 6 − 2√6√2 + 2 = 8 − 2√12。中を簡単にして 8 − 4√3。
- エ 2√2 − 13 公式①：(√2)² + (5 + (−3))√2 + (5)(−3) = 2√2 − 13。
- ア 16√7 因数分解：(x + y)(x − y) = (2√7) × (8) = 16√7。
- 2 x² − 4x + 4 = (x − 2)²。x − 2 = √2 なので (√2)² = 2。先に因数分解する。
- ウ (√3 − 1)/2 分母と分子に √3 − 1 をかける。分母は (√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1 = 2。(√3 − 1)/2。
- 4 整数部分は 3 なので b = √13 − 3。b² + 6b = b(b + 6) = (√13 − 3)(√13 + 3) = 13 − 9 = 4。b をそのまま代入するより因数分解が速い。
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