命題と論理（対偶・ド・モルガンの法則・三段論法） ── 問題
基礎
- 命題「鳥を飼っている人は、猫を飼っている」の対偶として正しいものはどれですか。 （ア 猫を飼っていない人は、鳥を飼っている イ 鳥を飼っていない人は、猫を飼っていない ウ 猫を飼っていない人は、鳥を飼っていない エ 猫を飼っている人は、鳥を飼っている undefined 鳥を飼っている人は、猫を飼っていない）
- 「野球が好きである、または水泳が好きである」の否定として正しいものはどれですか。 （ア 野球が好きでない、または水泳が好きである イ 野球が好きでない人は、水泳が好きでない ウ 野球が好きである、かつ水泳が好きでない エ 野球が好きでない、または水泳が好きでない undefined 野球が好きでない、かつ水泳が好きでない）
- 命題「英語が得意である人は、理科が得意である」に対して、命題「英語が得意でない人は、理科が得意でない」を何といいますか。 （ア 同値 イ 対偶 ウ 裏 エ 否定 undefined 逆）
- 「雨が降れば、運動会は中止になる」という命題が正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 雨が降らなければ、運動会は中止にならない イ 雨が降っても、運動会が中止にならないことがある ウ 運動会が中止になれば、雨が降っている エ 運動会が中止にならなければ、雨は降っていない undefined 運動会が中止になるのは、雨が降ったときだけである）
- 命題「正方形ならば、長方形である」は正しい命題です。この命題の逆・裏・対偶のうち、常に正しいものの組み合わせはどれですか。 （ア 逆・裏・対偶のすべて イ 対偶のみ ウ 逆のみ エ 裏のみ undefined 逆と裏）
標準
- 「ぶどうが好きである人は、りんごが好きである」「りんごが好きである人は、みかんが好きである」の 2 つの命題がどちらも正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア りんごが好きでない人は、みかんが好きでない イ ぶどうが好きである人は、みかんが好きである ウ りんごが好きである人は、ぶどうが好きである エ みかんが好きである人は、ぶどうが好きである undefined ぶどうが好きでない人は、みかんが好きでない）
- 「鳥を飼っている人は、魚を飼っている」という命題が正しいことがわかっています。ある人について「鳥を飼っている」ことがわかっているとき、この人について確実にいえるものはどれですか。 （ア 鳥を飼っていない イ 魚を飼っている ウ 魚を飼っていない エ 鳥を飼っている、かつ魚を飼っていない undefined 鳥を飼っていない、かつ魚を飼っている）
- あるクラスで、「数学が好きな人は、理科も好きである」「理科が好きな人は、英語が好きでない」「国語が好きでない人は、英語が好きである」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 数学が好きな人は、国語が好きである イ 英語が好きな人は、数学が好きである ウ 国語が好きな人は、数学が好きである エ 理科が好きでない人は、数学が好きである undefined 国語が好きな人は、理科が好きである）
- 「英語も数学も得意である」の否定として正しいものはどれですか。 （ア 英語も数学も得意でない イ 英語と数学の少なくとも一方は得意でない ウ 英語は得意でない エ 数学は得意でない undefined 英語は得意だが、数学は得意でない）
- 「理科が得意である人は、数学が得意でない」「国語が得意である人は、数学が得意である」の 2 つの命題がどちらも正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 数学が得意である人は、国語が得意である イ 国語が得意である人は、理科が得意でない ウ 国語が得意でない人は、理科が得意である エ 数学が得意でない人は、理科が得意である undefined 理科が得意である人は、国語が得意である）
- 「数学が得意である人は、国語が得意でない」「英語が得意である人は、理科が得意である、かつ数学が得意である」の 2 つの命題がどちらも正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 国語が得意でない人は、英語が得意である イ 国語が得意である人は、理科が得意でない ウ 英語が得意でない人は、国語が得意である エ 英語が得意である人は、国語が得意でない undefined 理科が得意である人は、国語が得意でない）
- あるグループについて、「犬を飼っている人は全員、鳥を飼っている」「鳥を飼っている人の中に、猫を飼っている人は 1 人もいない」の 2 つがわかっているとき、このグループについて確実にいえるものはどれですか。 （ア 犬を飼っていない人は全員、猫を飼っている イ 鳥を飼っている人の中に、犬を飼っていない人は 1 人もいない ウ 犬を飼っている人の中に、猫を飼っている人は 1 人もいない エ 猫を飼っていない人の中に、犬を飼っている人は 1 人もいない undefined 鳥を飼っている人は全員、犬を飼っている）
- ある部署の社員について、「英語が話せる人は全員、パソコンが使える」「パソコンが使える人の中に、車の運転ができない人はいない」「営業担当の中に、英語が話せない人はいない」の 3 つがわかっています。この部署について確実にいえるものはどれですか。 （ア 英語が話せない人の中に、車の運転ができる人はいない イ パソコンが使える人は全員、営業担当である ウ 英語が話せる人は全員、営業担当である エ 営業担当は全員、車の運転ができる undefined 車の運転ができる人は全員、英語が話せる）
発展
- 「サッカーが好きでない人は、野球が好きでない」「野球が好きでない人は、テニスが好きでない」「水泳が好きである人は、テニスが好きである」の 3 つの命題がすべて正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア テニスが好きでない人は、サッカーが好きでない イ 水泳が好きでない人は、サッカーが好きでない ウ 水泳が好きである人は、サッカーが好きである エ サッカーが好きである人は、水泳が好きである undefined 野球が好きである人は、水泳が好きである）
- ある学校で、「サッカーが好きな人は、野球もテニスも好きである」「テニスが好きでない人は、水泳が好きである」「野球が好きな人は、水泳が好きでない」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 水泳が好きでない人は、サッカーが好きである イ テニスが好きな人は、水泳が好きでない ウ サッカーが好きな人は、水泳が好きでない エ 水泳が好きな人は、テニスが好きでない undefined 野球が好きな人は、サッカーが好きである）
- ある会社で、「英語が得意な人は、数学または国語が得意である」「国語が得意な人は、理科が得意である」「数学が得意な人は、理科が得意である」の 3 つがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 数学が得意でない人は、英語が得意でない イ 英語が得意な人は、数学が得意である ウ 英語が得意な人は、理科が得意である エ 理科が得意でない人は、国語が得意である undefined 理科が得意な人は、英語が得意である）
- 「英語が得意である人は、理科が得意である」「数学が得意である人は、理科が得意である」「国語が得意である人は、英語が得意である、または数学が得意である」の 3 つの命題がすべて正しいとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 国語が得意である人は、英語が得意である イ 国語が得意である人は、理科が得意である ウ 英語が得意でない人は、国語が得意でない エ 理科が得意である人は、国語が得意である undefined 理科が得意でない人は、英語が得意である）
- ある職場で、次のア〜エがすべて成り立っています。このとき確実にいえるものはどれですか。 ア 英語が話せる人は、中国語か韓国語の少なくとも一方が話せる イ 中国語が話せる人は、海外勤務の経験がある ウ 韓国語が話せる人は、海外勤務の経験がある エ 海外勤務の経験がある人は、営業部ではない （ア 中国語が話せない人は、英語が話せない イ 英語が話せる人は、営業部ではない ウ 営業部でない人は、英語が話せる エ 英語が話せる人は、中国語が話せる undefined 海外勤務の経験がある人は、英語が話せる）
命題と論理（対偶・ド・モルガンの法則・三段論法） ── 解答
基礎
- ウ 猫を飼っていない人は、鳥を飼っていない 対偶は「後ろを否定して前へ、前を否定して後ろへ」。「猫を飼っている」の否定「猫を飼っていない」を前に、「鳥を飼っている」の否定「鳥を飼っていない」を後ろに置いて「猫を飼っていない人は、鳥を飼っていない」。逆（猫を飼っている人は、鳥を飼っている）や裏（鳥を飼っていない人は、猫を飼っていない）は、元の命題が真でも真とは限らない。
- undefined 野球が好きでない、かつ水泳が好きでない ド・モルガンの法則：「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」になり、それぞれの部分も否定する。「野球が好きである、または水泳が好きである」の否定は「野球が好きでない、かつ水泳が好きでない」。両方をそのまま否定して「または」でつなぐ（野球が好きでない、または水泳が好きでない）のは誤り。
- ウ 裏 「P ならば Q」に対して、前後を入れかえた「Q ならば P」が逆、両方を否定した「P でないならば Q でない」が裏、入れかえて両方否定した「Q でないならば P でない」が対偶。「英語が得意でない人は、理科が得意でない」は裏。元の命題と真偽がいつも一致するのは対偶だけ。
- エ 運動会が中止にならなければ、雨は降っていない 「雨 → 中止」の対偶は「中止でない → 雨でない」。これだけが元の命題と同じ真偽をもつ。「中止 → 雨」は逆、「雨でない → 中止でない」は裏で、どちらも確実ではない（雨以外の理由で中止になることもある）。「中止になるのは雨のときだけ」は逆と同じ意味。最後の選択肢は元の命題と矛盾する。
- イ 対偶のみ 逆「長方形ならば正方形」は、縦横の長さが違う長方形があるので誤り。裏「正方形でないならば長方形でない」も同じ例で誤り。対偶「長方形でないならば正方形でない」は正しい。元の命題が正しいとき常に正しいのは対偶だけ。逆と裏は互いに対偶の関係にあるので、真偽はいつも一致する。
標準
- イ ぶどうが好きである人は、みかんが好きである 記号で書くと、1 つ目は「ぶどうが好きである → りんごが好きである」。2 つ目「りんごが好きである人は、みかんが好きである」はそのまま「りんごが好きである → みかんが好きである」。矢印をつなぐと「ぶどうが好きである → りんごが好きである → みかんが好きである」なので「ぶどうが好きである人は、みかんが好きである」が確実にいえる。矢印を逆にたどったもの（みかんが好きである人は、ぶどうが好きである）や、両方を否定しただけのもの（裏）は確実ではない。
- イ 魚を飼っている 「鳥を飼っている → 魚を飼っている」で、この人は「鳥を飼っている」なので、矢印をそのままたどって「魚を飼っている」がいえる。逆に「魚を飼っている」から「鳥を飼っている」を導くことはできない。よって「魚を飼っている」。
- ア 数学が好きな人は、国語が好きである 記号にすると 数学 → 理科、理科 → 英語でない、国語でない → 英語。3 つ目の対偶は 英語でない → 国語。つなぐと 数学 → 理科 → 英語でない → 国語 となり、「数学が好きな人は国語が好き」が確実にいえる。国語 → 数学 は矢印を逆にたどっているので不可。英語 → 数学 は、英語 → 理科でない → 数学でない が正しい向き。
- イ 英語と数学の少なくとも一方は得意でない 「英語が得意 かつ 数学が得意」の否定は、ド・モルガンの法則で「英語が得意でない または 数学が得意でない」＝少なくとも一方は得意でない。「両方とも得意でない」は否定の一部（英語だけ得意でない人も否定に含まれる）でしかない。
- イ 国語が得意である人は、理科が得意でない 「国語が得意である → 数学が得意である」と「理科が得意である人は、数学が得意でない」を並べる。2 つ目「理科が得意である → 数学が得意でない」の対偶をとって「数学が得意である → 理科が得意でない」にそろえると、「国語が得意である → 数学が得意である → 理科が得意でない」とつながり、「国語が得意である人は、理科が得意でない」が確実にいえる（対偶の「理科が得意である人は、国語が得意でない」も同じ意味で正しい）。「国語が得意でない人は、理科が得意である」は裏、「数学が得意である人は、国語が得意である」は逆なので確実ではない。
- エ 英語が得意である人は、国語が得意でない 後ろに「かつ」がある「英語が得意である → 理科が得意である かつ 数学が得意である」は「英語が得意である → 理科が得意である」「英語が得意である → 数学が得意である」の 2 本に分ける。「数学が得意である → 国語が得意でない」とつなぐと「英語が得意である → 数学が得意である → 国語が得意でない」。よって「英語が得意である人は、国語が得意でない」。「理科が得意である人は、国語が得意でない」は 理科が得意である から出る矢印がないので確実ではなく、「国語が得意でない人は、英語が得意である」は逆向き。
- ウ 犬を飼っている人の中に、猫を飼っている人は 1 人もいない ベン図で考える。「犬を飼っている人は全員、鳥を飼っている」は「犬を飼っている」の円が「鳥を飼っている」の円の内側にあること（犬を飼っている → 鳥を飼っている）。「鳥を飼っている人の中に 猫を飼っている人はいない」は「鳥を飼っている」の円と「猫を飼っている」の円が離れていること（鳥を飼っている → 猫を飼っていない）。「犬を飼っている」の円は「鳥を飼っている」の内側なので、「猫を飼っている」の円とは離れている。よって「犬を飼っている人の中に、猫を飼っている人は 1 人もいない」。「鳥を飼っている人は全員、犬を飼っている」は円の内外が逆。「犬を飼っていない人は全員、猫を飼っている」は、どちらの円にも入らない人がいてよいので確実ではない。「猫を飼っていない人の中に 犬を飼っている人はいない」は「犬を飼っている人は全員、猫を飼っている」と同じ意味で、犬を飼っている → 猫を飼っていない という結論と食い違うので誤り。「鳥を飼っている人の中に 犬を飼っていない人はいない」は円の内外が逆。
- エ 営業担当は全員、車の運転ができる ベン図で描くと、「全員〜」は円が内側に入る形、「〜の中に〜でない人はいない」も内側に入る形。英語 ⊂ パソコン、パソコン ⊂ 運転、営業 ⊂ 英語（「営業担当の中に英語が話せない人はいない」は「営業担当は全員英語が話せる」と同じ）。円は 営業 ⊂ 英語 ⊂ パソコン ⊂ 運転 の順に重なるので、いちばん内側の営業担当は全員、車の運転ができる。「運転 → 英語」「パソコン → 営業」「英語 → 営業」は円の内外が逆。「英語が話せない人の中に運転ができる人はいない」は 運転 → 英語 と同じ意味で、確実ではない。
発展
- ウ 水泳が好きである人は、サッカーが好きである 「〜でない」で始まる命題は対偶に直して、矢印の向きをそろえる。すると「水泳が好きである → テニスが好きである」「テニスが好きである → 野球が好きである」「野球が好きである → サッカーが好きである」の 3 本になり、つないで「水泳が好きである → サッカーが好きである」。よって「水泳が好きである人は、サッカーが好きである」。矢印を逆にたどるもの・両方を否定しただけのものは確実にはいえない。
- ウ サッカーが好きな人は、水泳が好きでない 「サッカー → 野球 かつ テニス」は「サッカー → 野球」と「サッカー → テニス」の 2 本に分ける。野球 → 水泳でない とつなぐと サッカー → 野球 → 水泳でない。よって「サッカーが好きな人は水泳が好きでない」。「テニス → 水泳でない」は、与えられた「テニスでない → 水泳」の裏なので確実ではない。
- ウ 英語が得意な人は、理科が得意である 「英語 → 数学 または 国語」は場合分けする。数学が得意なら 数学 → 理科、国語が得意なら 国語 → 理科。どちらの場合でも理科が得意になるので「英語が得意な人は理科が得意」が確実。「英語 → 数学」は、国語だけが得意な人がいてもよいので確実ではない。「理科でない → 国語」は、理科でない → 国語でない（対偶）と矛盾する。
- イ 国語が得意である人は、理科が得意である 後ろに「または」がある「国語が得意である → 英語が得意である または 数学が得意である」は場合分けする。英語が得意であるなら「英語が得意である → 理科が得意である」、数学が得意であるなら「数学が得意である → 理科が得意である」で、どちらの場合も 理科が得意である に着く。よって「国語が得意である人は、理科が得意である」。「国語が得意である人は、英語が得意である」は、数学が得意であるだけに当てはまる人がいてもよいので確実ではない。「英語が得意でない人は、国語が得意でない」はその対偶なので同じく確実ではない。
- イ 英語が話せる人は、営業部ではない 記号にすると、ア 英 → 中 または 韓、イ 中 → 海外、ウ 韓 → 海外、エ 海外 → 営業でない。ア は後ろが「または」なので場合分けする。中国語なら 中 → 海外 → 営業でない、韓国語なら 韓 → 海外 → 営業でない。どちらの場合も「営業部ではない」に着くので、「英語が話せる人は、営業部ではない」が確実にいえる。「英 → 中」は韓国語だけが話せる人がいてもよいので確実ではなく、「中でない → 英でない」はその対偶なので同じ。「海外 → 英」「営業でない → 英」は矢印を逆向きにたどっている。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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