関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 問題
基礎
- y は x の 2 乗に比例し、x = 1 のとき y = 5 です。比例定数 a を求めなさい。
- y = −2x² について、x = −4 のときの y の値を求めなさい。
- y = 1x² で、x の値が 3 から 12 に変わると、y の値は何倍になりますか。
- y = 2x² のグラフについて正しいものはどれですか。 （ア 原点を頂点とし、上に開いた放物線 イ 原点を通る直線 ウ x 軸について対称な曲線 エ 原点を頂点とし、下に開いた放物線）
- y = x²、y = 3x²、y = (1/2)x² のグラフのうち、開き方が最も小さい（細い）ものはどれですか。 （ア すべて同じ イ y = 3x² ウ y = x² エ y = (1/2)x²）
- y = −3x² のグラフと x 軸について対称なグラフはどれですか。 （ア y = 3x² イ y = 3x ウ y = (1/3)x² エ y = −3x²）
標準
- y = 2x² で、x の変域が 1 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。 （ア 0 ≦ y ≦ 18 イ 2 ≦ y ≦ 6 ウ 1 ≦ y ≦ 3 エ 2 ≦ y ≦ 18）
- y = 2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。 （ア 8 ≦ y ≦ 18 イ −8 ≦ y ≦ 18 ウ 0 ≦ y ≦ 18 エ 0 ≦ y ≦ 8）
- y = −2x² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 3 のとき、y の変域はどれですか。 （ア 0 ≦ y ≦ 18 イ −18 ≦ y ≦ −8 ウ −8 ≦ y ≦ 0 エ −18 ≦ y ≦ 0）
- y = 1x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 4 のとき、y の最大値を求めなさい。
- y = −4x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 4 のとき、y の最小値を求めなさい。
発展
- y = ax² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が 0 ≦ y ≦ 48 です。a の値を求めなさい。
- y = ax² で、x の変域が −3 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域が −80 ≦ y ≦ 0 です。a の値を求めなさい。
- y = x² で y の変域が 4 ≦ y ≦ 16 のとき、x の変域として正しいものはどれですか。 （ア 2 ≦ x ≦ 4 イ −4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4 ウ −4 ≦ x ≦ 4 エ −2 ≦ x ≦ 2）
- 放物線 y = ax² が点 (−2, −12) を通るとき、a の値はどれですか。 （ア 6 イ 3 ウ −3 エ −6）
関数 y=ax²（式・グラフ・変域） ── 解答
基礎
- 5 y = ax² に代入：5 = a × (1)² = 1a → a = 5。x² は正になる。
- −32 y = −2 × (−4)² = −2 × 16 = −32。
- 16 x が 4 倍になると y は 4² = 16 倍（2 乗に比例）。
- ア 原点を頂点とし、上に開いた放物線 y = ax² のグラフは放物線。a = 2 ＞ 0 なので上に開き、頂点は原点、y 軸について対称。
- イ y = 3x² a の絶対値が大きいほど、同じ x で y が大きくなり、グラフは y 軸に近づいて細くなる。
- ア y = 3x² y = ax² と y = −ax² は x 軸について対称。
標準
- エ 2 ≦ y ≦ 18 変域に 0 をふくまないので両端がそのまま端。x = 1 で 2、x = 3 で 18。
- ウ 0 ≦ y ≦ 18 変域に x = 0 がふくまれ、そこで y = 0（最小）。最大は絶対値の大きい端 x = 3 で 18。
- エ −18 ≦ y ≦ 0 a ＜ 0 なので x = 0 の y = 0 が最大。最小は絶対値の大きい端 x = 3 で −18。
- 16 a ＞ 0 で変域が 0 をまたぐので最小は 0。最大は絶対値の大きい端 x = 4 で y = 1 × 4² = 16。
- −64 a ＜ 0 で変域が 0 をまたぐので最大は 0。最小は絶対値の大きい端 x = 4 で y = −4 × 4² = −64。
発展
- 3 最小が 0 なので a ＞ 0。最大 48 は絶対値の大きい端 x = 4 で：48 = a × 16 → a = 3。
- −5 最大が 0 なので a ＜ 0。最小 −80 は絶対値の大きい端 x = 4 で：−80 = a × 16 → a = −5。
- イ −4 ≦ x ≦ −2 または 2 ≦ x ≦ 4 x² = 4 で x = ±2、x² = 16 で x = ±4。放物線は左右対称なので 2 つの区間。
- ウ −3 −12 = a × (−2)² = 4a → a = −3。(−2)² = 4（正）に注意。
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