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小テスト ／ m3-07

二次方程式の利用

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二次方程式の利用 ── 問題

基礎

  1. ある正の数を 2 乗すると、もとの数の 2 倍より 48 大きくなります。この数を求めなさい。
  2. 連続する 2 つの正の整数があり、それぞれの 2 乗の和は 13 です。小さいほうの整数を求めなさい。
  3. 縦が横より 5 cm 短い長方形の面積が 14 cm² です。縦の長さは何 cm ですか。
  4. 二次方程式の文章題で、解が x = 5 と x = −8 になった。「長さを x cm とおいた」とき、答えの書き方として適切なものはどれですか。　（ア x = −8（絶対値が大きいほう）　イ x = 5 と −8 の平均 −1.5　ウ x = 5、−8　エ x ＞ 0 より x = 5。答え 5 cm）
  5. 「連続する 2 つの正の整数」を x を使って表したものはどれですか。　（ア x と x + 2　イ x と x + 1　ウ x と 2x　エ x と x − 2）
  6. 正方形の 1 辺を 2 cm 長くしたら面積が 32 cm² 増えた。もとの 1 辺を x cm として立てた式はどれですか。　（ア 2x² = 32　イ (x + 2)² − x² = 32　ウ (x + 2)² = 32　エ x² + 2 = 32）

標準

  1. 1 辺 x cm の正方形の紙の四隅から 1 辺 1 cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作ったら、底面積が 16 cm² になりました。x を求めなさい。
  2. 縦 8 m、横 19 m の長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道を 1 本ずつ作り、残りの面積を 102 m² にします。道の幅は何 m ですか。
  3. 連続する 2 つの正の偶数の積が 80 です。小さいほうの偶数を求めなさい。
  4. 道の幅の問題で「道を端に寄せる」理由として正しいものはどれですか。　（ア 解を 1 つにするため　イ 道の面積を大きくするため　ウ 道が交差しないようにするため　エ 計算が簡単になるように、残りの部分を 1 つの長方形にまとめるため）
  5. 1 辺 x cm の正方形の紙の四隅から 1 辺 2 cm を切り取って箱を作る問題で、解が x = 12 と x = −4 になった。吟味の条件として最も適切なものはどれですか。　（ア x は整数　イ x ＞ 2　ウ x ＞ 0　エ x ＞ 4（切り取ったあとに底が残る））

発展

  1. 1 個 200 円で 1 日 560 個売れる商品があります。1 円値上げするごとに 1 日の売れる個数が 2 個減ります。1 日の売上を 115000 円にするには何円値上げすればよいですか（2 つある場合は小さいほう）。
  2. 直角三角形（∠C = 90°、AC = BC = 8 cm）で、P は A から C へ毎秒 1 cm、Q は C から B へ毎秒 2 cm で同時に出発します。x 秒後の △PCQ の面積を表す式はどれですか。　（ア 8x　イ −x²/2 + 4x　ウ x² + 8x　エ −x² + 8x）
  3. 値上げの問題を解いたら x = 20 と x = 30 が出て、どちらも条件（個数が正）を満たした。答えとして正しいものはどれですか。　（ア 解が 2 つあるので問題が誤り　イ 20 円と 30 円の両方が答え　ウ 小さい 20 だけが答え　エ 大きい 30 だけが答え）
  4. 動点の問題で、解が x = 6 ± 2√5 となり、変域が 0 ≦ x ≦ 6 のとき、答えはどれですか。　（ア x = 6 + 2√5　イ どちらも範囲外　ウ x = 6 − 2√5　エ 両方）

二次方程式の利用 ── 解答

基礎

  1. 8　x² = 2x + 48 → x² − 2x − 48 = 0 → (x − 8)(x + 6) = 0 → x = 8, −6。正の数なので x = 8。
  2. 2　小さいほうを x：x² + (x + 1)² = 13 → 2x² + 2x + 1 = 13 → x² + x − 6 = 0 → (x − 2)(x + 3) = 0。正の整数なので x = 2（2 と 3）。
  3. 2　縦 x、横 x + 5：x(x + 5) = 14 → x² + 5x − 14 = 0 → (x − 2)(x + 7) = 0。x ＞ 0 より x = 2 cm（横 7 cm）。
  4. エ　x ＞ 0 より x = 5。答え 5 cm　長さは正なので負の解を除く。除いた理由（x ＞ 0）を書いて答える。
  5. イ　x と x + 1　連続する整数は 1 ずつ増える。x、x + 1。
  6. イ　(x + 2)² − x² = 32　新しい面積 − もとの面積 = 32。展開すると 4x + 4 = 32 で x = 7（一次方程式になる）。

標準

  1. 6　底面は 1 辺 (x − 2) の正方形：(x − 2)² = 16 → x − 2 = ±4 → x = 6, −2。x ＞ 2 より x = 6。
  2. 2　道を端に寄せると残りは縦 (8 − x)、横 (19 − x)：(8 − x)(19 − x) = 102 → x² − 27x + 50 = 0 → (x − 2)(x − 25) = 0。0 ＜ x ＜ 8 より x = 2 m。
  3. 8　小さいほうを x：x(x + 2) = 80 → x² + 2x − 80 = 0 → (x − 8)(x + 10) = 0。正なので x = 8（8 と 10）。
  4. エ　計算が簡単になるように、残りの部分を 1 つの長方形にまとめるため　縦横の道を端に寄せても残りの面積は変わらず、残りが 1 つの長方形 (縦 − x)(横 − x) になる。
  5. エ　x ＞ 4（切り取ったあとに底が残る）　底の 1 辺 x − 4 が正でなければならない。x ＞ 4。x ＞ 0 でも今回は同じ結論だが、条件は問題に合わせて書く。

発展

  1. 30　x 円値上げ：(200 + x)(560 − 2x) = 115000。整理すると (x − 30)(x − 50) = 0 の形になり x = 30, 50。どちらも個数が正で条件を満たす。小さいほうは 30 円。
  2. エ　−x² + 8x　PC = 8 − x、CQ = 2x。面積 = (1/2)(PC)(CQ) = (1/2)(8 − x)(2x) = −x² + 8x。
  3. イ　20 円と 30 円の両方が答え　吟味は条件に照らして判断すること。両方が条件を満たせば両方が答え。
  4. ウ　x = 6 − 2√5　6 + 2√5 ≒ 10.5 は 6 を超える。6 − 2√5 ≒ 1.5 は範囲内。√ を含む解は近似値で範囲を確かめる。

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