試合（リーグ戦・トーナメント） ── 問題
基礎
- 5 チームが総当たりのリーグ戦を行う。どの 2 チームもホームとアウェイで 2 回ずつ対戦する場合、試合数は全部で何試合ですか。
- 32 チームがトーナメント（勝ち抜き戦）で優勝を決める。引き分けはなく、負けたチームはそこで終わりとする。試合数は全部で何試合ですか。
- 6 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 6 チームの勝ち数の合計は 15 である イ 全勝のチームが 1 つある ウ 勝ち数の合計は 30 である エ 同じ勝ち数のチームは存在しない undefined 各チームの試合数は 6 である）
- 16 チームが参加するトーナメント（不戦勝なし・引き分けなし）について正しいものはどれですか。 （ア 優勝チームの試合数は 4 試合である イ 準決勝に進むのは 2 チームである ウ 2 回戦は 8 試合行われる エ 優勝チームの試合数は 5 試合である undefined 試合数は全部で 16 試合である）
標準
- A〜E の 5 チームが総当たりのリーグ戦を行い、引き分けはなかった。B 以外の 4 チームの成績は、A が 4 勝 0 敗、C が 1 勝 3 敗、D が 1 勝 3 敗、E が 3 勝 1 敗であった。B の勝ち数はいくつですか。 （ア 0 勝 イ 1 勝 ウ 2 勝 エ 3 勝）
- 5 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行った。勝ちは勝ち点 3、引き分けは両チームに勝ち点 1、負けは勝ち点 0 とする。全チームの勝ち点の合計が 24 であったとき、引き分けの試合は何試合ありましたか。 （ア 6 試合 イ 8 試合 ウ 4 試合 エ 7 試合）
- A〜D の 4 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。次のア〜エのことがわかっているとき、確実にいえるものはどれですか。 ア A は 2 勝 1 敗だった イ D と A の勝ち数は同じだった ウ A は C に勝った エ C は B に勝った （ア A は B に勝った イ D は C に勝った ウ D は 2 勝 1 敗だった エ B は D に勝った undefined C は 1 勝 2 敗だった）
- A〜D の 4 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けは全体で 1 試合だけであった。A は 2 勝 1 敗、B は 1 勝 1 敗 1 分、C は 0 勝 2 敗 1 分であった。D の成績はどれですか。 （ア 1 勝 1 敗 1 分 イ 2 勝 0 敗 1 分 ウ 2 勝 1 敗 エ 1 勝 2 敗 undefined 3 勝 0 敗）
- 5 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、勝ちは勝ち点 3、引き分けは勝ち点 1、負けは勝ち点 0 とした。全試合が終わったとき、5 チームの勝ち点の合計として、あり得ないものはどれですか。 （ア 20 イ 19 ウ 28 エ 30 undefined 25）
発展
- 14 チームがトーナメントで優勝を決める。2 回戦を 8 チームで行えるように、1 回戦で何試合か行い、残りのチームは 1 回戦を不戦勝とする。1 回戦の試合数と不戦勝のチーム数の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 2 試合・6 チーム イ 6 試合・6 チーム ウ 7 試合・0 チーム エ 6 試合・2 チーム undefined 7 試合・1 チーム）
- 9 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。結果は、全勝したチームが 1 つ、全敗したチームが 1 つで、残りの 7 チームはすべて同じ勝ち数であった。残りのチームの勝ち数はいくつですか。
- A〜H の 8 チームがトーナメントで優勝を決めた。1 回戦の組み合わせは A 対 B、C 対 D、E 対 F、G 対 H で、2 回戦は「A 対 B の勝者」対「C 対 D の勝者」、「E 対 F の勝者」対「G 対 H の勝者」で行い、その勝者どうしで決勝を行った。次のことがわかっているとき、優勝したチームはどれですか。 ア C は 2 試合した イ F は決勝で負けた ウ B は A に勝った エ D は 1 試合しかしていない （ア C イ F ウ G エ B undefined E）
試合（リーグ戦・トーナメント） ── 解答
基礎
- 20 5 チームから 2 チームを選ぶ組み合わせは 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10 通り。2 回ずつ対戦して 2 倍なので 20 試合。
- 31 1 試合ごとに 1 チームが負けて消える。優勝チーム以外の 31 チームが 1 回ずつ負ければ終わるので、試合数は 32 − 1 ＝ 31 試合。不戦勝（シード）があっても同じ。
- ア 6 チームの勝ち数の合計は 15 である 試合数は 6 × 5 ÷ 2 ＝ 15。引き分けがないので 1 試合につき勝ちが 1 つ生まれ、勝ち数の合計は 15。各チームの試合数は 5。全勝チームがいるかどうか、同じ勝ち数が並ぶかどうかは結果次第で、確実ではない。
- ア 優勝チームの試合数は 4 試合である 16 → 8 → 4 → 2 → 1 とチーム数が半分ずつになるので、1 回戦 8 試合・2 回戦 4 試合・準決勝 2 試合・決勝 1 試合の 4 回戦。優勝チームは各回戦を 1 試合ずつ勝つので 4 試合。試合数の合計は 16 − 1 ＝ 15。準決勝に進むのは 4 チーム。
標準
- イ 1 勝 5 チームの総当たりは 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10 試合。引き分けがないので、1 試合につき勝ちが 1 つ生まれ、5 チームの勝ち数の合計は 10。B 以外の勝ち数の合計は 9 なので、B は 10 − 9 ＝ 1 勝（3 敗）。
- ア 6 試合 試合数は 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10。勝敗がついた試合は 2 チーム合わせて勝ち点 3、引き分けの試合は 1 ＋ 1 ＝ 2 が生まれる。全試合が勝敗つきなら合計 3 × 10 ＝ 30。引き分け 1 試合につき合計が 1 減るので、引き分けは 30 − 24 ＝ 6 試合。
- ウ D は 2 勝 1 敗だった 4 × 4 の勝敗表（縦が自チーム、横が相手）を書き、わかっている勝敗を ○× で入れる。○ を入れたら相手側の対称の位置に × が入る。各チームの試合数は 3、○ の総数は 6 試合分の 6。条件を満たす勝敗の組み合わせは 3 通り（A 2 勝・B 1 勝・C 1 勝・D 2 勝［B＞A A＞C A＞D C＞B D＞B D＞C］／A 2 勝・B 0 勝・C 2 勝・D 2 勝［A＞B A＞C D＞A C＞B D＞B C＞D］／A 2 勝・B 1 勝・C 1 勝・D 2 勝［A＞B A＞C D＞A C＞B B＞D D＞C］）。どの場合でも成り立つのは「D は 2 勝 1 敗だった」。
- ウ 2 勝 1 敗 試合数は 6。引き分けは 1 試合だけで、B と C にそれぞれ 1 分があるので、その 1 試合は B 対 C。したがって D に引き分けはなく、D は 3 試合すべて勝敗がついた。全体で勝ちの数と負けの数は等しい。A・B・C の勝ちの合計は 2 ＋ 1 ＋ 0 ＝ 3、負けの合計は 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 4。D の勝ちを x・負けを y とすると 3 ＋ x ＝ 4 ＋ y かつ x ＋ y ＝ 3。よって x ＝ 2、y ＝ 1 で D は 2 勝 1 敗。（引き分けの数の条件がないと、D が B・C と引き分ける 1 勝 0 敗 2 分の場合も残る。）
- イ 19 試合数は 10。勝敗がついた試合は合計 3、引き分けの試合は合計 2 の勝ち点を生む。引き分けが d 試合なら合計は 3 × (10 − d) ＋ 2d ＝ 30 − d で、d は 0〜10 の整数。よって合計は 20 以上 30 以下。19 はあり得ない。
発展
- エ 6 試合・2 チーム 1 回戦の試合数を x、不戦勝を y チームとすると、1 回戦に出るのは 2x チーム、合計で 2x ＋ y ＝ 14。2 回戦に進むのは 1 回戦の勝者 x チームと不戦勝 y チームで x ＋ y ＝ 8。引き算して x ＝ 14 − 8 ＝ 6、y ＝ 8 − 6 ＝ 2。
- 4 試合数（＝勝ち数の合計）は 9 × 8 ÷ 2 ＝ 36。全勝チームが 8 勝、全敗チームが 0 勝なので、残り 7 チームの勝ち数の合計は 36 − 8 ＝ 28。28 ÷ 7 ＝ 4 勝ずつ。
- エ B エ から D は 1 回戦で負け、C が 2 回戦に進んだ。ウ から 1 回戦 A 対 B は B が勝ち、2 回戦は B 対 C。ア から C の試合数は 2 なので、C は 2 回戦で負けた（勝てば決勝で 3 試合目になる）。よって決勝に進んだのは B。イ から決勝で負けたのは F なので、決勝は B 対 F で、優勝は B。E 対 F・G 対 H の側は F が勝ち上がったことだけわかる。
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