発言の真偽（うそつき問題） ── 問題
基礎
- A・B・C の 3 人のうち 1 人が窓ガラスを割った。3 人は次のように言った。割った人だけがうそをつき、ほかの 2 人は本当のことを言っている。割ったのは誰ですか。 A「C が割った」 B「A は割っていない」 C「B が割った」 （ア 決まらない イ B ウ A か B のどちらか エ C undefined A）
- 20 人が一列に並んでいる。先頭の人は正直者（常に本当のことを言う）で、2 番目以降の全員が「私のすぐ前の人はうそつきだ」と言った。うそつきは常にうそをつくものとすると、この 20 人のうち正直者は何人ですか。
- 正直者（常に本当のことを言う）とうそつき（常にうそをつく）だけが住む村で、ある人が「私はうそつきだ」と言った。この発言についていえることとして妥当なものはどれですか。 （ア この人は正直者である イ この人はうそつきである ウ この発言だけでは何も分からないが、次の発言で決まる エ この人は正直者でもうそつきでもありうる undefined この発言は正直者にもうそつきにも言えない）
- A・B・C・D の 4 人のうち 1 人が犯人である。B が「D が犯人だ」と言い、D が「B はうそをついている」と言った。D の発言と同じ意味の文として妥当なものはどれですか。 （ア B が犯人である イ D は犯人ではない ウ B は犯人ではない エ B と D はどちらも犯人ではない undefined D が犯人である）
標準
- A・B・C の 3 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかで、正直者は 1 人だけである。3 人が次のように言ったとき、正直者は誰ですか。 A「B はうそつきだ」 B「私は正直者だ」 C「A は正直者だ」 （ア A と B の 2 通りありうる イ C ウ 決まらない エ B undefined A）
- A・B・C・D の 4 人のうち 1 人が花びんを割った。4 人は次のように言ったが、本当のことを言っているのは 1 人だけである。割ったのは誰ですか。 A「私は割っていない」 B「私は割っていない」 C「A が割った」 D「C が割った」 （ア A イ 決まらない ウ C エ B undefined D）
- A と B の 2 人は、それぞれ正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかである。A「B は正直者だ」 B「私たちは違う種類だ」と言ったとき、2 人についていえることとして妥当なものはどれですか。 （ア どちらとも決まらない イ 2 人とも正直者 ウ 2 人ともうそつき エ A が正直者で B がうそつき undefined A がうそつきで B が正直者）
- A・B・C・D の 4 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかで、正直者は 2 人である。4 人が次のように言ったとき、正直者の組み合わせとして妥当なものはどれですか。 A「C は正直者だ」 B「D は正直者だ」 C「B はうそつきだ」 D「B も C も正直者だ」 （ア A と C イ C と D ウ B と D エ A と B undefined A と D）
- A・B・C・D・E の 5 人のうち 1 人がくじに当たった。5 人は次のように言ったが、うそをついているのは 1 人だけである。当たったのは誰ですか。 A「D は当たっていない」 B「E は当たっていない」 C「B が当たった」 D「A は当たっていない」 E「A は本当のことを言っている」 （ア D イ A ウ B エ E undefined C）
- A〜E の 5 人のうち 1 人が窓ガラスを割った。5 人は次のように言ったが、うそをついているのは 2 人で、ほかの 3 人は本当のことを言っている。割ったのは誰ですか。 A「D が割った」 B「C は割っていない」 C「B が割った」 D「A は割っていない」 E「A は割っていない」 （ア D イ E ウ A エ B undefined C）
- A〜D の 4 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかである。4 人が次のように言ったとき、正直者の組み合わせとして妥当なものはどれですか。 A「D はうそつきだ」 B「C は正直者だ」 C「A はうそつきだ」 D「C と B は同じ種類だ」 （ア A と B イ A ウ B と C と D エ B と C undefined A と D）
- A・B・C の 3 人は、正直者（常に本当のことを言う）かうそつき（常にうそをつく）のどちらかである。A「B はうそをついている」 B「C はうそをついている」 C「A も B もうそをついている」と言ったとき、3 人についていえることとして妥当なものはどれですか。 （ア 正直者は B だけである イ 正直者は A だけである ウ 正直者は A と C である エ 3 人ともうそつきである undefined 正直者は C だけである）
発展
- A・B・C の 3 人がかけっこをした。結果について 3 人は次のように 2 つずつ発言したが、各自の発言は一方が本当で一方がうそである。順位はどうなりますか。 A「私は 2 位だ」「C は 1 位だ」 B「私は 2 位だ」「A は 1 位だ」 C「私は 3 位だ」「B は 2 位だ」 （ア 1 位 B、2 位 C、3 位 A イ 1 位 B、2 位 A、3 位 C ウ 1 位 C、2 位 A、3 位 B エ 1 位 C、2 位 B、3 位 A undefined 1 位 A、2 位 B、3 位 C）
- 円卓に 12 人が等間隔に座り、全員が「私の両隣はどちらもうそつきだ」と言った。正直者は常に本当のことを言い、うそつきは常にうそをつくとき、正直者の人数として考えられる最大は何人ですか。
- A・B・C・D の 4 人が 100 m 走をし、同着はなかった。結果について、A「私は C より先にゴールした」 B「私は C より後だった」 C「私は 2 位だった」 D「私は B より後だった」と言った。うそをついているのは 1 人だけである。1 位から 4 位の順として妥当なものはどれですか。 （ア B・C・A・D イ A・C・D・B ウ C・A・D・B エ A・B・C・D undefined A・C・B・D）
- A〜E の 5 人のうち 1 人がくじに当たった。5 人は次のように言ったが、うそをついているのは 2 人で、ほかの 3 人は本当のことを言っている。当たったのは誰ですか。 A「B が当たった」 B「C が当たった」 C「E はうそをついている」 D「当たったのは E か B だ」 E「B は当たっていない」 （ア C イ B ウ D エ E undefined A）
発言の真偽（うそつき問題） ── 解答
基礎
- エ C 犯人を A・B・C と順に仮定し、「犯人の発言だけがうそ」になる行を探す。C を犯人とすると、C の発言だけがうそで残り 2 人は本当になり条件に合う。ほかの 2 人を犯人にすると、犯人でない人の発言がうそになって矛盾する。答え C。
- 10 先頭は正直者。2 番目は「前はうそつき」と言ったがそれは本当でないので 2 番目はうそつき。3 番目の「前はうそつき」は本当なので 3 番目は正直者。以下、正直者・うそつきが交互に並ぶ。20 人のうち奇数番目が正直者なので 10 人。
- undefined この発言は正直者にもうそつきにも言えない 正直者が言えば「うそつきだ」がうそになり、うそつきが言えば本当を言ったことになる。どちらの場合も自分の性質と矛盾するので、この村の住人には言えない発言。逆に「私は正直者だ」は誰が言っても成立し、そこからは何も分からない。
- イ D は犯人ではない 「B はうそをついている」は B の発言「D が犯人だ」の否定なので「D は犯人ではない」と同じ。B が犯人かどうかは何も言っていない。発言についての発言は、表を作る前に犯人についての直接の発言に書きかえておく。
標準
- エ B 正直者を A・B・C と順に仮定し、残り 2 人の発言がすべてうそになるかを確かめる。B を正直者とすると、B の発言は本当で、ほかの 2 人の発言はどちらもうそになり条件に合う。ほかの人を正直者にすると、うそつきのはずの人の発言が本当になって矛盾する。答え B。
- エ B 犯人を A・B・C・D と順に仮定し、4 つの発言の本当・うそを表にする。「〜はうそをついている」は相手の発言の否定に読みかえる。本当の数がちょうど 1 になるのは B を犯人としたときだけ。答え B。
- ウ 2 人ともうそつき A を正直者と仮定した場合とうそつきと仮定した場合に分け、A の発言「B は正直者だ」の本当・うそから B の種類を決め、B の発言「私たちは違う種類だ」が B の種類と合うかを確かめる。合う組み合わせは 1 つだけで、2 人ともうそつき。「私たちは 2 人ともうそつきだ」のように、言った本人がうそつきでないと成立しない発言は、その人がうそつきだとすぐ決められる。
- ア A と C D を正直者と仮定すると B と C も正直者になり、D を入れて 3 人になるので矛盾。よって D はうそつきで、「B も C も正直者」はうそ＝少なくとも一方はうそつき。B の「D は正直者」はうそなので B はうそつき。正直者 2 人は残りの A と C。確かめると A「C は正直者」○、C「B はうそつき」○ で合う。
- undefined C E の発言は A の発言と本当・うそが一致する。うそつきは 1 人だけなので、A と E が両方うそになることはなく、A・E は本当 → D は当たっていない。当たった人を順に仮定すると、A のとき D がうそ・C もうそで 2 人、B のとき全員本当で 0 人、D のとき A・C・E の 3 人、E のとき B・C の 2 人。C のときだけ C の発言 1 つがうそになり条件に合う。答え C。
- イ E 割った人を A〜E と順に仮定した 5 行の表を書き、5 人の発言ごとに ○（本当）× （うそ）を入れる。「X が割った」は X を仮定した行だけ ○、「X は割っていない」は X の行だけ ×。× がちょうど 2 つになる行を探すと、A のとき × は 4 つ、B のとき × は 1 つ、C のとき × は 3 つ、D のとき × は 1 つ、E のとき × は 2 つ。よって E。
- ウ B と C と D 「X は正直者だ」を正直者が言えば X は正直者、うそつきが言えば X はうそつき。「X と Y は同じ種類だ」を正直者が言えば同じ、うそつきが言えば違う種類（「違う種類だ」は逆）。A を正直者と仮定した場合とうそつきと仮定した場合の 2 通りから始め、発言をたどって残りの 3 人を決め、4 人全員の発言が自分の種類と合うかを確かめる。矛盾なく決まる組み合わせは 1 つだけで、A ＝ うそつき・B ＝ 正直者・C ＝ 正直者・D ＝ 正直者。正直者は B と C と D。
- ア 正直者は B だけである 発言が互いを指しているので、1 人を仮定して連鎖させる。1. C を正直者と仮定すると A・B はうそつき。A がうそつきなら「B はうそをついている」はうそで B は正直者となり矛盾。よって C はうそつき。2. C の発言はうそなので「A と B の少なくとも一方は本当のことを言っている」。B の「C はうそをついている」は本当なので B は正直者。3. A の「B はうそをついている」はうそなので A はうそつき。確かめると A ×・B ○・C × で、A の発言（うそ）・B の発言（本当）・C の発言（うそ）がすべて合う。正直者は B だけ。
発展
- エ 1 位 C、2 位 B、3 位 A A の第 1 の発言「私は 2 位だ」を本当と仮定した場合とうそと仮定した場合に分け、相方の発言をうそ（本当）にして順位を連鎖させる。一方の仮定では誰かの 2 つの発言が両方本当または両方うそになって矛盾し、残った仮定から 1 位 C、2 位 B、3 位 A と決まる。最後に 3 人全員の発言が「一方だけ本当」になっていることを確かめる。
- 6 正直者の両隣はどちらもうそつきなので、正直者どうしは隣り合わない。うそつきの両隣は「少なくとも一方が正直者」であればよい。正直者・うそつきを交互に置くと正直者は 12 ÷ 2（端数切り捨て）＝ 6 人で、これが最大。12 が奇数のときはうそつきが 2 人続く場所が 1 か所できるが、そのうそつきの隣には正直者がいるので条件に合う。
- イ A・C・D・B うそをついた人を順に仮定する。A がうそ（A は C より後）なら、C が 2 位で A・B・D の 3 人が C より後になり席が足りず矛盾。B がうそ（B は C より先）なら、C が 2 位で B は 1 位、A も C より先で 1 位となり矛盾。C がうそ（C は 2 位でない）なら、A → C → B → D の順で C が 2 位になり矛盾。D がうそ（D は B より先）なら、A → C の順で C が 2 位なので A が 1 位、残る D・B は D が先で 3 位 D・4 位 B。矛盾なし。答え A・C・D・B。
- イ B 発言についての発言を先に書きかえる。C の「E はうそをついている」は E の発言の否定なので「B が当たった」で、A の発言と同じ。A と C はいつも同じ本当・うそ、E はその逆になる。1. A・C がうそなら、これでうそつき 2 人が決まり B・D・E は本当。E の「B は当たっていない」・B の「C が当たった」・D の「E か B」が同時に成り立たず矛盾。2. よって A・C は本当で B が当たった。E はうそ。残るうそつき 1 人は B か D で、B の「C が当たった」はうそ、D の「E か B」は本当。うそつきは B と E の 2 人で条件に合う。当たったのは B。
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