関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式） ── 問題
基礎
- 二次関数 y ＝ x² + 10x + 4 の頂点の y 座標を求めなさい。
- 二次関数 y ＝ x² + 4x + 5 の頂点の座標はどれですか。 （ア (2, 1) イ (2, 9) ウ (−2, 1) エ (−2, 5) undefined (−2, 9)）
- 0° ＜ θ ＜ 90° で sin θ ＝ 3/5 のとき、tan θ の値を求めなさい。
- 2 点 A(−4, 5)、B(−12, 20) の間の距離を求めなさい。
- sin 30°、cos 60°、tan 45° の値の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 1/2、1/2、√3 イ 1/2、√3/2、√3 ウ 1/2、1/2、1 エ √3/2、1/2、1 undefined √3/2、√3/2、1）
- 放物線 y ＝ x² を x 軸方向に 2、y 軸方向に −3 だけ平行移動した放物線の式はどれですか。 （ア y ＝ (x ＋ 2)² ＋ 3 イ y ＝ (x − 2)² − 3 ウ y ＝ (x ＋ 2)² − 3 エ y ＝ (x − 2)² ＋ 3 undefined y ＝ (x − 3)² ＋ 2）
- 0° ＜ θ ＜ 90° で tan θ ＝ 7/24 のとき、cos θ の値はどれですか。 （ア 25/7 イ 7/24 ウ 24/25 エ 25/24 undefined 7/25）
標準
- 二次関数 y ＝ (x − 2)² − 3 の 4 ≦ x ≦ 7 における最小値を求めなさい。
- 二次方程式 x² + 12x ＋ k ＝ 0 が重解をもつとき、定数 k の値を求めなさい。
- 二次不等式 x² + 6x + 5 ＜ 0 の解はどれですか。 （ア −5 ＜ x ＜ −1 イ x ＜ 1、5 ＜ x ウ −5 ≦ x ≦ −1 エ 1 ＜ x ＜ 5 undefined x ＜ −5、−1 ＜ x）
- △ABC において b ＝ 8、c ＝ 15、A ＝ 60° のとき、辺 a の長さを求めなさい。
- △ABC において b ＝ 5、c ＝ 4、A ＝ 30° のとき、△ABC の面積を求めなさい。
- 円 x² ＋ y² − 8x − 2y + 1 ＝ 0 の中心と半径の組み合わせはどれですか。 （ア 中心 (−4, −1)、半径 4 イ 中心 (4, 1)、半径 4 ウ 中心 (4, 1)、半径 16 エ 中心 (−4, −1)、半径 16 undefined 中心 (−8, −2)、半径 4）
- 直線 y ＝ x − 7 に平行で、点 (−3, 8) を通る直線の y 切片を求めなさい。
- 二次関数 y ＝ x² + 2x − 3 の 0 ≦ x ≦ 3 における最大値はどれですか。 （ア −3 イ 10 ウ 12 エ 14 undefined −4）
- △ABC において a ＝ 7、b ＝ 3、c ＝ 5 のとき、角 A の大きさはどれですか。 （ア 90° イ 45° ウ 150° エ 135° undefined 120°）
- 点 (1, −3) と直線 4x − 3y − 3 ＝ 0 の距離はどれですか。 （ア 2 イ 10 ウ 2/5 エ 8/5 undefined 10/7）
発展
- 二次関数 y ＝ −x² − 6x − 5 の最大値を求めなさい。
- 二次方程式 x² + 2x ＋ k ＝ 0 が異なる 2 つの実数解をもつような定数 k の値の範囲はどれですか。 （ア k ＞ 4 イ k ＜ 4 ウ k ≦ 1 エ k ＜ 1 undefined k ＞ 1）
- △ABC の外接円の半径を R とするとき、正弦定理を正しく表しているものはどれですか。 （ア a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝ 2R イ a² ＝ b² ＋ c² − 2bc sin A ウ a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ R エ a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ 2R undefined sin A/a ＝ sin B/b ＝ sin C/c ＝ 2R）
関数と図形（二次関数・三角比・図形と方程式） ── 解答
基礎
- −21 平方完成する。y ＝ (x + 5)² − 21。頂点は (−5, −21) なので y 座標は −21。
- ウ (−2, 1) y ＝ x² + 4x + 5 ＝ (x + 2)² + 1。頂点は (−2, 1)。x の係数の半分の符号を変えたものが頂点の x 座標。
- 3/4 sin θ ＝ 対辺/斜辺 ＝ 3/5 なので、斜辺 5・対辺 3 の直角三角形を考える。三平方の定理から隣辺 ＝ √(5² − 3²) ＝ 4。cos θ ＝ 4/5、tan θ ＝ 3/4。よって tan θ ＝ 3/4。
- 17 AB ＝ √((x₂ − x₁)² ＋ (y₂ − y₁)²) ＝ √((−8)² ＋ 15²) ＝ √289 ＝ 17。
- ウ 1/2、1/2、1 30°・60°・90° の直角三角形の辺の比は 1 : 2 : √3。sin 30° ＝ 1/2、cos 60° ＝ 1/2（sin 30° と同じ値）。45°・45°・90° は 1 : 1 : √2 なので tan 45° ＝ 1。
- イ y ＝ (x − 2)² − 3 x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動すると y ＝ (x − p)² ＋ q。p ＝ 2、q ＝ −3 なので y ＝ (x − 2)² − 3。x の方は符号が逆になる点に注意。
- ウ 24/25 tan θ ＝ 対辺/隣辺 ＝ 7/24 なので、隣辺 24・対辺 7 の直角三角形を考える。斜辺 ＝ √(7² ＋ 24²) ＝ 25。sin θ ＝ 7/25、cos θ ＝ 24/25。よって cos θ ＝ 24/25。（tan θ ＝ sin θ ÷ cos θ の関係でも確かめられる）
標準
- 1 軸は x ＝ 2。軸が定義域の左にあるので、軸に近い端 x ＝ 4 で最小。最小値は 1。
- 36 判別式 D ＝ (12)² − 4k ＝ 0 → k ＝ 144 ÷ 4 ＝ 36。(x + 6)² ＝ 0 の形になる。
- ア −5 ＜ x ＜ −1 因数分解すると (x + 5)(x + 1) ＜ 0。x 軸との交点は x ＝ −5、−1。下に凸のグラフが x 軸より下になるのは 2 つの交点の間なので −5 ＜ x ＜ −1。
- 13 余弦定理 a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A。cos 60° ＝ 1/2 なので a² ＝ 8² ＋ 15² − 2 × 8 × 15 × (1/2) ＝ 169。a ＝ 13。
- 5 面積 S ＝ ½ bc sin A。sin 30° ＝ 1/2 なので S ＝ ½ × 5 × 4 × 1/2 ＝ 5。
- イ 中心 (4, 1)、半径 4 x と y それぞれで平方完成する。(x − 4)² ＋ (y − 1)² ＝ 16。よって中心 (4, 1)、半径 4。半径は √16 ＝ 4 であって 16 ではない。
- 11 平行な直線は傾きが同じ 1。y ＝ x ＋ b に (−3, 8) を代入して 8 ＝ −3 ＋ b → b ＝ 11。
- ウ 12 軸は x ＝ −1、頂点の y 座標は −4。下に凸なので最大値は定義域の端のうち「軸から遠いほう」でとる。x ＝ 0 で −3、x ＝ 3 で 12 なので最大値は 12。（最小値は軸が定義域に入っていれば頂点、入っていなければ軸に近い端）
- undefined 120° 余弦定理 cos A ＝ (b² ＋ c² − a²) ÷ 2bc ＝ (3² ＋ 5² − 7²) ÷ (2 × 3 × 5) ＝ −15 ÷ 30 ＝ −1/2。cos A ＝ −1/2 となる角は 120°。（1/2 → 60°、0 → 90°、−1/2 → 120°）
- ア 2 点 (x₀, y₀) と直線 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 の距離は |ax₀ ＋ by₀ ＋ c| ÷ √(a² ＋ b²)。分子は |4 × 1 ＋ (−3) × (−3) − 3| ＝ 10、分母は √(4² ＋ (−3)²) ＝ 5。距離は 10 ÷ 5 ＝ 2。
発展
- 4 上に凸なので頂点で最大。y ＝ −(x² + 6x) − 5 ＝ −(x + 3)² ＋ 9 − 5 ＝ −(x + 3)² + 4。最大値は x ＝ −3 のとき 4。
- エ k ＜ 1 判別式 D ＝ (2)² − 4k ＝ 4 − 4k ＞ 0 → k ＜ 1。等号を入れると重解（1 つ）になるので入れない。
- エ a/sin A ＝ b/sin B ＝ c/sin C ＝ 2R 正弦定理は「辺 ÷ 向かい合う角の sin」がどの辺でも等しく、その値が外接円の直径 2R に等しいというもの。R ではなく 2R。a² ＝ b² ＋ c² − 2bc cos A は余弦定理（sin ではなく cos）。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/shizen/zn-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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