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小テスト ／ zs-07

発言の真偽（うそつき問題）

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発言の真偽（うそつき問題） ── 問題

基礎

  1. A・B・C の 3 人のうち 1 人が窓ガラスを割った。3 人は次のように言った。割った人だけがうそをつき、ほかの 2 人は本当のことを言っている。割ったのは誰ですか。 A「私は割っていない」 B「C は割っていない」 C「A が割った」　（ア A か B のどちらか　イ A　ウ 決まらない　エ C　undefined B）
  2. 16 人が一列に並んでいる。先頭の人は正直者（常に本当のことを言う）で、2 番目以降の全員が「私のすぐ前の人はうそつきだ」と言った。うそつきは常にうそをつくものとすると、この 16 人のうち正直者は何人ですか。
  3. 正直者（常に本当のことを言う）とうそつき（常にうそをつく）だけが住む村で、ある人が「私はうそつきだ」と言った。この発言についていえることとして妥当なものはどれですか。　（ア この人は正直者である　イ この人はうそつきである　ウ この発言だけでは何も分からないが、次の発言で決まる　エ この人は正直者でもうそつきでもありうる　undefined この発言は正直者にもうそつきにも言えない）
  4. A・B・C・D の 4 人のうち 1 人が犯人である。B が「D が犯人だ」と言い、D が「B はうそをついている」と言った。D の発言と同じ意味の文として妥当なものはどれですか。　（ア B が犯人である　イ D は犯人ではない　ウ B は犯人ではない　エ B と D はどちらも犯人ではない　undefined D が犯人である）

標準

  1. A・B・C の 3 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかで、正直者は 1 人だけである。3 人が次のように言ったとき、正直者は誰ですか。 A「B はうそつきだ」 B「C は正直者だ」 C「A はうそつきだ」　（ア B　イ C　ウ 決まらない　エ A　undefined A と B の 2 通りありうる）
  2. A・B・C・D の 4 人のうち 1 人が花びんを割った。4 人は次のように言ったが、本当のことを言っているのは 1 人だけである。割ったのは誰ですか。 A「B が割った」 B「C は割っていない」 C「D が割った」 D「B が割った」　（ア B　イ 決まらない　ウ D　エ A　undefined C）
  3. A と B の 2 人は、それぞれ正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかである。A「私と B は同じ種類だ」 B「私と A は違う種類だ」と言ったとき、2 人についていえることとして妥当なものはどれですか。　（ア 2 人とも正直者　イ どちらとも決まらない　ウ 2 人ともうそつき　エ A がうそつきで B が正直者　undefined A が正直者で B がうそつき）
  4. A・B・C・D の 4 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかで、正直者は 2 人である。4 人が次のように言ったとき、正直者の組み合わせとして妥当なものはどれですか。 A「C は正直者だ」 B「D は正直者だ」 C「B はうそつきだ」 D「B も C も正直者だ」　（ア A と C　イ C と D　ウ B と D　エ A と B　undefined A と D）
  5. A・B・C・D・E の 5 人のうち 1 人がくじに当たった。5 人は次のように言ったが、うそをついているのは 1 人だけである。当たったのは誰ですか。 A「D は当たっていない」 B「E は当たっていない」 C「B が当たった」 D「A は当たっていない」 E「A は本当のことを言っている」　（ア D　イ A　ウ B　エ E　undefined C）

発展

  1. A・B・C の 3 人がかけっこをした。結果について 3 人は次のように 2 つずつ発言したが、各自の発言は一方が本当で一方がうそである。順位はどうなりますか。 A「私は 1 位だ」「C は 2 位だ」 B「私は 3 位だ」「A は 1 位だ」 C「私は 3 位だ」「B は 3 位だ」　（ア 1 位 C、2 位 A、3 位 B　イ 1 位 A、2 位 B、3 位 C　ウ 1 位 B、2 位 C、3 位 A　エ 1 位 B、2 位 A、3 位 C　undefined 1 位 A、2 位 C、3 位 B）
  2. 円卓に 6 人が等間隔に座り、全員が「私の両隣はどちらもうそつきだ」と言った。正直者は常に本当のことを言い、うそつきは常にうそをつくとき、正直者の人数として考えられる最大は何人ですか。
  3. A・B・C・D の 4 人が 100 m 走をし、同着はなかった。結果について、A「私は C より先にゴールした」 B「私は C より後だった」 C「私は 2 位だった」 D「私は B より後だった」と言った。うそをついているのは 1 人だけである。1 位から 4 位の順として妥当なものはどれですか。　（ア B・C・A・D　イ A・C・D・B　ウ C・A・D・B　エ A・B・C・D　undefined A・C・B・D）

発言の真偽（うそつき問題） ── 解答

基礎

  1. イ　A　犯人を A・B・C と順に仮定し、「犯人の発言だけがうそ」になる行を探す。A を犯人とすると、A の発言だけがうそで残り 2 人は本当になり条件に合う。ほかの 2 人を犯人にすると、犯人でない人の発言がうそになって矛盾する。答え A。
  2. 8　先頭は正直者。2 番目は「前はうそつき」と言ったがそれは本当でないので 2 番目はうそつき。3 番目の「前はうそつき」は本当なので 3 番目は正直者。以下、正直者・うそつきが交互に並ぶ。16 人のうち奇数番目が正直者なので 8 人。
  3. undefined　この発言は正直者にもうそつきにも言えない　正直者が言えば「うそつきだ」がうそになり、うそつきが言えば本当を言ったことになる。どちらの場合も自分の性質と矛盾するので、この村の住人には言えない発言。逆に「私は正直者だ」は誰が言っても成立し、そこからは何も分からない。
  4. イ　D は犯人ではない　「B はうそをついている」は B の発言「D が犯人だ」の否定なので「D は犯人ではない」と同じ。B が犯人かどうかは何も言っていない。発言についての発言は、表を作る前に犯人についての直接の発言に書きかえておく。

標準

  1. エ　A　正直者を A・B・C と順に仮定し、残り 2 人の発言がすべてうそになるかを確かめる。A を正直者とすると、A の発言は本当で、ほかの 2 人の発言はどちらもうそになり条件に合う。ほかの人を正直者にすると、うそつきのはずの人の発言が本当になって矛盾する。答え A。
  2. エ　A　犯人を A・B・C・D と順に仮定し、4 つの発言の本当・うそを表にする。「〜はうそをついている」は相手の発言の否定に読みかえる。本当の数がちょうど 1 になるのは A を犯人としたときだけ。答え A。
  3. エ　A がうそつきで B が正直者　A を正直者と仮定した場合とうそつきと仮定した場合に分け、A の発言「私と B は同じ種類だ」の本当・うそから B の種類を決め、B の発言「私と A は違う種類だ」が B の種類と合うかを確かめる。合う組み合わせは 1 つだけで、A がうそつきで B が正直者。「私たちは 2 人ともうそつきだ」のように、言った本人がうそつきでないと成立しない発言は、その人がうそつきだとすぐ決められる。
  4. ア　A と C　D を正直者と仮定すると B と C も正直者になり、D を入れて 3 人になるので矛盾。よって D はうそつきで、「B も C も正直者」はうそ＝少なくとも一方はうそつき。B の「D は正直者」はうそなので B はうそつき。正直者 2 人は残りの A と C。確かめると A「C は正直者」○、C「B はうそつき」○ で合う。
  5. undefined　C　E の発言は A の発言と本当・うそが一致する。うそつきは 1 人だけなので、A と E が両方うそになることはなく、A・E は本当 → D は当たっていない。当たった人を順に仮定すると、A のとき D がうそ・C もうそで 2 人、B のとき全員本当で 0 人、D のとき A・E の 2 人、E のとき B・C の 2 人。C のときだけ C の発言 1 つがうそになり条件に合う。答え C。

発展

  1. イ　1 位 A、2 位 B、3 位 C　A の第 1 の発言「私は 1 位だ」を本当と仮定した場合とうそと仮定した場合に分け、相方の発言をうそ（本当）にして順位を連鎖させる。一方の仮定では誰かの 2 つの発言が両方本当または両方うそになって矛盾し、残った仮定から 1 位 A、2 位 B、3 位 C と決まる。最後に 3 人全員の発言が「一方だけ本当」になっていることを確かめる。
  2. 3　正直者の両隣はどちらもうそつきなので、正直者どうしは隣り合わない。うそつきの両隣は「少なくとも一方が正直者」であればよい。正直者・うそつきを交互に置くと正直者は 6 ÷ 2（端数切り捨て）＝ 3 人で、これが最大。6 が奇数のときはうそつきが 2 人続く場所が 1 か所できるが、そのうそつきの隣には正直者がいるので条件に合う。
  3. イ　A・C・D・B　うそをついた人を順に仮定する。A がうそ（A は C より後）なら、C が 2 位で A・B・D の 3 人が C より後になり席が足りず矛盾。B がうそ（B は C より先）なら、C が 2 位で B は 1 位、A も C より先で 1 位となり矛盾。C がうそ（C は 2 位でない）なら、A → C → B → D の順で C が 2 位になり矛盾。D がうそ（D は B より先）なら、A → C の順で C が 2 位なので A が 1 位、残る D・B は D が先で 3 位 D・4 位 B。矛盾なし。答え A・C・D・B。

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