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小テスト ／ m3-08

関数 y=ax²（式・グラフ・変域）

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関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 問題

基礎

  1. y は x の 2 乗に比例し、x = 2 のとき y = −20 です。比例定数 a を求めなさい。
  2. y = −5x² について、x = −4 のときの y の値を求めなさい。
  3. y = x² で、x の値が 1 から 2 に変わると、y の値は何倍になりますか。
  4. y = 2x² のグラフについて正しいものはどれですか。　（ア 原点を頂点とし、上に開いた放物線　イ 原点を通る直線　ウ x 軸について対称な曲線　エ 原点を頂点とし、下に開いた放物線）
  5. y = x²、y = 3x²、y = (1/2)x² のグラフのうち、開き方が最も小さい（細い）ものはどれですか。　（ア すべて同じ　イ y = 3x²　ウ y = x²　エ y = (1/2)x²）
  6. y = −3x² のグラフと x 軸について対称なグラフはどれですか。　（ア y = 3x²　イ y = 3x　ウ y = (1/3)x²　エ y = −3x²）
  7. y が x の 2 乗に比例するものはどれですか。　（ア 半径 x cm の円の面積 y cm²　イ 底辺 x cm、高さ 6 cm の三角形の面積 y cm²　ウ 1 辺 x cm の立方体の体積 y cm³　エ 半径 x cm の円の周の長さ y cm）

標準

  1. y = 2x² で、x の変域が 1 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 0 ≦ y ≦ 18　イ 2 ≦ y ≦ 6　ウ 1 ≦ y ≦ 3　エ 2 ≦ y ≦ 18）
  2. y = 2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 8 ≦ y ≦ 18　イ −8 ≦ y ≦ 18　ウ 0 ≦ y ≦ 18　エ 0 ≦ y ≦ 8）
  3. y = −2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 0 ≦ y ≦ 18　イ −18 ≦ y ≦ −8　ウ −8 ≦ y ≦ 0　エ −18 ≦ y ≦ 0）
  4. y = 2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 1 のとき、y の最大値を求めなさい。
  5. y = −2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の最小値を求めなさい。
  6. 図の放物線は関数 y = ax² のグラフです。a の値を求めなさい。
  7. 斜面でボールを転がすと、転がり始めてから x 秒間に進む距離 y m は y = ax² で表されます。3 秒間で 27 m 進んだとき、4 秒間では何 m 進みますか。

発展

  1. y = ax² で、x の変域が −3 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 32 です。a の値を求めなさい。
  2. y = ax² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が −32 ≦ y ≦ 0 です。a の値を求めなさい。
  3. y = x² で y の変域が 4 ≦ y ≦ 16 のとき、x の変域として正しいものはどれですか。　（ア 2 ≦ x ≦ 4　イ −4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4　ウ −4 ≦ x ≦ 4　エ −2 ≦ x ≦ 2）
  4. 放物線 y = ax² が点 (−2, −12) を通るとき、a の値はどれですか。　（ア 6　イ 3　ウ −3　エ −6）
  5. 関数 y = 2x² と一次関数 y = mx + n（m ＞ 0）は、x の変域が −4 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が一致します。m の値を求めなさい。

関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 解答

基礎

  1. −5　y = ax² に代入：−20 = a × (2)² = 4a → a = −5。x² は正になる。
  2. −80　y = −5 × (−4)² = −5 × 16 = −80。
  3. 4　x が 2 倍になると y は 2² = 4 倍（2 乗に比例）。
  4. ア　原点を頂点とし、上に開いた放物線　y = ax² のグラフは放物線。a = 2 ＞ 0 なので上に開き、頂点は原点、y 軸について対称。
  5. イ　y = 3x²　a の絶対値が大きいほど、同じ x で y が大きくなり、グラフは y 軸に近づいて細くなる。
  6. ア　y = 3x²　y = ax² と y = −ax² は x 軸について対称。
  7. ア　半径 x cm の円の面積 y cm²　円の面積は y = πx²（比例定数 π）。周の長さ y = 2πx と三角形 y = 3x は比例、立方体 y = x³ は 3 乗に比例。

標準

  1. エ　2 ≦ y ≦ 18　変域に 0 をふくまないので両端がそのまま端。x = 1 で 2、x = 3 で 18。
  2. ウ　0 ≦ y ≦ 18　変域に x = 0 がふくまれ、そこで y = 0（最小）。最大は絶対値の大きい端 x = 3 で 18。
  3. エ　−18 ≦ y ≦ 0　a ＜ 0 なので x = 0 の y = 0 が最大。最小は絶対値の大きい端 x = 3 で −18。
  4. 8　a ＞ 0 で変域が 0 をまたぐので最小は 0。最大は絶対値の大きい端 x = −2 で y = 2 × −2² = 8。
  5. −18　a ＜ 0 で変域が 0 をまたぐので最大は 0。最小は絶対値の大きい端 x = 3 で y = −2 × 3² = −18。
  6. −3　y = ax² に点 (1, −3) を代入して −3 = a × 1²、a = −3。
  7. 48　27 = a × 3² → a = 3。y = 3x² に x = 4 を代入して y = 3 × 4² = 48。

発展

  1. 2　最小が 0 なので a ＞ 0。最大 32 は絶対値の大きい端 x = 4 で：32 = a × 16 → a = 2。
  2. −2　最大が 0 なので a ＜ 0。最小 −32 は絶対値の大きい端 x = 4 で：−32 = a × 16 → a = −2。
  3. イ　−4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4　x² = 4 で x = ±2、x² = 16 で x = ±4。放物線は左右対称なので 2 つの区間。
  4. ウ　−3　−12 = a × (−2)² = 4a → a = −3。(−2)² = 4（正）に注意。
  5. 4　y = 2x² は x = 0 をふくむので最小値は 0、最大値は端の x = 4 で 32。y の変域は 0 ≦ y ≦ 32。m ＞ 0 の一次関数は x = −4 で y = 0、x = 4 で y = 32。m = (32 − 0) ÷ (4 − (−4)) = 4（n = 16）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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