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小テスト ／ m3-15

円周角の利用・円と相似

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円周角の利用・円と相似 ── 問題

基礎

  1. 円周上の 4 点 A、B、C、D があり、弦 AC と BD が点 P で交わります。PA = 2、PC = 7、PB = 7 のとき、PD の長さを求めなさい。
  2. 円周上の 4 点 A、B、C、D で弦 AC と BD の交点を P とするとき、△PAD と相似な三角形はどれですか。　（ア △PBC　イ △PDC　ウ △PAB　エ △PCB）
  3. 弦 AC と BD の交点 P について、△PAD ∽ △PBC の証明で ∠PAD = ∠PBC の根拠として正しいものはどれですか。　（ア 弧 AB に対する円周角は等しいので　イ 弧 CD に対する円周角は等しいので　ウ 対頂角は等しいので　エ AD ∥ BC より錯角）
  4. AC が円の直径のとき、円周上の点 B について ∠ABC の大きさと、その根拠の組み合わせはどれですか。　（ア 180°、直径　イ 60°、正三角形　ウ 45°、中心角の半分　エ 90°、半円の弧に対する円周角）
  5. 円の中心 O から弦 AB に垂線 OM を下ろしたとき、正しいものはどれですか。　（ア OM = OA　イ AM = OA　ウ M は円周上　エ M は AB の中点）
  6. 円の外の点 P から 2 直線を引き、一方は円と A、B（P、A、B の順）、他方は C、D（P、C、D の順）で交わります。PA = 4、PB = 9、PC = 3 のとき、PD の長さを求めなさい。

標準

  1. AB を直径とする円の周上に点 C があり、C から AB に垂線 CH を下ろします。AH = 16、BH = 1 のとき、CH の長さを求めなさい。
  2. 円周上の 4 点 A、B、C、D で弦 AC と BD の交点を P とします。PA = 6、PB = 5、PD = 4、AD = 6 のとき、BC の長さを求めなさい。
  3. 円の外の点 P から 2 直線を引き、円と A、B および C、D で交わる（P、A、B と P、C、D がそれぞれ一直線）。△PAD ∽ △PCB の証明で使う 2 組の角はどれですか。　（ア ∠P 共通と、∠PAD = ∠PCB（円周角の補角）　イ ∠P 共通と、P のところにできる対頂角　ウ 弧 AB に対する円周角と弧 CD に対する円周角　エ AD ∥ CB と考えたときの錯角と同位角）
  4. 「弦 AC と BD の交点 P について PA × PC = PB × PD」が成り立つ理由として正しいものはどれですか。　（ア △PAD ∽ △PBC で、辺の比が等しいから　イ △PAB で三平方の定理が成り立つから　ウ P のまわりの対頂角が等しいから　エ 弦に対する円周角が 90° だから）
  5. 線分 AB に対して ∠APB = 90° となる点 P を作図する方法はどれですか。　（ア AB の中点　イ AB の垂直二等分線上の任意の点　ウ A を中心とする半径 AB の円と B を中心とする円の交点　エ AB を直径とする円をかき、その円周上の点をとる）
  6. 図で、円の 2 つの弦 AC、BD は円の内部の点 P で交わっています。PA = 4 cm、PC = 6 cm、PB = 3 cm のとき、x の値を求めなさい。
  7. △ABC の 3 つの頂点を通る円があり、∠A の二等分線が辺 BC と点 D で、円と点 E で交わります。△ABE ∽ △ADC の証明で、∠BAE = ∠DAC（仮定）のほかに使う ∠AEB = ∠ACD の根拠はどれですか。　（ア 対頂角は等しい　イ 弧 BE に対する円周角は等しい　ウ AE は ∠A の二等分線である　エ 弧 AB に対する円周角は等しい）

発展

  1. 円 O の弦 AB の長さが 24 で、中心 O から AB までの距離が 5 のとき、円の半径を求めなさい。
  2. 円 O の周上に A、B、C、D があり AC は直径、AD = CD、BD と AC の交点を E とする。△ABE ∽ △DCE の証明で正しいものはどれですか。　（ア 直径から ∠ABC = ∠ADC = 90° を使って 2 組の角　イ AC が直径であることと AD = CD を両方使う必要がある　ウ 円周角 ∠ABE = ∠DCE と対頂角で示せる（他の条件は不要）　エ AD = CD から AB = DC がいえるので、それを使う）
  3. 円 O の外の点 P から円に接線を引く作図として正しいものはどれですか。　（ア P を中心とする半径 OP の円と円 O の交点を接点にする　イ P から O に向かう直線と円の交点を接点にする　ウ OP を直径とする円と円 O の交点を接点にする　エ O から OP に垂直な線を引き、円との交点を接点にする）
  4. 円に内接する四角形 ABCD の対角線の交点を P とするとき、同時に成り立つ相似の組み合わせはどれですか。　（ア △PAB ∽ △PDC と △PAD ∽ △PBC　イ 相似な三角形はない　ウ △PAB ∽ △PCD のみ　エ △PAB ∽ △PBC と △PAD ∽ △PDC）
  5. 図で、円の外の点 P から引いた 2 本の直線が、円と A、B および C、D で交わっています。PA = 2 cm、AB = 7 cm、PC = 3 cm のとき、x（CD の長さ）の値を求めなさい。
  6. AB を直径とする円の周上に点 C があり、C から AB に垂線 CH を下ろします。AB = 10 cm、AC = 9 cm のとき、AH の長さは何 cm ですか。

円周角の利用・円と相似 ── 解答

基礎

  1. 2　△PAD ∽ △PBC より PA : PB = PD : PC → PA × PC = PB × PD → 2 × 7 = 7 × PD → PD = 2。
  2. ア　△PBC　弧 CD の円周角 ∠PAD = ∠PBC、対頂角 ∠APD = ∠BPC。対応は A ↔ B、D ↔ C なので △PAD ∽ △PBC。
  3. イ　弧 CD に対する円周角は等しいので　∠PAD = ∠CAD、∠PBC = ∠DBC はどちらも弧 CD を見込む円周角。
  4. エ　90°、半円の弧に対する円周角　直径に対する円周角は 90°（中心角 180° の半分）。
  5. エ　M は AB の中点　△OAB は二等辺三角形。頂角の二等分線（= 垂線）は底辺を 2 等分する。
  6. 12　△PAD ∽ △PCB より PA × PB = PC × PD → 4 × 9 = 3 × PD → PD = 12。

標準

  1. 4　∠ACB = 90°（直径）。△ACH ∽ △CBH より CH² = AH × BH = 16 × 1 = 16 → CH = 4。
  2. 5　△PAD ∽ △PBC で相似比 PA : PB = 6 : 5。AD : BC = 6 : 5 → BC = 6 × 5/6 = 5。
  3. ア　∠P 共通と、∠PAD = ∠PCB（円周角の補角）　∠P は共通。弧 BD に対する円周角 ∠BAD = ∠BCD で、P、A、B と P、C、D が一直線なので補角 ∠PAD = ∠PCB も等しい。
  4. ア　△PAD ∽ △PBC で、辺の比が等しいから　相似な三角形の対応する辺の比が等しいことから、外側どうし・内側どうしの積が等しい。
  5. エ　AB を直径とする円をかき、その円周上の点をとる　直径に対する円周角は 90°。AB の中点を中心、AB/2 を半径とする円周上の点。
  6. 8　弧 CD の円周角 ∠PAD = ∠PBC、対頂角 ∠APD = ∠BPC より △PAD ∽ △PBC。PA : PB = PD : PC → PA × PC = PB × PD → 4 × 6 = 3 × x → x = 8。
  7. エ　弧 AB に対する円周角は等しい　∠AEB と ∠ACB（= ∠ACD）は、どちらも弧 AB に対する円周角なので等しい。2 組の角がそれぞれ等しいので △ABE ∽ △ADC。

発展

  1. 13　O から AB への垂線の足 M は AB の中点で AM = 12。直角三角形 OAM で OA² = 12² + 5² = 169 → 半径 13（三平方の定理は次の単元）。
  2. ウ　円周角 ∠ABE = ∠DCE と対頂角で示せる（他の条件は不要）　弧 AD を見込む円周角 ∠ABD = ∠ACD と対頂角で 2 組の角。問題文の条件を全部使う必要はない。
  3. ウ　OP を直径とする円と円 O の交点を接点にする　接線は接点で半径に垂直。∠OTP = 90° となる T は OP を直径とする円周上にある。
  4. ア　△PAB ∽ △PDC と △PAD ∽ △PBC　弧 BC の円周角で △PAB ∽ △PDC、弧 CD（または AB）の円周角で △PAD ∽ △PBC。問題が指定する三角形に合わせて弧を選ぶ。
  5. 3　∠P 共通、弧 BD の円周角 ∠BAD = ∠BCD より △PAD ∽ △PCB。PA : PC = PD : PB → PA × PB = PC × PD → 2 × 9 = 3 × PD → PD = 6。x = PD − PC = 6 − 3 = 3。
  6. 8.1　AB は直径なので ∠ACB = 90°。△ACH と △ABC は ∠A が共通、∠AHC = ∠ACB = 90° で相似。AH : AC = AC : AB → AH = 9² ÷ 10 = 8.1。

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