中3 数学／図形／ m3-14

更新 2026-09-12

円周角の定理

この単元でできるようになること

円周角と中心角の関係（円周角 = 中心角の半分）がわかり、角を求められる
同じ弧に対する円周角が等しいことを使える
半円の弧に対する円周角が 90° であることを使える
弧の長さと円周角が比例することを使える
円周角の定理の逆（4 点が同じ円周上にある条件）がわかる

入試での位置づけ

円周角は、角度を求める小問として出題されやすく、また円が出てくる証明（相似）の根拠としても頻出です。「同じ弧に対する円周角は等しい」が 2 組の角の 1 つを与え、「直径に対する円周角は 90°」が直角を与えます。二等辺三角形（半径が等しい）・三角形の外角と組み合わせて角を求める問題は、定番中の定番です。

1. 円周角と中心角

まずここだけ

円周上の 1 点 P から、弧 AB の両端に引いた線がつくる角 ∠APB を、弧 AB に対する といいます。弧 AB の両端と中心 O を結んでできる ∠AOB は 中心角（m1-15）です。

          P
        /   \
       /     \       ∠APB：弧 AB に対する円周角
      /   O   \      ∠AOB：弧 AB に対する中心角
     /  /   \  \
    A ─────────B

円周角の定理 ① 1 つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である ② 1 つの弧に対する円周角はすべて等しい（P が円周上のどこにあっても同じ）

中心角 ∠AOB = 80° → 円周角 ∠APB = 40°
円周角 ∠APB = 35° → 中心角 ∠AOB = 70°

なぜ半分か

P と O を結び、△OPA と △OPB が二等辺三角形（OP = OA = OB、半径）であることを使うと、外角の性質から ∠AOB = 2∠APB が示せます。「半径が等しい → 二等辺三角形 → 底角が等しい → 外角」の流れは、円の問題で角を求めるときにそのまま使います。

よくある間違い

円周角を中心角の 2 倍にする → 円周角が半分（中心角のほうが大きい）
「弧 AB に対する」を確かめずに、別の弧の円周角と比べる → 同じ弧に対する円周角どうしが等しい
中心角が 180° を超える場合（大きい弧）を忘れる → 円周角が 90° を超えるとき、中心角は 180° より大きい

2. 半円の弧・直径

まずここだけ

直径に対する円周角は 90°（半円の弧に対する中心角が 180° だから）。

        P
       /│\
      /  │ \        AB が直径なら ∠APB = 90°
     /   │  \
    A────O────B

逆に、∠APB = 90° なら AB は直径（P は AB を直径とする円周上にある）。

「直径」「中心を通る」と書いてあったら、まず 90° の印をつける。直角三角形ができるので、三平方の定理（m3-16）や相似（直角三角形の相似）につながります。

例

AB が直径、∠BAP = 35° のとき ∠ABP は？ ∠APB = 90° → ∠ABP = 180 − 90 − 35 = 55°

3. 円周角と弧の長さ

まずここだけ

1 つの円で

弧の長さが等しい ⇔ 円周角が等しい 弧の長さが 2 倍 → 円周角も 2 倍（円周角は弧の長さに比例）

円周を 6 等分する点をとると、隣り合う点の間の弧に対する円周角は 180 ÷ 6 = 30°（中心角 60° の半分）弧 AB : 弧 CD = 2 : 3 で、弧 AB の円周角が 24° なら、弧 CD の円周角は 36°

「円周を n 等分」の問題は、1 つの弧に対する円周角 = 180°/n を単位にして数えます。

よくある間違い

弦の長さと円周角を比例させる → 比例するのは弧の長さ（弦は比例しない）
円周を 6 等分したときの円周角を 60° とする → 中心角が 60°、円周角は 30°

ここまでできれば十分

「円周角 = 中心角の半分」「同じ弧の円周角は等しい」「直径 → 90°」「n 等分 → 180°/n」の 4 つで角が求められれば、この単元の基本は合格です。

4. 角を求める定番

ここまでできれば十分（の次）

型①：半径で二等辺三角形 中心 O と円周上の 2 点を結んだ三角形は必ず二等辺三角形（OA = OB）。底角が等しいことから角を追う。

∠OAB = 25° のとき、弧 AB に対する円周角は？ △OAB は二等辺で ∠OBA = 25°、∠AOB = 130°（中心角）→ 円周角 65°

型②：三角形の外角と組み合わせる 円周角で 2 つの角がわかったら、三角形の外角（m2-09）で残りの角を出す。

弦 AC と BD の交点を P とする。∠ABD = 30°、∠BAC = 40° のとき ∠APD は？ ∠APD は △ABP の外角 = ∠ABP + ∠BAP = 30 + 40 = 70° （∠ABD = ∠ACD、∠BAC = ∠BDC も同時に成り立つ）

型③：接線と半径 円の接線は接点を通る半径に垂直（m1-15）→ 90° の印。

型④：円に内接する四角形 円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180°（弧 BCD と弧 BAD の円周角の和が、中心角 360° の半分）。「円周上の 4 点」と書いてあれば、この性質が使えます。