命題と論理（対偶・ド・モルガンの法則・三段論法） ── 問題
基礎
- 命題「野球が好きである人は、サッカーが好きである」の対偶として正しいものはどれですか。 （ア サッカーが好きでない人は、野球が好きである イ 野球が好きでない人は、サッカーが好きでない ウ サッカーが好きである人は、野球が好きである エ 野球が好きである人は、サッカーが好きでない undefined サッカーが好きでない人は、野球が好きでない）
- 「猫を飼っている、または犬を飼っている」の否定として正しいものはどれですか。 （ア 猫を飼っている、かつ犬を飼っていない イ 猫を飼っていない、または犬を飼っていない ウ 猫を飼っていない、または犬を飼っている エ 猫を飼っていない、かつ犬を飼っていない undefined 猫を飼っていない人は、犬を飼っていない）
- 命題「国語が得意である人は、数学が得意である」に対して、命題「国語が得意でない人は、数学が得意でない」を何といいますか。 （ア 否定 イ 逆 ウ 同値 エ 裏 undefined 対偶）
- 「雨が降れば、運動会は中止になる」という命題が正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 雨が降らなければ、運動会は中止にならない イ 雨が降っても、運動会が中止にならないことがある ウ 運動会が中止になれば、雨が降っている エ 運動会が中止にならなければ、雨は降っていない undefined 運動会が中止になるのは、雨が降ったときだけである）
- 命題「正方形ならば、長方形である」は正しい命題です。この命題の逆・裏・対偶のうち、常に正しいものの組み合わせはどれですか。 （ア 逆・裏・対偶のすべて イ 対偶のみ ウ 逆のみ エ 裏のみ undefined 逆と裏）
標準
- 「サッカーが好きである人は、テニスが好きである」「テニスが好きである人は、野球が好きである」の 2 つの命題がどちらも正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア サッカーが好きである人は、野球が好きである イ テニスが好きである人は、サッカーが好きである ウ テニスが好きでない人は、野球が好きでない エ 野球が好きである人は、サッカーが好きである undefined サッカーが好きでない人は、野球が好きでない）
- 「運動をする人は、電車で通勤している」という命題が正しいことがわかっています。ある人について「電車で通勤していない」ことがわかっているとき、この人について確実にいえるものはどれですか。 （ア 運動をしない イ 運動をする ウ 運動をする、かつ電車で通勤していない エ 運動をしない、かつ電車で通勤している undefined 電車で通勤している）
- あるクラスで、「数学が好きな人は、理科も好きである」「理科が好きな人は、英語が好きでない」「国語が好きでない人は、英語が好きである」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 数学が好きな人は、国語が好きである イ 英語が好きな人は、数学が好きである ウ 国語が好きな人は、数学が好きである エ 理科が好きでない人は、数学が好きである undefined 国語が好きな人は、理科が好きである）
- 「英語も数学も得意である」の否定として正しいものはどれですか。 （ア 英語も数学も得意でない イ 英語と数学の少なくとも一方は得意でない ウ 英語は得意でない エ 数学は得意でない undefined 英語は得意だが、数学は得意でない）
発展
- 「テニスが好きである人は、サッカーが好きである」「水泳が好きである人は、テニスが好きである」「野球が好きである人は、水泳が好きである」の 3 つの命題がすべて正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 野球が好きでない人は、サッカーが好きでない イ 野球が好きである人は、サッカーが好きである ウ テニスが好きである人は、野球が好きである エ 水泳が好きでない人は、サッカーが好きでない undefined サッカーが好きである人は、野球が好きである）
- ある学校で、「サッカーが好きな人は、野球もテニスも好きである」「テニスが好きでない人は、水泳が好きである」「野球が好きな人は、水泳が好きでない」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 水泳が好きでない人は、サッカーが好きである イ テニスが好きな人は、水泳が好きでない ウ サッカーが好きな人は、水泳が好きでない エ 水泳が好きな人は、テニスが好きでない undefined 野球が好きな人は、サッカーが好きである）
- ある会社で、「英語が得意な人は、数学または国語が得意である」「国語が得意な人は、理科が得意である」「数学が得意な人は、理科が得意である」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 数学が得意でない人は、英語が得意でない イ 英語が得意な人は、数学が得意である ウ 英語が得意な人は、理科が得意である エ 理科が得意でない人は、国語が得意である undefined 理科が得意な人は、英語が得意である）
命題と論理（対偶・ド・モルガンの法則・三段論法） ── 解答
基礎
- undefined サッカーが好きでない人は、野球が好きでない 対偶は「後ろを否定して前へ、前を否定して後ろへ」。「サッカーが好きである」の否定「サッカーが好きでない」を前に、「野球が好きである」の否定「野球が好きでない」を後ろに置いて「サッカーが好きでない人は、野球が好きでない」。逆（サッカーが好きである人は、野球が好きである）や裏（野球が好きでない人は、サッカーが好きでない）は、元の命題が真でも真とは限らない。
- エ 猫を飼っていない、かつ犬を飼っていない ド・モルガンの法則：「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」になり、それぞれの部分も否定する。「猫を飼っている、または犬を飼っている」の否定は「猫を飼っていない、かつ犬を飼っていない」。両方をそのまま否定して「または」でつなぐ（猫を飼っていない、または犬を飼っていない）のは誤り。
- エ 裏 「P ならば Q」に対して、前後を入れかえた「Q ならば P」が逆、両方を否定した「P でないならば Q でない」が裏、入れかえて両方否定した「Q でないならば P でない」が対偶。「国語が得意でない人は、数学が得意でない」は裏。元の命題と真偽がいつも一致するのは対偶だけ。
- エ 運動会が中止にならなければ、雨は降っていない 「雨 → 中止」の対偶は「中止でない → 雨でない」。これだけが元の命題と同じ真偽をもつ。「中止 → 雨」は逆、「雨でない → 中止でない」は裏で、どちらも確実ではない（雨以外の理由で中止になることもある）。「中止になるのは雨のときだけ」は逆と同じ意味。最後の選択肢は元の命題と矛盾する。
- イ 対偶のみ 逆「長方形ならば正方形」は、縦横の長さが違う長方形があるので誤り。裏「正方形でないならば長方形でない」も同じ例で誤り。対偶「長方形でないならば正方形でない」は正しい。元の命題が正しいとき常に正しいのは対偶だけ。逆と裏は互いに対偶の関係にあるので、真偽はいつも一致する。
標準
- ア サッカーが好きである人は、野球が好きである 記号で書くと、1 つ目は「サッカーが好きである → テニスが好きである」。2 つ目「テニスが好きである人は、野球が好きである」はそのまま「テニスが好きである → 野球が好きである」。矢印をつなぐと「サッカーが好きである → テニスが好きである → 野球が好きである」なので「サッカーが好きである人は、野球が好きである」が確実にいえる。矢印を逆にたどったもの（野球が好きである人は、サッカーが好きである）や、両方を否定しただけのもの（裏）は確実ではない。
- ア 運動をしない 「運動をする → 電車で通勤している」の対偶は「電車で通勤していない → 運動をしない」。この人は「電車で通勤していない」なので、対偶の矢印をたどって「運動をしない」がいえる。「電車で通勤している」かどうかは、この命題だけからはわからない。よって「運動をしない」。
- ア 数学が好きな人は、国語が好きである 記号にすると 数学 → 理科、理科 → 英語でない、国語でない → 英語。3 つ目の対偶は 英語でない → 国語。つなぐと 数学 → 理科 → 英語でない → 国語 となり、「数学が好きな人は国語が好き」が確実にいえる。国語 → 数学 は矢印を逆にたどっているので不可。英語 → 数学 は、英語 → 理科でない → 数学でない が正しい向き。
- イ 英語と数学の少なくとも一方は得意でない 「英語が得意 かつ 数学が得意」の否定は、ド・モルガンの法則で「英語が得意でない または 数学が得意でない」＝少なくとも一方は得意でない。「両方とも得意でない」は否定の一部（英語だけ得意でない人も否定に含まれる）でしかない。
発展
- イ 野球が好きである人は、サッカーが好きである 「〜でない」で始まる命題は対偶に直して、矢印の向きをそろえる。すると「野球が好きである → 水泳が好きである」「水泳が好きである → テニスが好きである」「テニスが好きである → サッカーが好きである」の 3 本になり、つないで「野球が好きである → サッカーが好きである」。よって「野球が好きである人は、サッカーが好きである」。矢印を逆にたどるもの・両方を否定しただけのものは確実にはいえない。
- ウ サッカーが好きな人は、水泳が好きでない 「サッカー → 野球 かつ テニス」は「サッカー → 野球」と「サッカー → テニス」の 2 本に分ける。野球 → 水泳でない とつなぐと サッカー → 野球 → 水泳でない。よって「サッカーが好きな人は水泳が好きでない」。「テニス → 水泳でない」は、与えられた「テニスでない → 水泳」の裏なので確実ではない。
- ウ 英語が得意な人は、理科が得意である 「英語 → 数学 または 国語」は場合分けする。数学が得意なら 数学 → 理科、国語が得意なら 国語 → 理科。どちらの場合でも理科が得意になるので「英語が得意な人は理科が得意」が確実。「英語 → 数学」は、国語だけが得意な人がいてもよいので確実ではない。「理科でない → 国語」は、理科でない → 国語でない（対偶）と矛盾する。
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