地方上級数的処理文章理解人文科学自然科学社会科学法律経済政治学・行政学ほか

小テスト ／ zs-02

集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小）

← 解説に戻る　数的処理の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

パソコンなら 1〜5 キーで選択、Enter で次へ

集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小） ── 問題

基礎

  1. ある高校の生徒 39 人に聞いたところ、部活動に入っている人が 23 人、委員会に入っている人が 8 人、両方に当てはまる人が 5 人いました。どちらにも当てはまらない人は何人ですか。　（ア 15 人　イ 21 人　ウ 13 人　エ 14 人　undefined 34 人）
  2. ある町の住民 35 人のうち、電車を利用する人は 24 人、バスを利用する人は 14 人、両方に当てはまる人は 9 人です。どちらか一方だけに当てはまる人は何人ですか。　（ア 26 人　イ 22 人　ウ 29 人　エ 20 人　undefined 19 人）
  3. ある高校の生徒 30 人のうち、部活動に入っている人は 18 人、委員会に入っている人は 29 人います。両方に当てはまる人は最も少なくて何人ですか。　（ア 1 人　イ 17 人　ウ 18 人　エ 16 人　undefined 19 人）
  4. ある会社の社員 40 人のうち、英語が話せる人は 34 人、中国語が話せる人は 19 人、韓国語が話せる人は 13 人います。3 つすべてに当てはまる人は最も多くて何人ですか。　（ア 13 人　イ 12 人　ウ 14 人　エ 21 人　undefined 34 人）
  5. あるクラスの生徒に聞いたところ、犬を飼っている人は 23 人、猫を飼っている人は 13 人で、少なくとも一方に当てはまる人は 30 人でした。犬を飼っている人のうち、猫には当てはまらない人は何人ですか。　（ア 17 人　イ 10 人　ウ 6 人　エ 7 人　undefined 13 人）
  6. あるクラスの生徒について、「サッカーが好きな人」の集合を A、「野球が好きな人」の集合を B とします。「サッカーも野球も好きではない人」に当たるベン図の部分はどれですか。　（ア A にも B にも入らない部分　イ A または B に入る部分　ウ A と B の重なりの部分　エ A に入って B に入らない部分　undefined A と B の重なり以外のすべての部分）

標準

  1. ある高校の生徒 49 人のうち、部活動に入っている人は 32 人、委員会に入っている人は 25 人で、どちらにも当てはまらない人が 4 人いました。両方に当てはまる人は何人ですか。　（ア 17 人　イ 14 人　ウ 11 人　エ 7 人　undefined 12 人）
  2. ある町の住民 56 人に聞いたところ、電車を利用する人が 19 人、バスを利用する人が 19 人、自転車を利用する人が 29 人、電車とバスの両方に当てはまる人が 7 人、バスと自転車の両方に当てはまる人が 8 人、電車と自転車の両方に当てはまる人が 11 人、3 つすべてに当てはまる人が 5 人いました。どれにも当てはまらない人は何人ですか。　（ア 25 人　イ 12 人　ウ 11 人　エ 20 人　undefined 10 人）
  3. ある会社の社員に聞いたところ、英語が話せる人が 17 人、中国語が話せる人が 15 人、韓国語が話せる人が 19 人、英語と中国語の両方に当てはまる人が 10 人、中国語と韓国語の両方に当てはまる人が 7 人、英語と韓国語の両方に当てはまる人が 7 人、3 つすべてに当てはまる人が 5 人いました。3 つのうち 1 つだけに当てはまる人は何人ですか。　（ア 3 人　イ 18 人　ウ 17 人　エ 23 人　undefined 19 人）
  4. アンケートの回答者に聞いたところ、映画と音楽の両方に当てはまる人が 8 人、音楽と読書の両方に当てはまる人が 11 人、映画と読書の両方に当てはまる人が 10 人、3 つすべてに当てはまる人が 3 人いました。3 つのうちちょうど 2 つに当てはまる人は何人ですか。　（ア 29 人　イ 26 人　ウ 23 人　エ 17 人　undefined 20 人）
  5. あるクラスの生徒 60 人のうち、犬を飼っている人は 16 人、猫を飼っている人は 48 人います。犬を飼っている人のうち、猫を飼っている人ではない人は最も多くて何人ですか。　（ア 4 人　イ 12 人　ウ 16 人　エ 32 人　undefined 44 人）
  6. アンケートの回答者 80 人のうち、映画が好きな人は 27 人、音楽が好きな人は 51 人います。どちらにも当てはまらない人は最も少なくて何人ですか。　（ア 1 人　イ 53 人　ウ 2 人　エ 3 人　undefined 27 人）
  7. ある講座の受講者 78 人のうち、学生は 47 人、修了した人は 51 人で、学生で修了した人は 28 人でした。社会人で修了しなかった人は何人ですか。　（ア 8 人　イ 7 人　ウ 10 人　エ 9 人　undefined 19 人）
  8. ある会社の社員に聞いたところ、英語が話せる人が 27 人、中国語が話せる人が 16 人、韓国語が話せる人が 17 人、英語と中国語の両方に当てはまる人が 8 人、中国語と韓国語の両方に当てはまる人が 7 人、英語と韓国語の両方に当てはまる人が 9 人、3 つすべてに当てはまる人が 3 人いました。英語が話せる人のうち、中国語には当てはまらない人は何人ですか。　（ア 16 人　イ 18 人　ウ 22 人　エ 27 人　undefined 19 人）
  9. 120 人の生徒に通学手段を聞いたところ、電車を使う人が 70 人、バスを使う人が 45 人、自転車を使う人が 40 人、電車とバスの両方を使う人が 20 人、バスと自転車の両方を使う人が 10 人、電車と自転車の両方を使う人が 15 人、3 つすべてを使う人が 5 人でした。3 つのうち 1 つだけを使う人は何人ですか。　（ア 85 人　イ 80 人　ウ 75 人　エ 90 人　undefined 70 人）
  10. 100 人にアンケートをとったところ、A を選んだ人が 55 人、B を選んだ人が 50 人、C を選んだ人が 40 人で、どれも選ばなかった人が 10 人、3 つのうちちょうど 1 つを選んだ人が 50 人でした。3 つすべてを選んだ人は何人ですか。　（ア 10 人　イ 25 人　ウ 20 人　エ 40 人　undefined 15 人）

発展

  1. ある会社の社員 55 人に聞いたところ、英語が話せる人が 20 人、中国語が話せる人が 23 人、韓国語が話せる人が 25 人で、3 つのうちちょうど 2 つに当てはまる人が 13 人、どれにも当てはまらない人が 10 人でした。3 つすべてに当てはまる人は何人ですか。　（ア 23 人　イ 5 人　ウ 10 人　エ 4 人　undefined 3 人）
  2. ある会社の社員 120 人のうち、英語が話せる人は 77 人、中国語が話せる人は 101 人、韓国語が話せる人は 79 人います。3 つすべてに当てはまる人は最も少なくて何人ですか。　（ア 16 人　イ 77 人　ウ 58 人　エ 17 人　undefined 119 人）
  3. アンケートの回答者 59 人に聞いたところ、映画が好きな人が 18 人、音楽が好きな人が 27 人、読書が好きな人が 24 人で、3 つのうち 2 つ以上に当てはまる人が 15 人、どれにも当てはまらない人が 12 人でした。3 つすべてに当てはまる人は何人ですか。　（ア 7 人　イ 8 人　ウ 9 人　エ 22 人　undefined 32 人）
  4. 100 人にアンケートをとったところ、A 紙を読む人が 60 人、B 紙を読む人が 55 人、C 紙を読む人が 45 人で、どれも読まない人が 10 人、3 紙のうちちょうど 2 紙を読む人が 30 人でした。3 紙すべてを読む人は何人ですか。　（ア 20 人　イ 15 人　ウ 10 人　エ 25 人　undefined 40 人）
  5. 50 人の社員のうち、英語が話せる人が 35 人、中国語が話せる人が 30 人います。このとき確実にいえるものはどれですか。　（ア 両方話せる人は 15 人以上いる　イ 両方話せる人は 30 人未満である　ウ どちらも話せない人は 15 人以上いる　エ 英語だけ話せる人は 20 人以上いる　undefined 両方話せる人はちょうど 15 人である）
  6. 50 人の社員のうち、英語が話せる人が 40 人、中国語が話せる人が 35 人、韓国語が話せる人が 30 人います。このとき確実にいえるものはどれですか。　（ア 3 か国語すべてが話せる人は 5 人以上いる　イ 英語と中国語の両方が話せる人は 25 人以下である　ウ 英語だけが話せる人は 15 人以上いる　エ どれも話せない人は 10 人以上いる　undefined 3 か国語すべてが話せる人は 30 人未満である）

集合とベン図（3 つの集合・人数の最大最小） ── 解答

基礎

  1. ウ　13 人　部活動だけ ＝ 23 − 5 ＝ 18 人、委員会だけ ＝ 8 − 5 ＝ 3 人。少なくとも一方に当てはまる人 ＝ 18 ＋ 5 ＋ 3 ＝ 26 人（式なら 23 ＋ 8 − 5）。どちらにも当てはまらない人 ＝ 39 − 26 ＝ 13 人。
  2. エ　20 人　電車だけ ＝ 24 − 9 ＝ 15 人、バスだけ ＝ 14 − 9 ＝ 5 人。一方だけ ＝ 15 ＋ 5 ＝ 20 人。24 ＋ 14 から重なり 9 を 2 回引いても同じ。
  3. イ　17 人　18 ＋ 29 ＝ 47 人分は、全体 30 人を 17 人分はみ出す。はみ出した分は同じ人が 2 回数えられている（両方に当てはまる）としか考えられないので、両方に当てはまる人は最も少なくて 17 人。（最も多くて 18 人。）
  4. ア　13 人　3 つすべてに当てはまる人は、3 つの集合のどれよりも多くはなれない。いちばん少ない韓国語が話せる人 13 人が全員、残り 2 つにも当てはまるときが最大なので 13 人。（線分図なら、全体 40 の線の左端に 34・19・13 の線を全部そろえて置いた形。）
  5. ア　17 人　少なくとも一方 ＝ 犬だけ ＋ 猫だけ ＋ 両方 ＝ 30。このうち 猫を飼っている人 13 人は「猫だけ ＋ 両方」なので、残りが犬だけ。30 − 13 ＝ 17 人。（両方 ＝ 23 ＋ 13 − 30 ＝ 6 人と出してから 23 − 6 としても同じ。）
  6. ア　A にも B にも入らない部分　「サッカーが好きでなく、かつ野球も好きでない」は、A の外側かつ B の外側、つまりどちらの円にも入らない部分。「重なり以外のすべて」は「サッカーか野球の少なくとも一方が好きでない」（ド・モルガンの法則で「かつ」の否定）に当たるので別のもの。

標準

  1. undefined　12 人　少なくとも一方に当てはまる人 ＝ 49 − 4 ＝ 45 人。32 ＋ 25 ＝ 57 は重なりを 2 回数えているので、重なり ＝ 57 − 45 ＝ 12 人。
  2. undefined　10 人　内側から埋める。2 つだけ：電車とバスだけ ＝ 7 − 5 ＝ 2、バスと自転車だけ ＝ 8 − 5 ＝ 3、電車と自転車だけ ＝ 11 − 5 ＝ 6。1 つだけ：電車 ＝ 19 − (2 ＋ 6 ＋ 5) ＝ 6、バス ＝ 9、自転車 ＝ 15。どれかに当てはまる人 ＝ 46 人（式なら 19 ＋ 19 ＋ 29 − 7 − 8 − 11 ＋ 5）。どれにも当てはまらない人 ＝ 56 − 46 ＝ 10 人。
  3. イ　18 人　2 つだけの部分 ＝ 10 − 5 ＝ 5、7 − 5 ＝ 2、7 − 5 ＝ 2。英語だけ ＝ 17 − (5 ＋ 2 ＋ 5) ＝ 5、中国語だけ ＝ 15 − (5 ＋ 2 ＋ 5) ＝ 3、韓国語だけ ＝ 19 − (2 ＋ 2 ＋ 5) ＝ 10。合計 18 人。
  4. undefined　20 人　「映画と音楽の両方」の 8 人には 3 つすべての 3 人が含まれる。2 つだけ ＝ (8 − 3) ＋ (11 − 3) ＋ (10 − 3) ＝ 5 ＋ 8 ＋ 7 ＝ 20 人。
  5. イ　12 人　犬だけ ＝ 16 − (両方)。両方が最も少ないとき、犬だけは最も多くなる。両方の最小 ＝ 16 ＋ 48 − 60 ＝ 4 人。よって 犬だけの最大 ＝ 16 − 4 ＝ 12 人（猫を飼っている人以外の全員が犬を飼っている人ということ）。
  6. ウ　2 人　少なくとも一方が最も多いとき、当てはまらない人は最も少ない。27 ＋ 51 ＝ 78 は全体 80 に収まるので、重なりを 0 にできる（線分図で 2 本を左端と右端に離して置く）。少なくとも一方の最大 ＝ 78 人、当てはまらない人の最小 ＝ 80 − 78 ＝ 2 人。
  7. ア　8 人　縦に学生／社会人、横に修了した／修了しなかったの 2 × 2 の表を書き、合計の行と列を足す。社会人 ＝ 78 − 47 ＝ 31 人、修了しなかった人 ＝ 78 − 51 ＝ 27 人。学生で修了しなかった人 ＝ 47 − 28 ＝ 19 人。社会人で修了しなかった人 ＝ 27 − 19 ＝ 8 人（列で見れば 31 − (51 − 28) ＝ 8）。
  8. undefined　19 人　ベン図の 8 か所を内側から埋める。英語と中国語だけ ＝ 8 − 3 ＝ 5、英語と韓国語だけ ＝ 9 − 3 ＝ 6。英語だけ ＝ 27 − (5 ＋ 6 ＋ 3) ＝ 13。「英語に当てはまり中国語には当てはまらない」は、英語の円のうち中国語の円の外側、つまり「英語だけ」＋「英語と韓国語だけ」＝ 13 ＋ 6 ＝ 19 人。式なら 27 − 8（英語と中国語の両方）＝ 19。
  9. イ　80 人　2 つだけの部分は、電車・バスだけ 20 − 5 ＝ 15、バス・自転車だけ 10 − 5 ＝ 5、電車・自転車だけ 15 − 5 ＝ 10。電車だけ ＝ 70 − (15 ＋ 10 ＋ 5) ＝ 40、バスだけ ＝ 45 − (15 ＋ 5 ＋ 5) ＝ 20、自転車だけ ＝ 40 − (5 ＋ 10 ＋ 5) ＝ 20。合計 40 ＋ 20 ＋ 20 ＝ 80 人。式では 70 ＋ 45 ＋ 40 − 2 × (20 ＋ 10 ＋ 15) ＋ 3 × 5 ＝ 80。
  10. undefined　15 人　「1 つだけ」「ちょうど 2 つ」「3 つとも」の 3 行の表を書く。1. 人数の合計：どれかを選んだ人 ＝ 100 − 10 ＝ 90 ＝ 50 ＋ (ちょうど 2 つ) ＋ (3 つとも) → ちょうど 2 つ ＋ 3 つとも ＝ 40。2. のべ人数：55 ＋ 50 ＋ 40 ＝ 145 ＝ 50 × 1 ＋ (ちょうど 2 つ) × 2 ＋ (3 つとも) × 3 → ちょうど 2 つ × 2 ＋ 3 つとも × 3 ＝ 95。3. 95 − 40 × 2 ＝ 15 が 3 つともの人数。ちょうど 2 つは 40 − 15 ＝ 25 人（これを答えにしない）。

発展

  1. イ　5 人　3 つすべての人数を x とする。どれかに当てはまる人 ＝ 55 − 10 ＝ 45 人 ＝ (1 つだけ) ＋ 13 ＋ x。20 ＋ 23 ＋ 25 ＝ 68 ＝ (1 つだけ) ＋ 2 × 13 ＋ 3x（2 つの部分は 2 回、真ん中は 3 回数えられる）。下から上を引くと 68 − 45 ＝ 13 ＋ 2x → 2x ＝ 10 → x ＝ 5 人。
  2. エ　17 人　2 つずつ考える。英語と中国語の両方の最小 ＝ 77 ＋ 101 − 120 ＝ 58 人。その 58 人と韓国語が話せる人 79 人の重なりの最小 ＝ 58 ＋ 79 − 120 ＝ 17 人。1 本の式なら 77 ＋ 101 ＋ 79 − 2 × 120 ＝ 17。
  3. ア　7 人　「1 つだけ」「ちょうど 2 つ」「3 つとも」の 3 行の表で考える。人数の合計：どれかに当てはまる人 ＝ 59 − 12 ＝ 47 なので、1 つだけ ＝ 47 − 15 ＝ 32 人。のべ人数：18 ＋ 27 ＋ 24 ＝ 69 ＝ 32 × 1 ＋ (ちょうど 2 つ) × 2 ＋ (3 つとも) × 3。2 つ以上の 15 人を全員「ちょうど 2 つ」とみなすと、のべ 32 ＋ 15 × 2 ＝ 62。実際との差 69 − 62 ＝ 7 が、3 つともの人が 1 人につき 1 回多く数えられた分なので、3 つとも ＝ 7 人。
  4. ア　20 人　3 紙すべてを x 人とする。どれかを読む人は 100 − 10 ＝ 90 人 ＝ (1 紙だけ) ＋ 30 ＋ x。一方 60 ＋ 55 ＋ 45 ＝ 160 ＝ (1 紙だけ) ＋ 2 × 30 ＋ 3x。引き算して 160 − 90 ＝ 30 ＋ 2x → 2x ＝ 40 → x ＝ 20 人。
  5. ア　両方話せる人は 15 人以上いる　35 ＋ 30 ＝ 65 は 50 を 15 はみ出すので、両方話せる人は少なくとも 15 人。多いときは 30 人（中国語が話せる人全員が英語も話せる）まであり得るので、「ちょうど 15 人」「30 人未満」は確実ではない。どちらも話せない人は 0 人（両方が 15 人のとき）から 15 人（両方が 30 人のとき）まで動くので「15 人以上」も誤り。英語だけ話せる人は 35 − 両方 で 5 人から 20 人の間。
  6. ア　3 か国語すべてが話せる人は 5 人以上いる　1. 英語と中国語の両方の最小 ＝ 40 ＋ 35 − 50 ＝ 25 人（最大は 35 人）。2. その 25 人と韓国語 30 人の重なりの最小 ＝ 25 ＋ 30 − 50 ＝ 5 人。よって 3 か国語すべてが話せる人は少なくとも 5 人（1 本の式なら 40 ＋ 35 ＋ 30 − 2 × 50 ＝ 5）。3. 最大は 30 人（韓国語が話せる人全員が英語も中国語も話せる）なので「30 人未満」は確実ではない。4. どれも話せない人は 0 人から 10 人（50 − 40）の間。5. 英語と中国語の両方は 25 人から 35 人の間で「25 人以下」とは限らない。6. 英語だけは 0 人から 15 人の間（中国語か韓国語の少なくとも一方が話せる人は 35 人以上いて、その全員が英語も話せることがある）なので「15 人以上」は確実ではない。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。