二次方程式の利用 ── 問題
基礎
- ある正の数を 2 乗すると、もとの数の 2 倍より 15 大きくなります。この数を求めなさい。
- 連続する 2 つの正の整数があり、それぞれの 2 乗の和は 25 です。小さいほうの整数を求めなさい。
- 縦が横より 3 cm 短い長方形の面積が 88 cm² です。縦の長さは何 cm ですか。
- 二次方程式の文章題で、解が x = 5 と x = −8 になった。「長さを x cm とおいた」とき、答えの書き方として適切なものはどれですか。 （ア x = −8（絶対値が大きいほう） イ x = 5 と −8 の平均 −1.5 ウ x = 5、−8 エ x ＞ 0 より x = 5。答え 5 cm）
- 「連続する 2 つの正の整数」を x を使って表したものはどれですか。 （ア x と x + 2 イ x と x + 1 ウ x と 2x エ x と x − 2）
- 正方形の 1 辺を 2 cm 長くしたら面積が 32 cm² 増えた。もとの 1 辺を x cm として立てた式はどれですか。 （ア 2x² = 32 イ (x + 2)² − x² = 32 ウ (x + 2)² = 32 エ x² + 2 = 32）
標準
- 1 辺 x cm の正方形の紙の四隅から 1 辺 2 cm の正方形を切り取り、ふたのない箱を作ったら、底面積が 16 cm² になりました。x を求めなさい。
- 縦 10 m、横 17 m の長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道を 1 本ずつ作り、残りの面積を 144 m² にします。道の幅は何 m ですか。
- 連続する 2 つの正の偶数の積が 80 です。小さいほうの偶数を求めなさい。
- 道の幅の問題で「道を端に寄せる」理由として正しいものはどれですか。 （ア 2 次方程式の解が 1 つだけになるようにするため イ 道の面積が大きくなるようにするため ウ 縦と横の道が交差しないようにするため エ 残りの部分を 1 つの長方形にまとめるため）
- 1 辺 x cm の正方形の紙の四隅から 1 辺 2 cm を切り取って箱を作る問題で、解が x = 12 と x = −4 になった。吟味の条件として最も適切なものはどれですか。 （ア x は整数（長さは整数で答える） イ x ＞ 2（切り取る 2 cm より長い） ウ x ＞ 0（長さは正の数） エ x ＞ 4（切り取ったあとに底が残る））
- n 角形の対角線の本数は n(n − 3)/2 本です。対角線が 152 本になるのは何角形ですか（n の値を答えなさい）。
- ある正の整数に 2 を加えてから 2 乗するところを、まちがえて 2 を加えてから 2 倍したため、正しい答えより 24 小さくなりました。ある正の整数を求めなさい。
- 横が縦より 4 cm 長い長方形の紙の四すみから 1 辺 2 cm の正方形を切り取り、ふたのない箱をつくったら、容積が 64 cm³ になりました。紙の縦を x cm として立てた方程式はどれですか。 （ア 2x(x − 4) = 64 イ x(x − 4) = 64 ウ 2(x − 4)(x + 4) = 64 エ 2(x − 2)(x + 2) = 64）
発展
- 1 個 200 円で 1 日 280 個売れる商品があります。1 円値上げするごとに 1 日の売れる個数が 1 個減ります。1 日の売上を 57200 円にするには何円値上げすればよいですか（2 つある場合は小さいほう）。
- 直角三角形（∠C = 90°、AC = BC = 10 cm）で、P は A から C へ毎秒 1 cm、Q は C から B へ毎秒 2 cm で同時に出発します。x 秒後の △PCQ の面積を表す式はどれですか。 （ア −x² + 10x イ 10x ウ x² + 10x エ −x²/2 + 5x）
- 値上げの問題を解いたら x = 20 と x = 30 が出て、どちらも条件（個数が正）を満たした。答えとして正しいものはどれですか。 （ア 解が 2 つあるので問題が誤り イ 20 円と 30 円の両方が答え ウ 小さい 20 だけが答え エ 大きい 30 だけが答え）
- 動点の問題で、解が x = 6 ± 2√5 となり、変域が 0 ≦ x ≦ 6 のとき、答えはどれですか。 （ア x = 6 + 2√5 イ どちらも範囲外 ウ x = 6 − 2√5 エ 両方）
- 1 辺 7 cm の正方形 ABCD があります。点 P は A を出発して辺 AB 上を B まで、点 Q は B を出発して辺 BC 上を C まで、どちらも毎秒 1 cm の速さで同時に動きます。△PBQ の面積が 3 cm² になるのは出発してから何秒後ですか（2 回ある場合は早いほう）。
二次方程式の利用 ── 解答
基礎
- 5 x² = 2x + 15 → x² − 2x − 15 = 0 → (x − 5)(x + 3) = 0 → x = 5, −3。正の数なので x = 5。
- 3 小さいほうを x：x² + (x + 1)² = 25 → 2x² + 2x + 1 = 25 → x² + x − 12 = 0 → (x − 3)(x + 4) = 0。正の整数なので x = 3（3 と 4）。
- 8 縦 x、横 x + 3：x(x + 3) = 88 → x² + 3x − 88 = 0 → (x − 8)(x + 11) = 0。x ＞ 0 より x = 8 cm（横 11 cm）。
- エ x ＞ 0 より x = 5。答え 5 cm 長さは正なので負の解を除く。除いた理由（x ＞ 0）を書いて答える。
- イ x と x + 1 連続する整数は 1 ずつ増える。x、x + 1。
- イ (x + 2)² − x² = 32 新しい面積 − もとの面積 = 32。展開すると 4x + 4 = 32 で x = 7（一次方程式になる）。
標準
- 8 底面は 1 辺 (x − 4) の正方形：(x − 4)² = 16 → x − 4 = ±4 → x = 8, 0。x ＞ 4 より x = 8。
- 1 道を端に寄せると残りは縦 (10 − x)、横 (17 − x)：(10 − x)(17 − x) = 144 → x² − 27x + 26 = 0 → (x − 1)(x − 26) = 0。0 ＜ x ＜ 10 より x = 1 m。
- 8 小さいほうを x：x(x + 2) = 80 → x² + 2x − 80 = 0 → (x − 8)(x + 10) = 0。正なので x = 8（8 と 10）。
- エ 残りの部分を 1 つの長方形にまとめるため 縦横の道を端に寄せても残りの面積は変わらず、残りが 1 つの長方形 (縦 − x)(横 − x) になる。
- エ x ＞ 4（切り取ったあとに底が残る） 底の 1 辺 x − 4 が正でなければならない。x ＞ 4。x ＞ 0 でも今回は同じ結論だが、条件は問題に合わせて書く。
- 19 n(n − 3)/2 = 152 → n² − 3n − 304 = 0 → (n − 19)(n + 16) = 0。n は 3 より大きい整数なので n = 19。
- 4 ある数を x とすると (x + 2)² − 2(x + 2) = 24。x + 2 = M とおくと M² − 2M − 24 = 0 → (M − 6)(M + 4) = 0。x は正なので M = 6、x = 6 − 2 = 4。
- ア 2x(x − 4) = 64 底面の縦は x − 2 × 2 = x − 4、横は (x + 4) − 4 = x、高さは 2。2 × (x − 4) × x = 64 → x² − 4x − 32 = 0 → x = 8（x ＞ 4 なので −4 は不適）。
発展
- 20 x 円値上げ：(200 + x)(280 − x) = 57200。整理すると (x − 20)(x − 60) = 0 の形になり x = 20, 60。どちらも個数が正で条件を満たす。小さいほうは 20 円。
- ア −x² + 10x PC = 10 − x、CQ = 2x。面積 = (1/2)(PC)(CQ) = (1/2)(10 − x)(2x) = −x² + 10x。
- イ 20 円と 30 円の両方が答え 吟味は条件に照らして判断すること。両方が条件を満たせば両方が答え。
- ウ x = 6 − 2√5 6 + 2√5 ≒ 10.5 は 6 を超える。6 − 2√5 ≒ 1.5 は範囲内。√ を含む解は近似値で範囲を確かめる。
- 1 x 秒後、PB = 7 − x、BQ = x。(1/2) × x × (7 − x) = 3 → x² − 7x + 6 = 0 → (x − 1)(x − 6) = 0。どちらも 0 ≦ x ≦ 7 に入る。早いほうは 1 秒後。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-07/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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