集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小） ── 問題
基礎
- ある会社の社員 42 人に聞いたところ、英語が話せる人が 12 人、中国語が話せる人が 20 人、両方に当てはまる人が 5 人いました。どちらにも当てはまらない人は何人ですか。 （ア 20 人 イ 37 人 ウ 22 人 エ 15 人 undefined 10 人）
- あるクラスの生徒 32 人のうち、犬を飼っている人は 16 人、猫を飼っている人は 12 人、両方に当てはまる人は 8 人です。どちらか一方だけに当てはまる人は何人ですか。
- ある高校の生徒 80 人のうち、部活動に入っている人は 46 人、委員会に入っている人は 60 人います。両方に当てはまる人は最も少なくて何人ですか。
- あるクラスの生徒について、「サッカーが好きな人」の集合を A、「野球が好きな人」の集合を B とします。「サッカーも野球も好きではない人」に当たるベン図の部分はどれですか。 （ア A にも B にも入らない部分 イ A または B に入る部分 ウ A と B の重なりの部分 エ A に入って B に入らない部分 undefined A と B の重なり以外のすべての部分）
標準
- アンケートの回答者 28 人のうち、映画が好きな人は 12 人、音楽が好きな人は 11 人で、どちらにも当てはまらない人が 10 人いました。両方に当てはまる人は何人ですか。 （ア 5 人 イ 6 人 ウ 20 人 エ 1 人）
- ある町の住民 42 人に聞いたところ、電車を利用する人が 22 人、バスを利用する人が 18 人、自転車を利用する人が 18 人、電車とバスの両方に当てはまる人が 9 人、バスと自転車の両方に当てはまる人が 9 人、電車と自転車の両方に当てはまる人が 10 人、3 つすべてに当てはまる人が 4 人いました。どれにも当てはまらない人は何人ですか。 （ア 16 人 イ 14 人 ウ 20 人 エ 8 人 undefined 12 人）
- ある町の住民に聞いたところ、電車を利用する人が 23 人、バスを利用する人が 15 人、自転車を利用する人が 15 人、電車とバスの両方に当てはまる人が 5 人、バスと自転車の両方に当てはまる人が 6 人、電車と自転車の両方に当てはまる人が 9 人、3 つすべてに当てはまる人が 3 人いました。3 つのうち 1 つだけに当てはまる人は何人ですか。
- ある会社の社員に聞いたところ、英語と中国語の両方に当てはまる人が 15 人、中国語と韓国語の両方に当てはまる人が 10 人、英語と韓国語の両方に当てはまる人が 13 人、3 つすべてに当てはまる人が 6 人いました。3 つのうちちょうど 2 つに当てはまる人は何人ですか。
- ある町の住民 60 人のうち、電車を利用する人は 44 人、バスを利用する人は 20 人います。電車を利用する人のうち、バスを利用する人ではない人は最も多くて何人ですか。 （ア 40 人 イ 4 人 ウ 44 人 エ 24 人 undefined 16 人）
- 120 人の生徒に通学手段を聞いたところ、電車を使う人が 70 人、バスを使う人が 45 人、自転車を使う人が 40 人、電車とバスの両方を使う人が 20 人、バスと自転車の両方を使う人が 10 人、電車と自転車の両方を使う人が 15 人、3 つすべてを使う人が 5 人でした。3 つのうち 1 つだけを使う人は何人ですか。 （ア 85 人 イ 80 人 ウ 75 人 エ 90 人 undefined 70 人）
発展
- ある高校の生徒 55 人に聞いたところ、部活動に入っている人が 15 人、委員会に入っている人が 22 人、習い事をしている人が 26 人で、3 つのうちちょうど 2 つに当てはまる人が 12 人、どれにも当てはまらない人が 8 人でした。3 つすべてに当てはまる人は何人ですか。 （ア 4 人 イ 8 人 ウ 16 人 エ 2 人 undefined 14 人）
- ある会社の社員 100 人のうち、英語が話せる人は 43 人、中国語が話せる人は 93 人、韓国語が話せる人は 71 人います。3 つすべてに当てはまる人は最も少なくて何人ですか。 （ア 43 人 イ 29 人 ウ 107 人 エ 7 人 undefined 36 人）
- 100 人にアンケートをとったところ、A 紙を読む人が 60 人、B 紙を読む人が 55 人、C 紙を読む人が 45 人で、どれも読まない人が 10 人、3 紙のうちちょうど 2 紙を読む人が 30 人でした。3 紙すべてを読む人は何人ですか。 （ア 20 人 イ 15 人 ウ 10 人 エ 25 人 undefined 40 人）
- 50 人の社員のうち、英語が話せる人が 35 人、中国語が話せる人が 30 人います。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 両方話せる人は 15 人以上いる イ 両方話せる人は 30 人未満である ウ どちらも話せない人は 15 人以上いる エ 英語だけ話せる人は 20 人以上いる undefined 両方話せる人はちょうど 15 人である）
集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小） ── 解答
基礎
- エ 15 人 英語だけ ＝ 12 − 5 ＝ 7 人、中国語だけ ＝ 20 − 5 ＝ 15 人。少なくとも一方に当てはまる人 ＝ 7 ＋ 5 ＋ 15 ＝ 27 人（式なら 12 ＋ 20 − 5）。どちらにも当てはまらない人 ＝ 42 − 27 ＝ 15 人。
- 12 犬だけ ＝ 16 − 8 ＝ 8 人、猫だけ ＝ 12 − 8 ＝ 4 人。一方だけ ＝ 8 ＋ 4 ＝ 12 人。16 ＋ 12 から重なり 8 を 2 回引いても同じ。
- 26 46 ＋ 60 ＝ 106 人分は、全体 80 人を 26 人分はみ出す。はみ出した分は同じ人が 2 回数えられている（両方に当てはまる）としか考えられないので、両方に当てはまる人は最も少なくて 26 人。（最も多くて 46 人。）
- ア A にも B にも入らない部分 「サッカーが好きでなく、かつ野球も好きでない」は、A の外側かつ B の外側、つまりどちらの円にも入らない部分。「重なり以外のすべて」は「サッカーか野球の少なくとも一方が好きでない」（ド・モルガンの法則で「かつ」の否定）に当たるので別のもの。
標準
- ア 5 人 少なくとも一方に当てはまる人 ＝ 28 − 10 ＝ 18 人。12 ＋ 11 ＝ 23 は重なりを 2 回数えているので、重なり ＝ 23 − 18 ＝ 5 人。
- エ 8 人 内側から埋める。2 つだけ：電車とバスだけ ＝ 9 − 4 ＝ 5、バスと自転車だけ ＝ 9 − 4 ＝ 5、電車と自転車だけ ＝ 10 − 4 ＝ 6。1 つだけ：電車 ＝ 22 − (5 ＋ 6 ＋ 4) ＝ 7、バス ＝ 4、自転車 ＝ 3。どれかに当てはまる人 ＝ 34 人（式なら 22 ＋ 18 ＋ 18 − 9 − 9 − 10 ＋ 4）。どれにも当てはまらない人 ＝ 42 − 34 ＝ 8 人。
- 22 2 つだけの部分 ＝ 5 − 3 ＝ 2、6 − 3 ＝ 3、9 − 3 ＝ 6。電車だけ ＝ 23 − (2 ＋ 6 ＋ 3) ＝ 12、バスだけ ＝ 15 − (2 ＋ 3 ＋ 3) ＝ 7、自転車だけ ＝ 15 − (3 ＋ 6 ＋ 3) ＝ 3。合計 22 人。
- 20 「英語と中国語の両方」の 15 人には 3 つすべての 6 人が含まれる。2 つだけ ＝ (15 − 6) ＋ (10 − 6) ＋ (13 − 6) ＝ 9 ＋ 4 ＋ 7 ＝ 20 人。
- ア 40 人 電車だけ ＝ 44 − (両方)。両方が最も少ないとき、電車だけは最も多くなる。両方の最小 ＝ 44 ＋ 20 − 60 ＝ 4 人。よって 電車だけの最大 ＝ 44 − 4 ＝ 40 人（バスを利用する人以外の全員が電車を利用する人ということ）。
- イ 80 人 2 つだけの部分は、電車・バスだけ 20 − 5 ＝ 15、バス・自転車だけ 10 − 5 ＝ 5、電車・自転車だけ 15 − 5 ＝ 10。電車だけ ＝ 70 − (15 ＋ 10 ＋ 5) ＝ 40、バスだけ ＝ 45 − (15 ＋ 5 ＋ 5) ＝ 20、自転車だけ ＝ 40 − (5 ＋ 10 ＋ 5) ＝ 20。合計 40 ＋ 20 ＋ 20 ＝ 80 人。式では 70 ＋ 45 ＋ 40 − 2 × (20 ＋ 10 ＋ 15) ＋ 3 × 5 ＝ 80。
発展
- エ 2 人 3 つすべての人数を x とする。どれかに当てはまる人 ＝ 55 − 8 ＝ 47 人 ＝ (1 つだけ) ＋ 12 ＋ x。15 ＋ 22 ＋ 26 ＝ 63 ＝ (1 つだけ) ＋ 2 × 12 ＋ 3x（2 つの部分は 2 回、真ん中は 3 回数えられる）。下から上を引くと 63 − 47 ＝ 12 ＋ 2x → 2x ＝ 4 → x ＝ 2 人。
- エ 7 人 2 つずつ考える。英語と中国語の両方の最小 ＝ 43 ＋ 93 − 100 ＝ 36 人。その 36 人と韓国語が話せる人 71 人の重なりの最小 ＝ 36 ＋ 71 − 100 ＝ 7 人。1 本の式なら 43 ＋ 93 ＋ 71 − 2 × 100 ＝ 7。
- ア 20 人 3 紙すべてを x 人とする。どれかを読む人は 100 − 10 ＝ 90 人 ＝ (1 紙だけ) ＋ 30 ＋ x。一方 60 ＋ 55 ＋ 45 ＝ 160 ＝ (1 紙だけ) ＋ 2 × 30 ＋ 3x。引き算して 160 − 90 ＝ 30 ＋ 2x → 2x ＝ 40 → x ＝ 20 人。
- ア 両方話せる人は 15 人以上いる 35 ＋ 30 ＝ 65 は 50 を 15 はみ出すので、両方話せる人は少なくとも 15 人。多いときは 30 人（中国語が話せる人全員が英語も話せる）まであり得るので、「ちょうど 15 人」「30 人未満」は確実ではない。どちらも話せない人は 0 人（両方が 15 人のとき）から 15 人（両方が 30 人のとき）まで動くので「15 人以上」も誤り。英語だけ話せる人は 35 − 両方 で 5 人から 20 人の間。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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