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地方上級 ／ 判断推理 ／ zs-02

更新 2026-09-14

集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小）

この単元でできるようになること

試験での位置づけ

集合の問題は、地方上級・国家一般職・市役所のいずれでもよく見かける単元です。「アンケートの結果、A と答えた人が○人、B と答えた人が○人……。A も B も C も選ばなかった人は何人か」という形が中心で、数え方さえ決まれば計算は足し算と引き算だけです。命題と論理（zs-01）で学んだ「かつ」「または」「〜でない」の読みかえが、そのままベン図の部分に対応します。ここを丁寧にやっておくと、資料解釈（zs-22）の構成比の読み取りにもつながります。

1. 2 つの集合 ── ベン図の 4 つの部分

まずここだけ

集合が 2 つ（A と B）のとき、全体は次の 4 つの部分に分かれます。

部分意味
A だけA に入り、B に入らない
両方A にも B にも入る（A かつ B）
B だけB に入り、A に入らない
どちらでもないA にも B にも入らない

問題文に出てくる数は、たいてい「A の人数」「B の人数」のように重なりを含んだ数です。そこで、いちばん内側の「両方」から順に埋めていきます。

40 人のクラスで、犬を飼っている人が 18 人、猫を飼っている人が 12 人、両方飼っている人が 5 人。どちらも飼っていない人は何人か。 犬だけ ＝ 18 − 5 ＝ 13、猫だけ ＝ 12 − 5 ＝ 7。 どちらでもない ＝ 40 − (13 ＋ 5 ＋ 7) ＝ 15 人

式で書くと 「A または B」の人数 ＝ A ＋ B − 両方 です。足しただけでは重なりを 2 回数えてしまうので、1 回分を引きます。

ここまでできれば十分

言葉とベン図の対応を固めておきます。

「A だけ」を求めるときに「A の人数」をそのまま使ってしまうのが、いちばん多い失敗です。問題文の「A の人数」は「A だけ」ではないと、読むたびに確かめてください。

もう一歩（発展）

「A でない」「B でない」の組み合わせも、ベン図で見ると迷いません。「A でなく、かつ B でない」は「どちらでもない」の 1 か所、「A でない、または B でない」は「両方」以外の 3 か所です。ド・モルガンの法則（zs-01）が、ベン図では「真ん中の補集合」として見えます。

2. 3 つの集合 ── 8 つの部分を内側から埋める

まずここだけ

集合が 3 つになると、ベン図は 8 つの部分（3 つの円の内側 7 か所 ＋ 外側 1 か所）に分かれます。埋める順番は 2 つのときと同じで、いちばん内側（3 つとも）→ 2 つの重なり → 1 つだけ → 外側 です。

50 人に、新聞 X・Y・Z を読んでいるかを聞いた。X が 25 人、Y が 20 人、Z が 18 人、X と Y の両方が 9 人、Y と Z の両方が 7 人、X と Z の両方が 8 人、3 紙とも読む人が 4 人。どの新聞も読まない人は何人か。 X と Y だけ ＝ 9 − 4 ＝ 5、Y と Z だけ ＝ 7 − 4 ＝ 3、X と Z だけ ＝ 8 − 4 ＝ 4 X だけ ＝ 25 − (5 ＋ 4 ＋ 4) ＝ 12、Y だけ ＝ 20 − (5 ＋ 3 ＋ 4) ＝ 8、Z だけ ＝ 18 − (3 ＋ 4 ＋ 4) ＝ 7 3 紙のどれかを読む人 ＝ 12 ＋ 8 ＋ 7 ＋ 5 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 43 どれも読まない ＝ 50 − 43 ＝ 7 人

「X と Y の両方が 9 人」は、3 紙とも読む 4 人を含んだ数です。「X と Y だけ」に直すとき 4 を引くのを忘れないでください。

ここまでできれば十分

7 か所を全部埋めなくても答えが出る式があります。

A または B または C ＝ A ＋ B ＋ C − (A∩B) − (B∩C) − (C∩A) ＋ (A∩B∩C)

上の例なら 25 ＋ 20 ＋ 18 − 9 − 7 − 8 ＋ 4 ＝ 43 で同じ答えになります。2 つずつの重なりを引くと真ん中を 3 回引いてしまうので、最後に 1 回足し戻す、という式です。

ただし、試験では「1 つだけ当てはまる人数」「ちょうど 2 つ当てはまる人数」を問われることが多く、そのときはベン図を埋めたほうが確実です。

もう一歩（発展）

「ちょうど 2 つ」の人数が与えられて、「3 つとも」の人数を求める型があります。真ん中を x と置いてベン図に書き込むと、1 つだけの合計・ちょうど 2 つの合計・3 つともの 3 つの量で方程式が立ちます。

全体 n 人のうち、A・B・C のどれにも当てはまらない人が z 人。A が a 人、B が b 人、C が c 人、ちょうど 2 つ当てはまる人が e 人。3 つとも当てはまる人は何人か。 どれかに当てはまる人 ＝ n − z ＝ (1 つだけ) ＋ e ＋ x a ＋ b ＋ c ＝ (1 つだけ) ＋ 2e ＋ 3x（A・B・C を足すと、2 つの部分は 2 回、真ん中は 3 回数えられる） 下の式から上の式を引くと a ＋ b ＋ c − (n − z) ＝ e ＋ 2x となり、x が求まる。

「A・B・C を足すと、重なりは重なった数だけ数えられる」という見方を持っていると、この型は 1 本の式で片づきます。

3. 人数の最大・最小 ── 決まりきらないときの考え方

まずここだけ

重なりの人数が問題文にないときは、人数は 1 つに決まりません。そこで最大と最小を問われます。

40 人のクラスで、犬を飼っている人が 18 人、猫を飼っている人が 12 人。両方飼っている人は最も多くて何人か。最も少なくて何人か。 最大：猫を飼っている 12 人が全員犬も飼っているとき → 12 人（小さいほうの集合の人数） 最小：18 ＋ 12 ＝ 30 は 40 を超えないので、重なりが 0 でも収まる → 0 人

もし犬 28 人・猫 20 人なら、28 ＋ 20 ＝ 48 で全体 40 をはみ出す 8 人分は、重なりにするしかありません。よって最小は 8 人です。

両方の最小 ＝ A ＋ B − 全体（負なら 0）　　両方の最大 ＝ A と B の小さいほう

ここまでできれば十分

3 つの集合で「3 つとも当てはまる人の最小」を問われたら、2 つずつ順に考えます。

100 人のうち、A が 80 人、B が 70 人、C が 90 人。3 つとも当てはまる人は最も少なくて何人か。 A と B の両方の最小 ＝ 80 ＋ 70 − 100 ＝ 50 人 その 50 人と C 90 人の重なりの最小 ＝ 50 ＋ 90 − 100 ＝ 40 人

これは 1 本にまとめると A ＋ B ＋ C − 2 × 全体（負なら 0）です。「はみ出した分は重なるしかない」という考え方を、集合の数だけくり返しているだけです。

もう一歩（発展）

「A だけ」の最大・最小や「どちらでもない」の最大・最小も、重なりの最大・最小から求まります。

「どこを動かすと、どこが増えるか」をベン図で追う癖をつけてください。最大・最小の問題は、片方の端に寄せて考える（重なりを 0 にする／小さいほうを全部重ねる）のが型です。

4. よくある間違い

間違い正しくは
「A の人数」を「A だけ」として使うA の人数は重なりを含む。A だけ ＝ A − 両方（3 つなら 3 か所を引く）
「A と B の両方」から「3 つとも」を引き忘れる「A と B だけ」＝ (A と B の両方) − (3 つとも)
A または B ＝ A ＋ B としてしまう重なりを 1 回引く。A ＋ B − 両方
両方の最小を 0 と決めつけるA ＋ B が全体を超えていれば、超えた分が最小
「ちょうど 2 つ」と「2 つ以上」を混同する2 つ以上 ＝ ちょうど 2 つ ＋ 3 つとも

5. 解き方の型

  1. 集合の数を確かめ、ベン図を描く（2 つなら 4 部分、3 つなら 8 部分）
  2. 問題文の数を「重なりを含む数」か「〜だけの数」かに分けて印をつける
  3. いちばん内側から外側へ順に埋める。わからない部分は x と置く
  4. 問われている部分（少なくとも一方・1 つだけ・どれでもない）をベン図で指してから足す
  5. 決まらないときは、重なりを 0 にする／小さい集合を全部重ねる、の両端で最小と最大を出す

6. 小テストへ

→ 小テスト（zs-02）

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参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
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受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-02/ ／ 更新 2026-09-14

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