円周角の定理 ── 問題
基礎
- 弧 AB に対する中心角が 34° のとき、弧 AB に対する円周角は何度ですか。
- 弧 AB に対する円周角が 37° のとき、弧 AB に対する中心角は何度ですか。
- AB を直径とする円の周上に点 P があり、∠BAP = 55° です。∠ABP は何度ですか。
- 円周を 9 等分する点をとりました。隣り合う 2 点の間の弧に対する円周角は何度ですか。
- 円周角の定理の内容として正しいものはどれですか。 （ア 同じ弧の円周角は等しく、中心角の半分 イ 円周角はどこでもつねに 90° ウ 円周角は、同じ弧に対する中心角の 2 倍 エ 円周角は弦の長さに比例する）
- 円周上の 3 点 A、P、B で ∠APB = 90° のとき、いえることはどれですか。 （ア AP = BP イ AB は直径 ウ AB は接線 エ P は中心）
- 図で、点 O は円の中心です。∠x の大きさを求めなさい。
- 図で、点 O は円の中心です。∠x の大きさを求めなさい。
標準
- 円の中心を O、円周上の 2 点を A、B とします。∠OAB = 34° のとき、弧 AB に対する円周角は何度ですか。
- 円周上に 4 点 A、B、C、D があり、弦 AC と BD の交点を P とします。∠ABD = 59°、∠BAC = 31° のとき、∠APD は何度ですか。
- 1 つの円で、弧 AB : 弧 CD = 2 : 1 です。弧 AB に対する円周角が 22° のとき、弧 CD に対する円周角は何度ですか。
- 円に内接する四角形 ABCD で ∠A = 92° のとき、∠C は何度ですか。
- 円周上の 3 点 A、B、C と中心 O について、円周角 ∠ACB が 100° のとき、中心角 ∠AOB（弧 AB の C を含まない側）について正しいものはどれですか。 （ア 200° イ 100° ウ 80° エ 50°）
- 円の角度問題で、図に最初につける印として最も優先度が高いものはどれですか。 （ア すべての弦の長さを、定規で測って図に書きこむ イ 接線の長さを、円の外の点から書きこむ ウ 直径なら円周角 90°、半径なら二等辺の印 エ 円の面積を求めて書きこむ）
- AB = AC の二等辺三角形 ABC の 3 つの頂点を通る円があり、A を含まない弧 BC 上に点 D をとります。∠ADB = ∠ADC を次のように証明します。 ∠ADB = ∠ACB（弧 AB に対する円周角） ∠ADC = ∠ABC（弧 AC に対する円周角） ∠ABC = ∠ACB（【ア】） よって ∠ADB = ∠ADC 【ア】にあてはまる根拠はどれですか。 （ア 弧 BC に対する円周角は等しい イ 二等辺三角形の底角は等しい ウ 対頂角は等しい エ 円に内接する四角形の対角の和は 180°）
発展
- AB を直径とする円の周上に点 C、D があり、∠CAB = 52°、∠DAB = 26° です（C、D は AB について同じ側、D は C より B に近い）。∠CBD は何度ですか。
- 円周を 9 等分する点 A₁、A₂、…があります。A₁ から見て 1 個先の点と 3 個先の点を結んだ弧（A₁ を含まない側・短いほう）に対する円周角は何度ですか。
- 「4 点 A、B、C、P が 1 つの円周上にある」ことを示す方法として正しいものはどれですか。 （ア C、P が AB の同じ側で ∠ACB = ∠APB を示す イ AC ∥ BP（錯角が等しい）を示す ウ ∠ACB + ∠APB = 90° になることを示す エ AB = CP（2 本の弦の長さが等しい）を示す）
- 円周角が弧の長さに比例することについて正しいものはどれですか。 （ア 弦の長さが 2 倍なら円周角も 2 倍になる イ 比例するのは弧の長さで、弦の長さではない ウ 弧と弦はどちらも円周角に比例する エ 円周角は弦の長さにも比例する）
- 円周上に 4 点 A、B、C、D がこの順に並んでいます。∠ACD = 51°、∠DAC = 66° のとき、∠ABC は何度ですか。
円周角の定理 ── 解答
基礎
- 17 円周角は中心角の半分。34 ÷ 2 = 17°。
- 74 中心角は円周角の 2 倍。37 × 2 = 74°。
- 35 直径に対する円周角 ∠APB = 90°。∠ABP = 180 − 90 − 55 = 35°。
- 20 1 つの弧の中心角は 360 ÷ 9 = 40°。円周角はその半分 20°。
- ア 同じ弧の円周角は等しく、中心角の半分 同じ弧に対する円周角は等しく、その弧の中心角の半分。
- イ AB は直径 円周角 90° に対する中心角は 180° なので、弧 AB は半円。AB は直径。
- 70 円周角は中心角の半分。∠APB = ∠AOB ÷ 2 = 140 ÷ 2 = 70°。
- 100 中心角は円周角の 2 倍。∠AOB = 2 × ∠APB = 2 × 50 = 100°。
標準
- 56 △OAB は OA = OB の二等辺三角形。∠OBA = 34°、∠AOB = 180 − 34 × 2 = 112°（中心角）。円周角は 112 ÷ 2 = 56°。
- 90 ∠APD は △ABP の外角 = ∠ABP + ∠BAP = 59 + 31 = 90°。
- 11 円周角は弧の長さに比例。22 × 1/2 = 11°。
- 88 円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180°。∠C = 180 − 92 = 88°。
- ア 200° 中心角は円周角の 2 倍で 200°。円周角が 90° を超えると中心角は 180° を超える。
- ウ 直径なら円周角 90°、半径なら二等辺の印 直径 → 90°、半径 → 二等辺三角形、同じ弧 → 等しい円周角、の順に印をつけると角が追える。
- イ 二等辺三角形の底角は等しい AB = AC なので △ABC は二等辺三角形で、底角 ∠ABC と ∠ACB は等しい。円周角の定理は上の 2 行で使っている。
発展
- 26 ∠ACB = ∠ADB = 90°（直径）。∠ABC = 90 − 52 = 38°、∠ABD = 90 − 26 = 64°。∠CBD = 64 − 38 = 26°。
- 40 2 点の間の弧は 2 区間分。1 区間の円周角は 180/9 = 20°。20 × 2 = 40°。
- ア C、P が AB の同じ側で ∠ACB = ∠APB を示す 同じ辺 AB を同じ側から見込む角が等しければ、4 点は同じ円周上にある。
- イ 比例するのは弧の長さで、弦の長さではない 比例するのは弧の長さ。弦は弧が 2 倍になっても 2 倍にはならない（直径が最大）。
- 117 対角線 BD を引く。∠ABD = ∠ACD = 51°（弧 AD の円周角）、∠DBC = ∠DAC = 66°（弧 DC の円周角）。∠ABC = 51° + 66° = 117°。（△ACD で ∠ADC = 63°、内接四角形の対角の和 180° から求めても同じ）
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-14/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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