地方上級 ／ 数学 ／ zn-01

更新 2026-09-14

関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式）

この単元でできるようになること

• 二次関数を平方完成して頂点を出し、定義域つきの最大・最小を「軸の位置」で判断できる
• 判別式 D の符号で、二次方程式の解の個数と二次不等式の解を決められる
• 三角比の定義と相互関係（sin² θ ＋ cos² θ ＝ 1）から、1 つの値を手がかりに残りの値を出せる
• 余弦定理・正弦定理・面積公式 ½bc sin A を使い分けられる
• 2 点間の距離・直線の方程式・円の方程式（中心と半径）を式から読み取れる

試験での位置づけ

公務員試験の自然科学「数学」は、地方上級では 1 問程度、出題される場合でも高校 1 年（数学Ⅰ・A）の範囲が中心です。中でも二次関数（頂点・最大最小・判別式）がよく問われ、次いで三角比と図形と方程式（直線・円）です。国家一般職の基礎能力試験では数学の単独出題はほぼなく、数的推理の中で「二次関数の最大値」「三平方の定理」といった形で顔を出します。

計算問題は数値がきれいに設定されているので、公式を 1 本正しく選び、符号を間違えずに代入することが得点のほぼすべてです。この単元では、各テーマについて「試験で使う公式は何か」と「どこで符号を間違えやすいか」に絞って整理します。深く学びたい場合は高校数学の h1-06〜h1-12・h2-04・h2-05 に進んでください。

1. 二次関数 ── 平方完成で頂点を出す

まずここだけ

二次関数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c の問題は、ほとんどが頂点の座標を出せば解けます。頂点を出す方法は平方完成です。

y ＝ x² − 6x ＋ 5 ＝ (x − 3)² − 9 ＋ 5　　← x の係数 −6 の半分 −3 を使って (x − 3)²。引きすぎた 9 を戻す ＝ (x − 3)² − 4 よって頂点 (3, −4)、軸は x ＝ 3

覚えておく形は次の 1 つです。

y ＝ a(x − p)² ＋ q　⇔　頂点 (p, q)、軸 x ＝ p

a ＞ 0 なら下に凸（頂点が最小）、a ＜ 0 なら上に凸（頂点が最大）です。頂点の x 座標は −b/(2a) でも出せますが、平方完成の方が符号ミスに気づきやすいので、慣れるまでは平方完成をおすすめします。

ここまでできれば十分

定義域がある最大・最小は、「軸が定義域の中にあるか、外にあるか」で決まります。

y ＝ (x − 2)² − 3　（1 ≦ x ≦ 5） 軸 x ＝ 2 は定義域の中 → 最小値は頂点の −3（x ＝ 2） 最大値は軸から遠い端 x ＝ 5 → (5 − 2)² − 3 ＝ 6

y ＝ (x − 2)² − 3　（3 ≦ x ≦ 6） 軸 x ＝ 2 は定義域の左の外 → 定義域内ではずっと増加 最小値は軸に近い端 x ＝ 3 → (3 − 2)² − 3 ＝ −2、最大値は x ＝ 6 → 13

まとめると、下に凸のとき最小は「軸に近い方」、最大は「軸から遠い方」です（上に凸なら逆）。

平行移動は「x 軸方向に p、y 軸方向に q」で y ＝ (x − p)² ＋ q。x の方だけ符号が逆になるのが引っかけどころです。

もう一歩（発展）

軸に文字が入る問題（y ＝ x² − 2ax ＋ 1 の 0 ≦ x ≦ 2 での最小値など）は、「軸 x ＝ a が定義域の左・中・右のどこにあるか」で 3 通りに場合分けします。公務員試験では場合分けが 1 段で済む問題が多いので、まず軸の位置を図に描く癖をつけておけば十分です。詳しくは h1-07 で扱っています。

2. 二次方程式・判別式・二次不等式

まずここだけ

二次方程式 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の実数解の個数は、判別式 D ＝ b² − 4ac の符号で決まります。

x² − 6x ＋ k ＝ 0 が異なる 2 つの実数解をもつ k の範囲 D ＝ 36 − 4k ＞ 0 → k ＜ 9（k ＝ 9 のときは重解なので入れない）

ここまでできれば十分

二次不等式は、因数分解して x 軸との交点を出し、グラフの上下で答えます（a ＞ 0 のとき）。

x² − 5x ＋ 6 ＜ 0 → (x − 2)(x − 3) ＜ 0 → 2 ＜ x ＜ 3（交点の間） x² − 5x ＋ 6 ＞ 0 → x ＜ 2、3 ＜ x（交点の外側）

「＜ 0 なら間、＞ 0 なら外側」を丸暗記するより、下に凸の放物線を 1 本描いて「x 軸より下はどこか」を見る方が確実です。

解と係数の関係（2 解 α、β について α ＋ β ＝ −b/a、αβ ＝ c/a）は、「2 つの解の和が 4、積が 3 になる方程式は？」といった形で出ます。x² − 4x ＋ 3 ＝ 0 のように、和の符号が逆になる点だけ注意してください。

3. 三角比 ── 直角三角形に戻る

まずここだけ

三角比の定義は直角三角形で、sin ＝ 対辺/斜辺、cos ＝ 隣辺/斜辺、tan ＝ 対辺/隣辺です。試験でよく使う値は次の表だけです。

覚え方は、三角定規の辺の比 1 : 2 : √3（30°・60°・90°）と 1 : 1 : √2（45°・45°・90°）です。値を忘れたら定規の三角形を描いて読み取ります。

ここまでできれば十分

相互関係：sin² θ ＋ cos² θ ＝ 1、tan θ ＝ sin θ / cos θ。1 つ分かれば残りが出せます。

sin θ ＝ 3/5（0° ＜ θ ＜ 90°）→ 斜辺 5・対辺 3 の直角三角形 → 隣辺 4 → cos θ ＝ 4/5、tan θ ＝ 3/4

直角三角形を描けば、三平方の定理で隣辺 √(5² − 3²) ＝ 4 が出るので、公式を使うより早いことが多いです。

鈍角（90° ＜ θ ＜ 180°）では sin は正のまま、cos と tan は負になります。sin 150° ＝ sin 30° ＝ 1/2、cos 120° ＝ −cos 60° ＝ −1/2 です。

三角形の計量で使う公式は 3 本です。

余弦定理：a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A　← 2 辺とはさむ角から残りの辺 正弦定理：a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ 2R（R は外接円の半径）　← 辺と向かい合う角 面積：S ＝ ½ bc sin A　← 2 辺とはさむ角

b ＝ 3、c ＝ 8、A ＝ 60° のとき a a² ＝ 9 ＋ 64 − 2 × 3 × 8 × 1/2 ＝ 73 − 24 ＝ 49 → a ＝ 7 面積 S ＝ ½ × 3 × 8 × sin 60° ＝ 12 × √3/2 ＝ 6√3

A ＝ 120° なら cos A ＝ −1/2 なので、「− 2bc cos A」の部分が足し算に変わります（a² ＝ 73 ＋ 24 ＝ 97）。ここが余弦定理でいちばん多い符号ミスです。

4. 図形と方程式 ── 距離・直線・円

まずここだけ

2 点間の距離は三平方の定理そのものです。

A(1, 2)、B(4, 6) → AB ＝ √((4 − 1)² ＋ (6 − 2)²) ＝ √(9 ＋ 16) ＝ 5

直線の方程式は「傾き m、通る点 (x₁, y₁)」から y − y₁ ＝ m(x − x₁)。平行なら傾きが同じ、垂直なら傾きの積が −1 です。

傾き 2 で点 (3, 1) を通る → y − 1 ＝ 2(x − 3) → y ＝ 2x − 5

ここまでできれば十分

円の方程式は (x − a)² ＋ (y − b)² ＝ r²（中心 (a, b)、半径 r）。展開された形で出されたら、x と y をそれぞれ平方完成して戻します。

x² ＋ y² − 4x ＋ 6y − 3 ＝ 0 (x − 2)² − 4 ＋ (y ＋ 3)² − 9 − 3 ＝ 0 → (x − 2)² ＋ (y ＋ 3)² ＝ 16 中心 (2, −3)、半径 4（16 ではない）

点と直線の距離 d ＝ |ax₀ ＋ by₀ ＋ c| / √(a² ＋ b²) は、円と直線の位置関係（d と r の大小で「交わる・接する・離れる」）を判定するときに使います。中心から直線までの距離を出して半径とくらべる、という流れだけ覚えておけば十分です。

もう一歩（発展）

内分点 ((n x₁ ＋ m x₂)/(m ＋ n), (n y₁ ＋ m y₂)/(m ＋ n))、中点 ((x₁ ＋ x₂)/2, (y₁ ＋ y₂)/2)、重心（3 頂点の座標の平均）は、数的推理の図形問題でも使います。h2-04 で練習できます。

5. よくある間違い

6. 解き方の型

1. 二次関数を見たら、まず平方完成して頂点と軸を書く
2. 定義域があれば、軸が「中・左・右」のどこかを図で確かめてから端の値を計算する
3. 解の個数・不等式は判別式か因数分解 → グラフの上下で答える
4. 三角比は直角三角形を描く。三角形の計量は「2 辺とはさむ角 → 余弦定理・面積公式」「辺と向かい合う角 → 正弦定理」
5. 円は平方完成で中心と半径に戻し、直線との関係は「中心から直線までの距離 vs 半径」

7. 小テストへ

→ 小テスト（zn-01）

関連する単元

• 前提：m3-06 二次方程式・m3-08 関数 y=ax²・m3-16 三平方の定理（中学数学）
• 詳しく学ぶ（高校数学）：h1-06 二次関数のグラフ、h1-07 最大・最小、h1-08 判別式・解と係数、h1-09 二次不等式、h1-10 三角比、h1-11 正弦定理・余弦定理、h1-12 図形の計量、h2-04 点と直線、h2-05 円の方程式
• 同じ考え方を使う：zs-19 平面図形の計量、zs-12 方程式と不等式の文章題

参考資料

• 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説 数学編」── 数学Ⅰ「二次関数」「図形と計量」、数学Ⅱ「図形と方程式」の範囲
• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野「自然科学」）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/shizen/zn-01/ ／ 更新 2026-09-14

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