試合（リーグ戦・トーナメント） ── 問題
基礎
- 4 チームが総当たりのリーグ戦を行う。どの 2 チームもホームとアウェイで 2 回ずつ対戦する場合、試合数は全部で何試合ですか。
- 23 チームがトーナメント（勝ち抜き戦）で優勝を決める。引き分けはなく、負けたチームはそこで終わりとする。試合数は全部で何試合ですか。
- 6 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。このとき確実にいえるものはどれですか。 （ア 6 チームの勝ち数の合計は 15 である イ 全勝のチームが 1 つある ウ 勝ち数の合計は 30 である エ 同じ勝ち数のチームは存在しない undefined 各チームの試合数は 6 である）
- 16 チームが参加するトーナメント（不戦勝なし・引き分けなし）について正しいものはどれですか。 （ア 優勝チームの試合数は 4 試合である イ 準決勝に進むのは 2 チームである ウ 2 回戦は 8 試合行われる エ 優勝チームの試合数は 5 試合である undefined 試合数は全部で 16 試合である）
標準
- A〜E の 5 チームが総当たりのリーグ戦を行い、引き分けはなかった。D 以外の 4 チームの成績は、A が 2 勝 2 敗、B が 3 勝 1 敗、C が 1 勝 3 敗、E が 2 勝 2 敗であった。D の勝ち数はいくつですか。 （ア 4 勝 イ 2 勝 ウ 1 勝 エ 0 勝 undefined 3 勝）
- 5 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行った。勝ちは勝ち点 3、引き分けは両チームに勝ち点 1、負けは勝ち点 0 とする。全チームの勝ち点の合計が 25 であったとき、引き分けの試合は何試合ありましたか。 （ア 6 試合 イ 7 試合 ウ 8 試合 エ 4 試合 undefined 5 試合）
- A〜D の 4 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。次のア〜エのことがわかっているとき、確実にいえるものはどれですか。 ア A は 3 勝 0 敗だった イ A は B に勝った ウ C は B に勝った エ A は C より勝ち数が多かった （ア B は D に勝った イ C は D に勝った ウ D は C に勝った エ B は 1 勝 2 敗だった undefined A は D に勝った）
- A〜D の 4 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けは全体で 1 試合だけであった。A は 2 勝 1 敗、B は 1 勝 1 敗 1 分、C は 0 勝 2 敗 1 分であった。D の成績はどれですか。 （ア 1 勝 1 敗 1 分 イ 2 勝 0 敗 1 分 ウ 2 勝 1 敗 エ 1 勝 2 敗 undefined 3 勝 0 敗）
- 5 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、勝ちは勝ち点 3、引き分けは勝ち点 1、負けは勝ち点 0 とした。全試合が終わったとき、5 チームの勝ち点の合計として、あり得ないものはどれですか。 （ア 20 イ 19 ウ 28 エ 30 undefined 25）
- A〜D の 4 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行った。A は 0 勝 1 敗 2 分、B は 2 勝 0 敗 1 分、C は 2 勝 1 敗であった。D の成績はどれですか。 （ア 1 勝 2 敗 イ 1 勝 1 敗 1 分 ウ 0 勝 2 敗 1 分 エ 2 勝 0 敗 1 分 undefined 0 勝 0 敗 3 分）
- 64 チームが参加するトーナメント（不戦勝なし・引き分けなし）で優勝を決めた。全試合が終わったとき、ちょうど 4 試合を行ったチームは何チームありますか。 （ア 4 チーム イ 3 チーム ウ 60 チーム エ 6 チーム undefined 8 チーム）
- 16 チームが参加するトーナメント（引き分けなし）で優勝を決める。シードの 4 チームは 1 回戦を行わず 2 回戦から出場し、残りの 12 チームは 1 回戦から出場する。2 回戦は 8 チームで行われる。この大会について確実にいえるものはどれですか。 （ア 全試合数は 15 試合である イ 2 回戦は 8 試合行われる ウ 優勝チームの試合数は 4 試合である エ 1 回戦は 8 試合行われる undefined 1 回戦で負けたチームは 8 チームである）
発展
- 10 チームがトーナメントで優勝を決める。2 回戦を 8 チームで行えるように、1 回戦で何試合か行い、残りのチームは 1 回戦を不戦勝とする。1 回戦の試合数と不戦勝のチーム数の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 5 試合・0 チーム イ 3 試合・5 チーム ウ 2 試合・6 チーム エ 6 試合・2 チーム undefined 2 試合・2 チーム）
- 11 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行い、引き分けはなかった。結果は、全勝したチームが 1 つ、全敗したチームが 1 つで、残りの 9 チームはすべて同じ勝ち数であった。残りのチームの勝ち数はいくつですか。
- A〜H の 8 チームがトーナメントで優勝を決めた。1 回戦の組み合わせは A 対 B、C 対 D、E 対 F、G 対 H で、2 回戦は「A 対 B の勝者」対「C 対 D の勝者」、「E 対 F の勝者」対「G 対 H の勝者」で行い、その勝者どうしで決勝を行った。次のことがわかっているとき、優勝したチームはどれですか。 ア C は 2 試合した イ F は決勝で負けた ウ B は A に勝った エ D は 1 試合しかしていない （ア C イ F ウ G エ B undefined E）
- A〜E の 5 チームが総当たりのリーグ戦を 1 回ずつ行った。次のア〜エのことがわかっているとき、確実にいえるものはどれですか。 ア A は 2 勝 1 敗 1 分であった イ B は 1 勝 1 敗 2 分であった ウ C は 1 勝 2 敗 1 分であった エ D は 4 試合すべて引き分けであった （ア E は A に勝った イ 引き分けは全部で 4 試合であった ウ E は 1 勝 1 敗 2 分であった エ C は E に勝った undefined A は B に勝った）
試合（リーグ戦・トーナメント） ── 解答
基礎
- 12 4 チームから 2 チームを選ぶ組み合わせは 4 × 3 ÷ 2 ＝ 6 通り。2 回ずつ対戦して 2 倍なので 12 試合。
- 22 1 試合ごとに 1 チームが負けて消える。優勝チーム以外の 22 チームが 1 回ずつ負ければ終わるので、試合数は 23 − 1 ＝ 22 試合。不戦勝（シード）があっても同じ。
- ア 6 チームの勝ち数の合計は 15 である 試合数は 6 × 5 ÷ 2 ＝ 15。引き分けがないので 1 試合につき勝ちが 1 つ生まれ、勝ち数の合計は 15。各チームの試合数は 5。全勝チームがいるかどうか、同じ勝ち数が並ぶかどうかは結果次第で、確実ではない。
- ア 優勝チームの試合数は 4 試合である 16 → 8 → 4 → 2 → 1 とチーム数が半分ずつになるので、1 回戦 8 試合・2 回戦 4 試合・準決勝 2 試合・決勝 1 試合の 4 回戦。優勝チームは各回戦を 1 試合ずつ勝つので 4 試合。試合数の合計は 16 − 1 ＝ 15。準決勝に進むのは 4 チーム。
標準
- イ 2 勝 5 チームの総当たりは 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10 試合。引き分けがないので、1 試合につき勝ちが 1 つ生まれ、5 チームの勝ち数の合計は 10。D 以外の勝ち数の合計は 8 なので、D は 10 − 8 ＝ 2 勝（2 敗）。
- undefined 5 試合 試合数は 5 × 4 ÷ 2 ＝ 10。勝敗がついた試合は 2 チーム合わせて勝ち点 3、引き分けの試合は 1 ＋ 1 ＝ 2 が生まれる。全試合が勝敗つきなら合計 3 × 10 ＝ 30。引き分け 1 試合につき合計が 1 減るので、引き分けは 30 − 25 ＝ 5 試合。
- undefined A は D に勝った 4 × 4 の勝敗表（縦が自チーム、横が相手）を書き、わかっている勝敗を ○× で入れる。○ を入れたら相手側の対称の位置に × が入る。各チームの試合数は 3、○ の総数は 6 試合分の 6。条件を満たす勝敗の組み合わせは 4 通り（A 3 勝・B 0 勝・C 1 勝・D 2 勝［A＞B A＞C A＞D C＞B D＞B D＞C］／A 3 勝・B 0 勝・C 2 勝・D 1 勝［A＞B A＞C A＞D C＞B D＞B C＞D］／A 3 勝・B 1 勝・C 1 勝・D 1 勝［A＞B A＞C A＞D C＞B B＞D D＞C］／A 3 勝・B 1 勝・C 2 勝・D 0 勝［A＞B A＞C A＞D C＞B B＞D C＞D］）。どの場合でも成り立つのは「A は D に勝った」。
- ウ 2 勝 1 敗 試合数は 6。引き分けは 1 試合だけで、B と C にそれぞれ 1 分があるので、その 1 試合は B 対 C。したがって D に引き分けはなく、D は 3 試合すべて勝敗がついた。全体で勝ちの数と負けの数は等しい。A・B・C の勝ちの合計は 2 ＋ 1 ＋ 0 ＝ 3、負けの合計は 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 4。D の勝ちを x・負けを y とすると 3 ＋ x ＝ 4 ＋ y かつ x ＋ y ＝ 3。よって x ＝ 2、y ＝ 1 で D は 2 勝 1 敗。（引き分けの数の条件がないと、D が B・C と引き分ける 1 勝 0 敗 2 分の場合も残る。）
- イ 19 試合数は 10。勝敗がついた試合は合計 3、引き分けの試合は合計 2 の勝ち点を生む。引き分けが d 試合なら合計は 3 × (10 − d) ＋ 2d ＝ 30 − d で、d は 0〜10 の整数。よって合計は 20 以上 30 以下。19 はあり得ない。
- ウ 0 勝 2 敗 1 分 3 試合ずつなので D の勝ち・負け・分の合計は 3。全体では「勝ちの数 ＝ 負けの数」「分の数は偶数（1 試合で 2 チームに 1 分ずつ）」が成り立つ。A・B・C の勝ちの合計は 4、負けの合計は 2、分の合計は 3。分の合計を偶数にするには D の分は 1（表を書いて、どの相手との試合が引き分けになるかを確かめる）。勝ちと負けの数をそろえるには、D の負けは勝ちより 2 多い。2 試合を勝ち x・負け y に分けて x ＋ y ＝ 2、y − x ＝ 2 を解くと x ＝ 0、y ＝ 2。よって 0 勝 2 敗 1 分。
- ア 4 チーム 64 チームなので 64 → 32 → … → 1 と 6 回戦まである。負けたチームはそこで終わるので、ちょうど k 試合したチームは「k 回戦で負けたチーム」。k 回戦の試合数は 64 ÷ 2^k で、負けるのは各試合 1 チームずつ。4 回戦の試合数は 64 ÷ 16 ＝ 4 なので、4 回戦で負けたのは 4 チーム。よって 4 チーム。
- ア 全試合数は 15 試合である 1. トーナメントでは 1 試合ごとに 1 チームが消えるので、シードがあってもなくても試合数は 16 − 1 ＝ 15。2. 1 回戦は 12 チームで行うので 12 ÷ 2 ＝ 6 試合、負けるのは 6 チーム。勝った 6 チームとシード 4 チームで 2 回戦の 8 チームになる（つじつまが合う）。3. 2 回戦は 8 チームで 4 試合、準決勝 2 試合、決勝 1 試合。6 ＋ 4 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 15 で確かめられる。4. 優勝チームの試合数は、1 回戦から出たチームなら 4 試合、シードなら 3 試合で、どちらかは決まらない。
発展
- ウ 2 試合・6 チーム 1 回戦の試合数を x、不戦勝を y チームとすると、1 回戦に出るのは 2x チーム、合計で 2x ＋ y ＝ 10。2 回戦に進むのは 1 回戦の勝者 x チームと不戦勝 y チームで x ＋ y ＝ 8。引き算して x ＝ 10 − 8 ＝ 2、y ＝ 8 − 2 ＝ 6。
- 5 試合数（＝勝ち数の合計）は 11 × 10 ÷ 2 ＝ 55。全勝チームが 10 勝、全敗チームが 0 勝なので、残り 9 チームの勝ち数の合計は 55 − 10 ＝ 45。45 ÷ 9 ＝ 5 勝ずつ。
- エ B エ から D は 1 回戦で負け、C が 2 回戦に進んだ。ウ から 1 回戦 A 対 B は B が勝ち、2 回戦は B 対 C。ア から C の試合数は 2 なので、C は 2 回戦で負けた（勝てば決勝で 3 試合目になる）。よって決勝に進んだのは B。イ から決勝で負けたのは F なので、決勝は B 対 F で、優勝は B。E 対 F・G 対 H の側は F が勝ち上がったことだけわかる。
- ウ E は 1 勝 1 敗 2 分であった 5 × 5 の勝敗表を書き、△ から先に入れる。1. エ から D の 4 試合は △。対称の位置（A・B・C・E の D 戦）にも △ が入る。2. A の分は 1 つ（ア）、C の分も 1 つ（ウ）で、どちらも D 戦で使い切っている。B の分は 2 つ（イ）で、D 戦のほかにもう 1 つあるが、A・C とは引き分けられないので B 対 E が △。3. 引き分けは D の 4 試合 ＋ B 対 E の 5 試合。E の分は D 戦と B 戦の 2 つ。4. 全体で勝ちの数 ＝ 負けの数。A〜D の勝ちは 2 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 0 ＝ 4、負けは 1 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 0 ＝ 4 なので、E の勝ちと負けは同数。E の 4 試合のうち 2 試合が △ なので、残り 2 試合は 1 勝 1 敗。5. A・B・C・E どうしの勝敗（A 対 B・A 対 C・A 対 E・B 対 C・C 対 E）は 3 通りの組み合わせが残り、「A は B に勝った」「C は E に勝った」「E は A に勝った」はどれも成り立たない場合がある。確実にいえるのは「E は 1 勝 1 敗 2 分」。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-06/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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