中3 数学 ／ 数と式 ／ m3-07
二次方程式の利用
この単元でできるようになること
- 文章題を二次方程式で解き、解の吟味（問題に合う解を選ぶ）ができる
- 整数・面積・動点・道幅など、定番の型の式を立てられる
- 2 つ出た解のうち、どちらが答えになるかを条件から判断できる
入試での位置づけ
二次方程式の文章題は、大問の中の 1 問として出題されやすく、「解が 2 つ出るが、片方は問題に合わない」という解の吟味が採点のポイントになります。式を立てる手順は一次方程式・連立方程式の文章題と同じ（何を x とおくか → 等しい関係 → 解く → 吟味）で、「面積」「連続する整数」「道の幅」の 3 型で大半をカバーできます。
1. 手順と解の吟味
まずここだけ
- 求めるものを x とおく（単位つき）
- 等しい関係を見つけて方程式を立てる
- 二次方程式を解く（解は 2 つ出る）
- 解の吟味：問題の条件に合わない解を除く
- 単位をつけて答える
二次方程式では、4 の吟味が一次方程式より重要です。「長さが負」「個数が小数」「範囲を超える」解は答えになりません。「x ＞ 0 より x = 5」のように、除いた理由を書くのが記述の型です。
例：ある数
ある正の数を 2 乗すると、もとの数の 3 倍より 10 大きくなる。この数を求めよ。
x² = 3x + 10 → x² − 3x − 10 = 0 → (x − 5)(x + 2) = 0 → x = 5, −2 x は正の数なので x = 5。答え：5
2. 整数の問題
まずここだけ
連続する 2 つの正の整数があり、それぞれの 2 乗の和は 85 である。2 つの整数を求めよ。
小さいほうを x（x ＞ 0）。x² + (x + 1)² = 85 → 2x² + 2x + 1 = 85 → 2x² + 2x − 84 = 0 → x² + x − 42 = 0 → (x + 7)(x − 6) = 0 → x = 6, −7 x ＞ 0 より x = 6。答え：6 と 7（36 + 49 = 85 ✓）
連続する 3 つの自然数があり、最も大きい数の 2 乗は、他の 2 数の積より 41 大きい。
真ん中を x：(x + 1)² = (x − 1)x + 41 → x² + 2x + 1 = x² − x + 41 → 3x = 40 …これは一次方程式になる例。式を立てたら「本当に二次か」を見て、一次になったらそのまま解きます。
よくある間違い
- 負の解をそのまま答える → 「正の整数」「自然数」の条件で除く
- 「連続する整数」を x、x + 2 にする → 1 ずつ増えるので x、x + 1（連続する偶数・奇数なら +2）
3. 面積の問題
まずここだけ
縦が横より 3 cm 短い長方形があり、面積は 40 cm²。縦の長さを求めよ。
縦を x cm とすると横は x + 3 cm。x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0 → (x + 8)(x − 5) = 0 → x = 5, −8 x ＞ 0 より x = 5。答え：5 cm（横 8 cm、5 × 8 = 40 ✓）
正方形の 1 辺を 2 cm 長くしたら、面積が 32 cm² 増えた。もとの 1 辺を求めよ。
もとの 1 辺 x：(x + 2)² − x² = 32 → 4x + 4 = 32 → x = 7（一次になる例）。答え：7 cm
1 辺 x cm の正方形の紙の四隅から 1 辺 2 cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作ったら、底面積が 64 cm² になった。
底面は 1 辺 (x − 4) の正方形：(x − 4)² = 64 → x − 4 = ±8 → x = 12, −4 → x ＞ 4 より x = 12。答え：12 cm
最後の例は「x ＞ 0」だけでなく、「x − 4 ＞ 0」（切り取ったあとに底が残る）という条件で吟味します。何が正でなければならないかを問題ごとに考えます。
道の幅
縦 10 m、横 15 m の長方形の土地に、縦・横に同じ幅の道を 1 本ずつ作り、残りの面積を 104 m² にしたい。道の幅を求めよ。
道の幅 x。道を端に寄せて考えると、残りは縦 (10 − x)、横 (15 − x) の長方形：(10 − x)(15 − x) = 104 → 150 − 25x + x² = 104 → x² − 25x + 46 = 0 → (x − 2)(x − 23) = 0 → x = 2, 23 0 ＜ x ＜ 10 より x = 2。答え：2 m
「道を端に寄せる」と、残りの部分が 1 つの長方形にまとまり、式が簡単になります。道が何本あっても、同じ向きの道は 1 本にまとめて端に寄せられます。
よくある間違い
- 道の問題で、道の面積を「10x + 15x」とする → 交差部分を 2 回数えている。端に寄せて残りで式を立てる
- x = 23 を除く理由を書かない → 「幅は土地の縦 10 m より小さいので」と条件を明記
ここまでできれば十分
長方形の面積・連続する整数・道の幅の 3 型で式を立て、解を吟味して答えられれば、この単元の中心は合格です。
4. 動点の問題
ここまでできれば十分（の次）
直角三角形 ABC（∠C = 90°、AC = 12 cm、BC = 12 cm）で、点 P は A を出発して AC 上を毎秒 1 cm で C へ、点 Q は C を出発して CB 上を毎秒 2 cm で B へ、同時に動く。△PCQ の面積が 16 cm² になるのは何秒後か。
x 秒後：PC = 12 − x、CQ = 2x。面積 = (1/2)(12 − x)(2x) = (12 − x)x = 16 → 12x − x² = 16 → x² − 12x + 16 = 0 → 解の公式：x = 6 ± √20 = 6 ± 2√5 0 ≦ x ≦ 6（Q が B に着くまで）なので、6 + 2√5 ≒ 10.5 は範囲外。x = 6 − 2√5（≒ 1.5）。答え：(6 − 2√5) 秒後
動点では、x の変域（点がどこまで動けるか）で吟味します。解が √ を含んでも、近似値で範囲に入るかを確かめます。
5. その他の型
もう一歩（発展）
値段と売上：1 個 100 円で 1 日 300 個売れる商品を、1 円値上げするごとに 2 個売れなくなる。売上を 31200 円にするには何円値上げすればよいか。 x 円値上げ：(100 + x)(300 − 2x) = 31200 → 30000 + 100x − 2x² = 31200 → 2x² − 100x + 1200 = 0 → x² − 50x + 600 = 0 → (x − 20)(x − 30) = 0 → x = 20, 30（両方が条件に合う。答えは 2 つ）
解が 2 つとも答えになることもある。「吟味」は機械的に片方を捨てることではなく、条件に照らして判断することです。
関数との融合：y = x² のグラフ上の点 P(t, t²) と原点、点 (4, 0) で作る三角形の面積が 18 になる t（t ＞ 0）。(1/2) × 4 × t² = 18 → t² = 9 → t = 3。m3-10 で扱います。
6. 自己チェック
- 何を x とおいたか、単位つきで書いたか
- 等しい関係を式にしたか（面積 = 縦 × 横、和・積の関係）
- 解は 2 つ出したか。一次方程式になったらそのまま解いたか
- 吟味の条件（x ＞ 0、x − 4 ＞ 0、0 ≦ x ≦ 6 など）を問題に合わせて書いたか
- 2 つとも答えになる場合を見落としていないか
7. 小テストへ
→ 小テスト（m3-07）
関連する単元
- 前提：m1-09 一次方程式の利用、m2-05 連立方程式の利用、m3-06 二次方程式
- 次に進む：m3-08 関数 y=ax²
- ここで使う考え方が出てくる：m3-10 放物線と直線、m3-17 三平方の定理の利用
参考資料
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第3学年 A 数と式 (3) 二次方程式 ── 「二次方程式を具体的な場面で活用すること」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-07/ ／ 更新 2026-09-12