操作と手順（天秤・油分け算・ハノイの塔） ── 問題
基礎
- 見た目が同じ硬貨が 59 枚あり、そのうち 1 枚だけがほかより軽いにせ物である。上皿天秤を使ってにせ物を確実に見つけるには、最少で何回天秤を使えばよいですか。
- 見た目が同じ硬貨 9 枚のうち 1 枚だけが軽いにせ物である。天秤を最少回数で使って見つけるとき、1 回目の天秤の使い方として妥当なものはどれですか。 （ア 1 枚と 1 枚を乗せ、7 枚は乗せない イ 2 枚と 2 枚を乗せ、5 枚は乗せない ウ 4 枚と 4 枚を乗せ、1 枚は乗せない エ 4 枚と 2 枚を乗せ、3 枚は乗せない undefined 3 枚と 3 枚を乗せ、3 枚は乗せない）
- 3 本の棒と大きさの異なる 6 枚の円盤がある。1 回に 1 枚ずつ動かし、小さい円盤の上に大きい円盤を置いてはいけないというルールで、6 枚すべてを別の棒へ移す最少の手数は何手ですか。
- 容量 5 L と 3 L の 2 つの容器（目盛りなし）と水道・排水口を使って、ちょうど 4 L の水を量りたい。「容器を満たす」「容器を空にする」「一方から他方へ移す」を 1 回と数えるとき、最少の回数として妥当なものはどれですか。 （ア 6 回 イ 7 回 ウ 5 回 エ 4 回 undefined 8 回）
- ハノイの塔（3 本の棒）で、円盤の枚数を 1 枚増やすと、最少手数はどう変わりますか。 （ア 枚数の 2 乗になる イ 2 倍より 1 手多くなる ウ 1 手増える エ 2 倍になる undefined 2 倍より 1 手少なくなる）
標準
- ハノイの塔で 10 枚の円盤を最少手数で別の棒へ移すとき、大きい方から数えて 5 番目の円盤は何回動かしますか。
- 大人 7 人と子ども 2 人が舟で川を渡る。舟に一度に乗れるのは、大人 1 人だけか、子ども 2 人までである（大人と子どもは同時に乗れない）。全員が向こう岸に渡るには、舟は最少で何回川を渡りますか（往復は 2 回と数える）。
- 容量 10 L と 15 L の 2 つの容器（目盛りなし）と、水道・排水口がある。この 2 つの容器だけを使って量ることができない量は次のうちどれですか。 （ア 12 L イ 20 L ウ 10 L エ 5 L undefined 15 L）
- 10 L の油が入った容器と、空の 7 L の容器・3 L の容器がある（いずれも目盛りなし）。油を 5 L ずつに分けるとき、最少の移しかえ回数として妥当なものはどれですか。 （ア 8 回 イ 7 回 ウ 11 回 エ 10 回 undefined 9 回）
- 7 分の砂時計と 4 分の砂時計が 1 つずつある。2 つを同時にひっくり返して計り始め、砂が落ちきったらすぐにひっくり返してよいものとする。計り始めてからちょうど 9 分を知る方法として妥当なものはどれですか。 （ア 7 分と 4 分を同時に始め、7 分が落ちきったときに残っている 4 分の砂を数える イ 7 分の砂時計が落ちきったとき 4 分の砂時計を返し、それが落ちきるまで待つ ウ 4 分の砂時計だけを 2 回と、半分の位置で止めて 1 分を作る エ 4 分が落ちきったら 4 分を返し、7 分が落ちきったら 7 分を返し、次に 4 分が落ちきった瞬間に 7 分を再び返して落ちきるまで待つ undefined 4 分の砂時計を 2 回続けて使い、その後 7 分の砂時計を 1 回使う）
発展
- 画面に 1 と表示された計算機に「＋1」（表示を 1 増やす）と「×2」（表示を 2 倍にする）の 2 つのボタンだけがある。表示を 281 にするには、最少で何回ボタンを押せばよいですか。
- 見た目が同じ硬貨 12 枚のうち 1 枚だけ重さが違うが、重いのか軽いのかは分からない。上皿天秤を使って、重さの違う 1 枚を見つけ、さらにそれが重いか軽いかも判定したい。確実にできる最少の回数として妥当なものはどれですか。 （ア 2 回 イ 5 回 ウ 3 回 エ 枚数が多すぎて判定できない undefined 4 回）
- オオカミ・ヤギ・キャベツを持った人が舟で川を渡る。舟には人のほかに 1 つしか乗せられない。人がいないと、オオカミはヤギを食べ、ヤギはキャベツを食べる。全部を無事に向こう岸へ運ぶとき、舟が川を渡る最少回数（片道を 1 回）として妥当なものはどれですか。 （ア 5 回 イ 8 回 ウ 6 回 エ 7 回 undefined 9 回）
操作と手順（天秤・油分け算・ハノイの塔） ── 解答
基礎
- 4 天秤 1 回の結果は「左が重い・右が重い・つり合う」の 3 通りなので、k 回で最大 3^k 枚から見つけられる。3^k ≧ 59 となる最小の k は 4（3^4 ＝ 81）。3 組にできるだけ等しく分けて、2 組を天秤に乗せる。
- undefined 3 枚と 3 枚を乗せ、3 枚は乗せない 天秤の結果は 3 通りなので、3 組にできるだけ等しく分ける。9 枚なら 3・3・3 に分けて 3 枚ずつ乗せる。傾けば軽い方の 3 枚、つり合えば乗せなかった 3 枚ににせ物がある。半分ずつに分けると 1 回で半分にしかしぼれず、回数が増える。
- 63 1 枚増えるごとに手数は「2 倍 ＋ 1」になる（上の 5 枚を別の棒へ → いちばん大きい 1 枚を移す → 5 枚をその上へ）。1、3、7、15、… と続き、6 枚では 2^6 − 1 ＝ 63 手。
- ア 6 回 (5 L, 3 L) の順に書く。(0,0) → (5,0) → (2,3) → (2,0) → (0,2) → (5,2) → (4,3) で 6 回。3 L 側から始める手順（(0,3) → (3,0) → (3,3) → (5,1) → (0,1) → (1,0) → (1,3) → (4,0)）は 8 回かかる。
- イ 2 倍より 1 手多くなる n 枚を移すには、上の n−1 枚を別の棒へ（前の手数）、いちばん大きい 1 枚を移す（1 手）、n−1 枚をその上へ（前の手数）。よって a(n) ＝ 2a(n−1) ＋ 1。1、3、7、15、… で 2^n − 1。
標準
- 16 いちばん大きい円盤は 1 回、その次は 2 回、その次は 4 回、…と大きい方から k 番目の円盤は 2^(k−1) 回動く。5 番目は 2^4 ＝ 16 回。すべて足すと 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 2^9 ＝ 2^10 − 1 ＝ 1023 手で全体の手数と一致する。
- 29 大人 1 人を渡すには、子ども 2 人が渡る → 子ども 1 人が戻る → 大人が渡る → 子ども 1 人が戻る、の 4 回が必要。大人 7 人で 4 × 7 ＝ 28 回、最後に子ども 2 人が渡って 1 回。合計 29 回。向こう岸へ向かう回数 15 回と戻る回数 14 回を分けて数えても同じ。
- ア 12 L 移しかえでできる量は、2 つの容量の最大公約数の倍数に限られる。10 と 15 の最大公約数は 5 なので、5 の倍数でない 12 L は量れない。逆に 5 の倍数なら、容器の容量の和 25 L までは移しかえの手順で作れる。
- undefined 9 回 (10 L, 7 L, 3 L) の順に量を書く。(10,0,0) → (3,7,0) → (3,4,3) → (6,4,0) → (6,1,3) → (9,1,0) → (9,0,1) → (2,7,1) → (2,5,3) → (5,5,0) で 9 回。大 → 中 → 小 → 大 の一方向に移す。逆回りも試すと回数が増えるので、9 回が最少。
- エ 4 分が落ちきったら 4 分を返し、7 分が落ちきったら 7 分を返し、次に 4 分が落ちきった瞬間に 7 分を再び返して落ちきるまで待つ 同時に始めると、4 分で小が落ちきる（返す）、7 分で大が落ちきる（返す）、8 分で小が落ちきる。このとき大は返してから 1 分しか経っていないので、大をもう一度返すと落ちた 1 分ぶんの砂が戻り、1 分で落ちきる。合計 8 ＋ 1 ＝ 9 分。砂時計は途中で止めたり量を目で測ったりはできない。
発展
- 11 281 から逆にたどる。偶数なら 2 で割り（×2 の逆）、奇数なら 1 を引く（＋1 の逆）を 1 になるまでくり返す：281 → 280 → 140 → 70 → 35 → 34 → 17 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。矢印の数 11 が最少回数。2 進法で 281 ＝ 100011001 と書くと、「けた数 − 1」回の ×2 と「1 の個数 − 1」回の ＋1 が必要で、8 ＋ 3 ＝ 11 回。
- ウ 3 回 区別すべき場合は 12 枚 × 重い／軽い ＝ 24 通り。天秤 k 回で区別できるのは最大 3^k 通りで、3² ＝ 9 では足りず 3³ ＝ 27 ≧ 24。実際に 4 枚・4 枚・4 枚に分けて始める手順が知られており、3 回で見つけて軽重も判定できる。
- エ 7 回 ヤギを運ぶ → 1 人で戻る → オオカミ（またはキャベツ）を運ぶ → ヤギを連れて戻る → キャベツ（またはオオカミ）を運ぶ → 1 人で戻る → ヤギを運ぶ。片道 7 回。要点は「ヤギをいったん連れ戻す」こと。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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