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小テスト ／ m3-16

三平方の定理

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三平方の定理 ── 問題

基礎

  1. 直角をはさむ 2 辺が 3、4 の直角三角形の斜辺の長さを求めなさい。
  2. 斜辺が 17、直角をはさむ 1 辺が 15 の直角三角形の、もう 1 辺の長さを求めなさい。
  3. 直角をはさむ 2 辺が 3、1 の直角三角形の斜辺の長さはどれですか。　（ア 4　イ √11　ウ 2　エ √10　undefined 3）
  4. 三平方の定理 a² + b² = c² の c は、直角三角形のどの辺ですか。　（ア 直角と向かい合う辺（斜辺）　イ 三角形の底辺にあたる辺　ウ どの辺でもよい　エ 3 辺のうち最も短い辺）
  5. 3 辺が 4、5、6 の三角形は直角三角形ですか。　（ア 直角三角形ではない（41 ≠ 36）　イ 二等辺三角形である　ウ 直角三角形である（6 がいちばん長いから）　エ 辺の長さだけでは判断できない）
  6. 直角二等辺三角形（45°-45°-90°）の辺の比はどれですか。　（ア 1 : √2 : √3　イ 1 : 1 : √2　ウ 1 : 1 : 2　エ 1 : 2 : √3）
  7. 図の直角三角形で、x の値を求めなさい。

標準

  1. 直角二等辺三角形で、直角をはさむ辺の長さが 8 のとき、斜辺の長さはどれですか。　（ア 8√2　イ 16　ウ 8√3　エ 4√2）
  2. 30°、60°、90° の直角三角形で斜辺が 6 のとき、60° の角と向かい合う辺の長さはどれですか。　（ア 3　イ 6√3　ウ 3√2　エ 3√3）
  3. 1 辺 2 の正三角形の高さはどれですか。　（ア √2　イ 2√3　ウ 1　エ √3）
  4. 1 辺 2 の正三角形の面積はどれですか。　（ア 2√3　イ 2　ウ √3）
  5. 1 辺 5 の正方形の対角線の長さはどれですか。　（ア 5√3　イ 10　ウ 5√2　エ 25）
  6. 斜辺が 6 の直角二等辺三角形の、直角をはさむ辺の長さはどれですか。　（ア 3　イ 6√2　ウ 3√2　エ 6/√2 のまま）
  7. 図の直角三角形で、x の値を求めなさい。
  8. 高さ 32 m のまっすぐな木が、地面から何 m かの所で折れ、先端が根元から 8 m はなれた地面についています（折れた部分は折れ目でつながっています）。折れた所は地面から何 m の高さですか。

発展

  1. 直角三角形で、斜辺が直角をはさむ 1 辺より 2 長く、残りの辺が 8 です。短いほうの辺（8 でないほう）の長さを求めなさい。
  2. 三平方の定理の証明（1 辺 a + b の正方形に直角三角形 4 つと 1 辺 c の正方形を並べる）で使う面積の式はどれですか。　（ア (a + b)² = c²　イ (a + b)² = 4ab + c²　ウ a² + b² = 4ab　エ (a + b)² = 4 × (1/2)ab + c²）
  3. 3 辺が 2、3、√13 の三角形について正しいものはどれですか。　（ア √ があるので判断できない　イ √13 の向かいの角が直角の直角三角形　ウ 直角のない、ふつうの三角形　エ 2 の向かいの角が直角の直角三角形）
  4. 三平方の定理で計算したら「斜辺が他の辺より短い」答えになった。最も疑うべきものはどれですか。　（ア そもそも三角形が存在しない　イ 答えは正しい　ウ √ をはずすときの計算ミス　エ 斜辺の取り違え（斜辺は最も長い辺））
  5. 長方形 ABCD（AB = 12 cm、AD = 13 cm）を、頂点 D が辺 BC 上の点 E に重なるように折り返します。折り目は A を通り、辺 CD と点 F で交わります。CF の長さは何 cm ですか。

三平方の定理 ── 解答

基礎

  1. 5　c² = 3² + 4² = 25 → c = 5。
  2. 8　b² = 17² − 15² = 64 → b = 8。斜辺がわかっているときは引く。
  3. エ　√10　c² = 3² + 1² = 10 → c = √10。中を簡単にして √10。
  4. ア　直角と向かい合う辺（斜辺）　c は斜辺（直角の向かい・最も長い辺）。a、b は直角をはさむ 2 辺。
  5. ア　直角三角形ではない（41 ≠ 36）　最大の辺 6 を c として a² + b² = c² を確かめる。41 ≠ 36 なので直角三角形ではない。
  6. イ　1 : 1 : √2　直角をはさむ 2 辺が等しく、斜辺はその √2 倍。正方形の半分。
  7. 10　三平方の定理 BC² = AB² + AC²。x² = 8² + 6² = 100、x > 0 より x = 10。

標準

  1. ア　8√2　1 : 1 : √2 より斜辺は 8 × √2 = 8√2。
  2. エ　3√3　1 : 2 : √3 で斜辺 6 = 2 × 3。30° の向かい 3、60° の向かい 3√3 = 3√3。
  3. エ　√3　正三角形の半分は 30°-60°-90°。高さ = (√3/2) × 2 = √3。
  4. ウ　√3　高さ √3。面積 = (1/2) × 2 × √3 = √3（(√3/4)a² でも同じ）。
  5. ウ　5√2　対角線で直角二等辺三角形。5 × √2 = 5√2。
  6. ウ　3√2　6 ÷ √2 = 6√2/2 = 3√2。斜辺から求めるときは √2 で割り、有理化する。
  7. 6　三平方の定理より AC² = BC² − AB² = 10² − 8² = 36、x > 0 より x = 6。
  8. 15　折れた所の高さを x m とすると、折れた部分の長さは (32 − x) m。根元・折れ目・先端で直角三角形ができ、x² + 8² = (32 − x)² → 64 = 1024 − 64x → x = 15。

発展

  1. 15　辺を x、斜辺を x + 2 とすると (x + 2)² = x² + 8² → 4x + 4 = 64 → x = 15（斜辺 17）。
  2. エ　(a + b)² = 4 × (1/2)ab + c²　大きい正方形 = 直角三角形 4 つ + 中の正方形。展開して a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c²。
  3. イ　√13 の向かいの角が直角の直角三角形　最大の辺は √13 ≒ 3.6。2² + 3² = 13 = (√13)² なので直角三角形。直角は最大の辺の向かい。
  4. エ　斜辺の取り違え（斜辺は最も長い辺）　斜辺は必ず最も長い。短くなるのは c² = a² + b² の c を斜辺でない辺にしたとき。
  5. 10/3　AE = AD = 13。△ABE で BE = √(13² − 12²) = 5、EC = 13 − 5 = 8。CF = x とすると EF = DF = 12 − x。△ECF で x² + 8² = (12 − x)² → x = 10/3。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-16/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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