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小テスト ／ zn-01

関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式）

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関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式） ── 問題

基礎

  1. 二次関数 y ＝ x² + 8x − 3 の頂点の y 座標を求めなさい。
  2. 二次関数 y ＝ x² + 6x + 6 の頂点の座標はどれですか。　（ア (3, −3)　イ (−3, 15)　ウ (3, 15)　エ (−3, 6)　undefined (−3, −3)）
  3. 0° ＜ θ ＜ 90° で sin θ ＝ 5/13 のとき、cos θ の値を求めなさい。
  4. 2 点 A(−5, 1)、B(1, −7) の間の距離を求めなさい。
  5. sin 30°、cos 60°、tan 45° の値の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア 1/2、1/2、√3　イ 1/2、√3/2、√3　ウ 1/2、1/2、1　エ √3/2、1/2、1　undefined √3/2、√3/2、1）
  6. 放物線 y ＝ x² を x 軸方向に 2、y 軸方向に −3 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。　（ア y ＝ (x ＋ 2)² ＋ 3　イ y ＝ (x − 2)² − 3　ウ y ＝ (x ＋ 2)² − 3　エ y ＝ (x − 2)² ＋ 3　undefined y ＝ (x − 3)² ＋ 2）

標準

  1. 二次関数 y ＝ (x + 3)² + 2 の −5 ≦ x ≦ −2 における最小値を求めなさい。
  2. 二次方程式 x² − 10x ＋ k ＝ 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めなさい。
  3. 二次不等式 x² + 7x + 12 ＜ 0 の解はどれですか。　（ア −4 ≦ x ≦ −3　イ x ＜ −4、−3 ＜ x　ウ −4 ＜ x ＜ −3　エ x ＜ 3、4 ＜ x　undefined 3 ＜ x ＜ 4）
  4. △ABC において b ＝ 8、c ＝ 7、A ＝ 120° のとき、辺 a の長さを求めなさい。
  5. △ABC において b ＝ 6、c ＝ 10、A ＝ 90° のとき、△ABC の面積を求めなさい。
  6. 円 x² ＋ y² − 8x + 4y − 5 ＝ 0 の中心と半径の組み合わせはどれですか。　（ア 中心 (−4, 2)、半径 25　イ 中心 (4, −2)、半径 5　ウ 中心 (4, −2)、半径 25　エ 中心 (−4, 2)、半径 5　undefined 中心 (−8, 4)、半径 5）
  7. 直線 y ＝ −3x + 8 に平行で、点 (−2, 5) を通る直線の y 切片を求めなさい。

発展

  1. 二次関数 y ＝ −x² − 8x + 6 の最大値を求めなさい。
  2. 二次方程式 x² − 10x ＋ k ＝ 0 が異なる 2 つの実数解をもつような定数 k の値の範囲はどれですか。　（ア k ＞ 100　イ k ＜ 100　ウ k ＞ 25　エ k ＜ 25　undefined k ≦ 25）
  3. △ABC の外接円の半径を R とするとき、正弦定理を正しく表しているものはどれですか。　（ア a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝ 2R　イ a² ＝ b² ＋ c² − 2bc sin A　ウ a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ R　エ a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ 2R　undefined sin A/a ＝ sin B/b ＝ sin C/c ＝ 2R）

関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式） ── 解答

基礎

  1. −19　平方完成する。y ＝ (x + 4)² − 19。頂点は (−4, −19) なので y 座標は −19。
  2. undefined　(−3, −3)　y ＝ x² + 6x + 6 ＝ (x + 3)² − 3。頂点は (−3, −3)。x の係数の半分の符号を変えたものが頂点の x 座標。
  3. 12/13　sin θ ＝ 対辺/斜辺 ＝ 5/13 なので、斜辺 13・対辺 5 の直角三角形を考える。三平方の定理から隣辺 ＝ √(13² − 5²) ＝ 12。cos θ ＝ 12/13、tan θ ＝ 5/12。よって cos θ ＝ 12/13。
  4. 10　AB ＝ √((x₂ − x₁)² ＋ (y₂ − y₁)²) ＝ √(6² ＋ (−8)²) ＝ √100 ＝ 10。
  5. ウ　1/2、1/2、1　30°・60°・90° の直角三角形の辺の比は 1 : 2 : √3。sin 30° ＝ 1/2、cos 60° ＝ 1/2（sin 30° と同じ値）。45°・45°・90° は 1 : 1 : √2 なので tan 45° ＝ 1。
  6. イ　y ＝ (x − 2)² − 3　x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動すると y ＝ (x − p)² ＋ q。p ＝ 2、q ＝ −3 なので y ＝ (x − 2)² − 3。x の方は符号が逆になる点に注意。

標準

  1. 2　軸は x ＝ −3。軸が定義域に含まれるので頂点で最小。最小値は 2。
  2. 25　判別式 D ＝ (−10)² − 4k ＝ 0 → k ＝ 100 ÷ 4 ＝ 25。(x − 5)² ＝ 0 の形になる。
  3. ウ　−4 ＜ x ＜ −3　因数分解すると (x + 4)(x + 3) ＜ 0。x 軸との交点は x ＝ −4、−3。下に凸のグラフが x 軸より下になるのは 2 つの交点の間なので −4 ＜ x ＜ −3。
  4. 13　余弦定理 a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A。cos 120° ＝ −1/2 なので a² ＝ 8² ＋ 7² − 2 × 8 × 7 × (−1/2) ＝ 169。a ＝ 13。
  5. 30　面積 S ＝ ½ bc sin A。sin 90° ＝ 1 なので S ＝ ½ × 6 × 10 × 1 ＝ 30。
  6. イ　中心 (4, −2)、半径 5　x と y それぞれで平方完成する。(x − 4)² ＋ (y + 2)² ＝ 25。よって中心 (4, −2)、半径 5。半径は √25 ＝ 5 であって 25 ではない。
  7. −1　平行な直線は傾きが同じ −3。y ＝ −3x ＋ b に (−2, 5) を代入して 5 ＝ 6 ＋ b → b ＝ −1。

発展

  1. 22　上に凸なので頂点で最大。y ＝ −(x² + 8x) + 6 ＝ −(x + 4)² ＋ 16 + 6 ＝ −(x + 4)² + 22。最大値は x ＝ −4 のとき 22。
  2. エ　k ＜ 25　判別式 D ＝ (−10)² − 4k ＝ 100 − 4k ＞ 0 → k ＜ 25。等号を入れると重解（1 つ）になるので入れない。
  3. エ　a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ 2R　正弦定理は「辺 ÷ 向かい合う角の sin」がどの辺でも等しく、その値が外接円の直径 2R に等しいというもの。R ではなく 2R。a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A は余弦定理（sin ではなく cos）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/shizen/zn-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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