中3 数学 ／ 図形 ／ m3-16

更新 2026-09-12

三平方の定理

この単元でできるようになること

• 三平方の定理（a² + b² = c²）を使って、直角三角形の辺の長さを求められる
• 定理の逆（3 辺の関係から直角三角形かどうか判断）を使える
• 特別な直角三角形（45°-45°-90°、30°-60°-90°）の辺の比を使える
• よく出る整数の組（3-4-5、5-12-13 など）を覚えて速く計算できる

入試での位置づけ

三平方の定理は、中3の図形の集大成で、入試の図形問題（平面・空間・座標）のほぼすべてで長さを求める最終手段として使われます。この単元は定理そのものと基本的な計算で、次の単元で利用に進みます。√ を含む答え（m3-04・m3-05）と特別な直角三角形の比が正確に扱えることが、後半の得点の土台です。

1. 三平方の定理

まずここだけ

直角三角形の直角をはさむ 2 辺の長さを a、b、斜辺（直角の向かい・最も長い辺）を c とすると

a² + b² = c²

        ／|
     c ／ | b
     ／   |
    ／____|
       a

「直角をはさむ 2 辺の 2 乗の和 = 斜辺の 2 乗」。三平方の定理（ピタゴラスの定理）といいます。

なぜ成り立つか

1 辺 (a + b) の正方形の中に、直角三角形 4 つと 1 辺 c の正方形を並べると、面積の関係 (a + b)² = 4 × (1/2)ab + c² → a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c²。展開（m3-01）で示せる証明で、教科書に載っている代表的なものです。

辺を求める

斜辺を求める：a = 3、b = 4 → c² = 9 + 16 = 25 → c = 5 直角をはさむ辺を求める：c = 13、a = 5 → b² = 169 − 25 = 144 → b = 12 √ が残る：a = 2、b = 3 → c² = 13 → c = √13 √ を簡単にする：a = 4、b = 8 → c² = 80 → c = √80 = 4√5

長さは正なので、c² = 25 から c = ±5 でなく c = 5。

よくある間違い

• 斜辺を間違える → 直角の向かいが斜辺。c² = a² + b² の c は必ず斜辺
• 斜辺がわかっていて他の辺を求めるときに、足してしまう（b² = 169 + 25）→ 引く
• √80 を √80 のまま答える → 4√5（m3-04）
• 直角三角形でないのに使う → 定理は直角三角形だけ

ここまでできれば十分

斜辺・他の辺の両方を求められ、√ の中を簡単にできれば、この単元の基本は合格です。

2. 三平方の定理の逆

まずここだけ

3 辺が a、b、c（c が最大）の三角形で a² + b² = c² ならば、その三角形は直角三角形（c の向かいの角が直角）。

• 3、4、5 → 9 + 16 = 25 = 5² → 直角三角形
• 5、12、13 → 25 + 144 = 169 = 13² → 直角三角形
• 4、5、6 → 16 + 25 = 41 ≠ 36 → 直角三角形ではない
• 1、1、√2 → 1 + 1 = 2 = (√2)² → 直角三角形
• 2、3、√13 → 4 + 9 = 13 → 直角三角形

最も長い辺を c にして、残り 2 辺の 2 乗の和と比べます。

覚えておく整数の組（ピタゴラス数）

これらの倍数（6-8-10、9-12-15、10-24-26）も直角三角形。「斜辺 10、1 辺 6」と見たら、計算せずに 8 と分かります。

3. 特別な直角三角形

まずここだけ

角度が決まった 2 種類の直角三角形は、辺の比を覚えておくと、三平方の定理を使わずに長さが出ます。

① 45°-45°-90°（直角二等辺三角形・正方形の半分）

辺の比 1 : 1 : √2 1 辺 a の正方形の対角線 = a√2

② 30°-60°-90°（正三角形の半分）

辺の比 1 : 2 : √3（30° の向かい : 斜辺 : 60° の向かい） 1 辺 a の正三角形の高さ = (√3/2)a

   ①  45°            ②  30°
      |\                 |\
    1 |  \ √2          √3|  \ 2
      |____\             |____\
        1   45°            1   60°

例

• 直角二等辺三角形で直角をはさむ辺が 5 → 斜辺 5√2
• 斜辺が 6 の直角二等辺三角形 → 他の辺 6/√2 = 3√2
• 30°-60°-90° で斜辺 8 → 30° の向かい 4、60° の向かい 4√3
• 1 辺 6 の正三角形の高さ → 3√3、面積 → (1/2) × 6 × 3√3 = 9√3

正三角形の面積の公式

1 辺 a の正三角形の面積 = (√3/4)a²。高さ (√3/2)a に底辺 a をかけて 2 で割った結果です。1 辺 4 なら (√3/4) × 16 = 4√3。

よくある間違い

• 1 : 2 : √3 の「2」を 60° の向かいと思う → 2 は斜辺（最も長い）。√3 ≒ 1.73 が 60° の向かい
• 直角二等辺三角形の斜辺を 2 倍にする → √2 倍
• 斜辺から他の辺を出すときに √2 をかける → √2 で割る（有理化して 3√2）

4. 計算の型

ここまでできれば十分（の次）

2 段階で使う：図の中に直角三角形が 2 つあるとき、1 つ目で出した辺を 2 つ目で使う。

長方形 ABCD（AB = 3、BC = 4）の対角線 AC = 5。さらに AC を 1 辺とする直角三角形で他の辺が 12 なら斜辺 13。

方程式で解く：未知の辺を x とおいて、三平方の定理の式を立てる。

直角三角形で、斜辺が他の 1 辺より 2 長く、残りの辺が 6 のとき。他の 1 辺を x とすると (x + 2)² = x² + 36 → 4x + 4 = 36 → x = 8、斜辺 10

折り返し：長方形の紙を折ると、折り返した部分は合同（長さが等しい）。等しい辺に印をつけて、直角三角形の 3 辺を x で表して方程式を立てる。

長方形 ABCD（AB = 8、AD = 10）を、頂点 D が辺 BC 上の点 E に重なるように折ると、折り目の端が AD 上の F。AF = x とおくと FE = FD = 10 − x、AE² = AF² + … のように立式する型。BE = 6 が先に出る（△ABE で 8-6-10）ことが多い。

もう一歩（発展）：√ の近似で長さの感覚を持つ

√2 ≒ 1.41、√3 ≒ 1.73、√5 ≒ 2.24。答えが 4√5 なら約 8.9。図をかいたときに「見た目と合っているか」を確かめる目安になります。「斜辺が他の辺より短い」答えが出たら、斜辺の取り違えです。

5. 自己チェック

1. 斜辺（直角の向かい）を c にしたか。c² = a² + b² で足す・引くを間違えていないか
2. 答えの √ の中を簡単にしたか。負の解を除いたか
3. 逆：最大の辺を c にして a² + b² = c² を確かめたか
4. 45° は 1 : 1 : √2、30°-60° は 1 : 2 : √3（2 が斜辺）
5. 3-4-5、5-12-13 とその倍数を見つけたか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m3-16）

関連する単元

• 前提：m3-01 展開、m3-04 平方根、m3-05 根号の計算、m3-06 二次方程式
• 次に進む：m3-17 三平方の定理の利用（平面・空間）
• ここで使う考え方が出てくる：m3-17

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第3学年 B 図形 (3) 三平方の定理 ── 「三平方の定理の意味を理解し、それが証明できること」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-16/ ／ 更新 2026-09-12

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