中学数学英語理科社会国語高校数学英語理科社会国語

小テスト ／ m3-16

三平方の定理

← 解説に戻る　数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

三平方の定理 ── 問題

基礎

  1. 直角をはさむ 2 辺が 12、16 の直角三角形の斜辺の長さを求めなさい。
  2. 斜辺が 10、直角をはさむ 1 辺が 6 の直角三角形の、もう 1 辺の長さを求めなさい。
  3. 直角をはさむ 2 辺が 6、7 の直角三角形の斜辺の長さはどれですか。　（ア √85　イ √13　ウ 42　エ √86　undefined 13）
  4. 三平方の定理 a² + b² = c² の c は、直角三角形のどの辺ですか。　（ア 直角と向かい合う辺（斜辺）　イ 底辺　ウ どの辺でもよい　エ 最も短い辺）
  5. 3 辺が 4、5、6 の三角形は直角三角形ですか。　（ア 直角三角形ではない（4² + 5² = 41 ≠ 6² = 36）　イ 二等辺三角形である　ウ 直角三角形である　エ 辺の長さだけでは判断できない）
  6. 直角二等辺三角形（45°-45°-90°）の辺の比はどれですか。　（ア 1 : √2 : √3　イ 1 : 1 : √2　ウ 1 : 1 : 2　エ 1 : 2 : √3）

標準

  1. 直角二等辺三角形で、直角をはさむ辺の長さが 4 のとき、斜辺の長さはどれですか。　（ア 4√3　イ 8　ウ 2√2　エ 4√2）
  2. 30°、60°、90° の直角三角形で斜辺が 6 のとき、60° の角と向かい合う辺の長さはどれですか。　（ア 3√3　イ 6√3　ウ 3√2　エ 3）
  3. 1 辺 2 の正三角形の高さはどれですか。　（ア √3　イ √2　ウ 2√3　エ 1）
  4. 1 辺 6 の正三角形の面積はどれですか。　（ア 18√3　イ 6√3　ウ 18　エ 9√3）
  5. 1 辺 4 の正方形の対角線の長さはどれですか。　（ア 8　イ 4√2　ウ 4√3　エ 16）
  6. 斜辺が 6 の直角二等辺三角形の、直角をはさむ辺の長さはどれですか。　（ア 3　イ 6√2　ウ 3√2　エ 6/√2 のまま）

発展

  1. 直角三角形で、斜辺が直角をはさむ 1 辺より 4 長く、残りの辺が 12 です。短いほうの辺（12 でないほう）の長さを求めなさい。
  2. 三平方の定理の証明（1 辺 a + b の正方形に直角三角形 4 つと 1 辺 c の正方形を並べる）で使う面積の式はどれですか。　（ア (a + b)² = c²　イ (a + b)² = 4ab + c²　ウ a² + b² = 4ab　エ (a + b)² = 4 × (1/2)ab + c²）
  3. 3 辺が 2、3、√13 の三角形について正しいものはどれですか。　（ア √ があるので判断できない　イ √13 の向かいの角が直角の直角三角形　ウ 直角三角形ではない　エ 2 の向かいの角が直角）
  4. 三平方の定理で計算したら「斜辺が他の辺より短い」答えになった。最も疑うべきものはどれですか。　（ア 三角形が存在しない　イ 答えは正しい　ウ √ の計算ミス　エ 斜辺の取り違え（斜辺は最も長い辺））

三平方の定理 ── 解答

基礎

  1. 20　c² = 12² + 16² = 400 → c = 20。
  2. 8　b² = 10² − 6² = 64 → b = 8。斜辺がわかっているときは引く。
  3. ア　√85　c² = 6² + 7² = 85 → c = √85。中を簡単にして √85。
  4. ア　直角と向かい合う辺（斜辺）　c は斜辺（直角の向かい・最も長い辺）。a、b は直角をはさむ 2 辺。
  5. ア　直角三角形ではない（4² + 5² = 41 ≠ 6² = 36）　最大の辺 6 を c として a² + b² = c² を確かめる。41 ≠ 36 なので直角三角形ではない。
  6. イ　1 : 1 : √2　直角をはさむ 2 辺が等しく、斜辺はその √2 倍。正方形の半分。

標準

  1. エ　4√2　1 : 1 : √2 より斜辺は 4 × √2 = 4√2。
  2. ア　3√3　1 : 2 : √3 で斜辺 6 = 2 × 3。30° の向かい 3、60° の向かい 3√3 = 3√3。
  3. ア　√3　正三角形の半分は 30°-60°-90°。高さ = (√3/2) × 2 = √3。
  4. エ　9√3　高さ 3√3。面積 = (1/2) × 6 × 3√3 = 9√3（(√3/4)a² でも同じ）。
  5. イ　4√2　対角線で直角二等辺三角形。4 × √2 = 4√2。
  6. ウ　3√2　6 ÷ √2 = 6√2/2 = 3√2。斜辺から求めるときは √2 で割り、有理化する。

発展

  1. 16　辺を x、斜辺を x + 4 とすると (x + 4)² = x² + 12² → 8x + 16 = 144 → x = 16（斜辺 20）。
  2. エ　(a + b)² = 4 × (1/2)ab + c²　大きい正方形 = 直角三角形 4 つ + 中の正方形。展開して a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c²。
  3. イ　√13 の向かいの角が直角の直角三角形　最大の辺は √13 ≒ 3.6。2² + 3² = 13 = (√13)² なので直角三角形。直角は最大の辺の向かい。
  4. エ　斜辺の取り違え（斜辺は最も長い辺）　斜辺は必ず最も長い。短くなるのは c² = a² + b² の c を斜辺でない辺にしたとき。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-16/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。