操作と手順（天秤・油分け算・ハノイの塔） ── 問題
基礎
- 見た目が同じ硬貨が 11 枚あり、そのうち 1 枚だけがほかより軽いにせ物である。上皿天秤を使ってにせ物を確実に見つけるには、最少で何回天秤を使えばよいですか。
- 見た目が同じ硬貨 26 枚のうち 1 枚だけが軽いにせ物である。天秤を最少回数で使って見つけるとき、1 回目の天秤の使い方として妥当なものはどれですか。 （ア 6 枚と 6 枚を乗せ、14 枚は乗せない イ 10 枚と 10 枚を乗せ、6 枚は乗せない ウ 10 枚と 8 枚を乗せ、8 枚は乗せない エ 9 枚と 9 枚を乗せ、8 枚は乗せない undefined 1 枚と 1 枚を乗せ、24 枚は乗せない）
- 3 本の棒と大きさの異なる 8 枚の円盤がある。1 回に 1 枚ずつ動かし、小さい円盤の上に大きい円盤を置いてはいけないというルールで、8 枚すべてを別の棒へ移す最少の手数は何手ですか。
- 容量 5 L と 3 L の 2 つの容器（目盛りなし）と水道・排水口を使って、ちょうど 4 L の水を量りたい。「容器を満たす」「容器を空にする」「一方から他方へ移す」を 1 回と数えるとき、最少の回数として妥当なものはどれですか。 （ア 6 回 イ 7 回 ウ 5 回 エ 4 回 undefined 8 回）
- ハノイの塔（3 本の棒）で、円盤の枚数を 1 枚増やすと、最少手数はどう変わりますか。 （ア 枚数の 2 乗になる イ 2 倍より 1 手多くなる ウ 1 手増える エ 2 倍になる undefined 2 倍より 1 手少なくなる）
- 1 から 178 までの整数のうち 1 つを相手が思い浮かべている。「その数は 59 以下ですか」のように、「はい」か「いいえ」で答えられる質問だけをして、どの数であっても確実に当てるには、最少で何回質問すればよいですか。 （ア 5 回 イ 10 回 ウ 11 回 エ 8 回 undefined 89 回）
標準
- ハノイの塔で 6 枚の円盤を最少手数で別の棒へ移すとき、大きい方から数えて 3 番目の円盤は何回動かしますか。
- 大人 4 人と子ども 2 人が舟で川を渡る。舟に一度に乗れるのは、大人 1 人だけか、子ども 2 人までである（大人と子どもは同時に乗れない）。全員が向こう岸に渡るには、舟は最少で何回川を渡りますか（往復は 2 回と数える）。
- 容量 9 L と 6 L の 2 つの容器（目盛りなし）と、水道・排水口がある。この 2 つの容器だけを使って量ることができない量は次のうちどれですか。 （ア 1 L イ 9 L ウ 6 L エ 15 L undefined 12 L）
- 10 L の油が入った容器と、空の 7 L の容器・3 L の容器がある（いずれも目盛りなし）。油を 5 L ずつに分けるとき、最少の移しかえ回数として妥当なものはどれですか。 （ア 8 回 イ 7 回 ウ 11 回 エ 10 回 undefined 9 回）
- 7 分の砂時計と 4 分の砂時計が 1 つずつある。2 つを同時にひっくり返して計り始め、砂が落ちきったらすぐにひっくり返してよいものとする。計り始めてからちょうど 9 分を知る方法として妥当なものはどれですか。 （ア 7 分と 4 分を同時に始め、7 分が落ちきったときに残っている 4 分の砂を数える イ 7 分の砂時計が落ちきったとき 4 分の砂時計を返し、それが落ちきるまで待つ ウ 4 分の砂時計だけを 2 回使い、3 回目は半分の位置で止めて 1 分を作る エ 4・7 分とも落ちたら返し、4 分が 2 回目に落ちた瞬間に 7 分を返し直して落ちきるまで待つ undefined 4 分の砂時計を 2 回続けて使い、そのあと 7 分の砂時計を 1 回だけ使う）
- 12 L の油が入った容器と、空の 7 L の容器・5 L の容器がある（いずれも目盛りなし）。容器から容器へ、移す側が空になるか受ける側がいっぱいになるまで移すことを 1 回と数える。油を 6 L ずつに分けるとき、最少の移しかえ回数は何回ですか。 （ア 11 回 イ 12 回 ウ 9 回 エ 13 回 undefined 10 回）
- 見た目が同じ硬貨が 5 枚あり、そのうち 1 枚だけ重さが違うが、重いのか軽いのかは分からない。上皿天秤を使って、重さの違う 1 枚を見つけ、さらにそれが重いか軽いかも確実に判定するには、最少で何回天秤を使えばよいですか。 （ア 3 回 イ 4 回 ウ 1 回 エ 2 回 undefined 6 回）
- 1 から 8 までの番号が書かれた 8 枚のカードを、上から 1、2、3、…、8 の順に重ねて置く。「上から 6 枚をまとめて取り、順番を変えずにいちばん下へ回す」という操作を 10 回くり返したとき、いちばん上にあるカードの番号はいくつですか。 （ア 6 イ 5 ウ 4 エ 7 undefined 1）
- 見た目が同じ硬貨が 9 枚あり、そのうち 1 枚だけがほかより重いにせ物である。上皿天秤を 2 回だけ使って、にせ物を確実に見つける方法として妥当なものはどれですか。 （ア 1 枚ずつ 2 枚を乗せ、つり合わない組が出るまで順に乗せかえて探す イ 4 枚ずつを乗せて重い方を決め、2 回目にその 4 枚のうち 2 枚ずつを乗せる ウ 9 枚を 5 枚と 4 枚に分けて乗せ、重い方の組を 2 回目に半分ずつに分けて乗せる エ 3 枚ずつ 3 組に分け、2 組を乗せて重い組（つり合えば残りの組）を決め、その 3 枚のうち 2 枚を乗せる undefined 2 枚ずつ 4 組と 1 枚に分け、1 回目に 2 組を乗せて重い組を決め、2 回目にその 2 枚を乗せる）
発展
- 画面に 1 と表示された計算機に「＋1」（表示を 1 増やす）と「×2」（表示を 2 倍にする）の 2 つのボタンだけがある。表示を 55 にするには、最少で何回ボタンを押せばよいですか。
- 見た目が同じ硬貨 12 枚のうち 1 枚だけ重さが違うが、重いのか軽いのかは分からない。上皿天秤を使って、重さの違う 1 枚を見つけ、さらにそれが重いか軽いかも判定したい。確実にできる最少の回数として妥当なものはどれですか。 （ア 2 回 イ 5 回 ウ 3 回 エ 枚数が多すぎて判定できない undefined 4 回）
- オオカミ・ヤギ・キャベツを持った人が舟で川を渡る。舟には人のほかに 1 つしか乗せられない。人がいないと、オオカミはヤギを食べ、ヤギはキャベツを食べる。全部を無事に向こう岸へ運ぶとき、舟が川を渡る最少回数（片道を 1 回）として妥当なものはどれですか。 （ア 5 回 イ 8 回 ウ 6 回 エ 7 回 undefined 9 回）
- 8 L の油が入った容器と、空の 5 L の容器・3 L の容器がある（いずれも目盛りなし）。容器から容器へ、移す側が空になるか受ける側がいっぱいになるまで移すことを 1 回と数える。油を 4 L ずつに分けるとき、確実にいえるものはどれですか。 （ア 最初に 8 L から 3 L へ移す手順の方が、8 L から 5 L へ移す手順より少ない回数で分けられる イ 4 L ずつに分けることはできない ウ 3 L の容器に油を入れずに分けることができる エ 最少の移しかえ回数は 6 回である undefined 最少の移しかえ回数は 7 回である）
操作と手順（天秤・油分け算・ハノイの塔） ── 解答
基礎
- 3 天秤 1 回の結果は「左が重い・右が重い・つり合う」の 3 通りなので、k 回で最大 3^k 枚から見つけられる。3^k ≧ 11 となる最小の k は 3（3^3 ＝ 27）。3 組にできるだけ等しく分けて、2 組を天秤に乗せる。
- エ 9 枚と 9 枚を乗せ、8 枚は乗せない 天秤の結果は 3 通りなので、3 組にできるだけ等しく分ける。26 枚なら 9・9・8 に分けて 9 枚ずつ乗せる。傾けば軽い方の 9 枚、つり合えば乗せなかった 8 枚ににせ物がある。半分ずつに分けると 1 回で半分にしかしぼれず、回数が増える。
- 255 1 枚増えるごとに手数は「2 倍 ＋ 1」になる（上の 7 枚を別の棒へ → いちばん大きい 1 枚を移す → 7 枚をその上へ）。1、3、7、15、… と続き、8 枚では 2^8 − 1 ＝ 255 手。
- ア 6 回 (5 L, 3 L) の順に書く。(0,0) → (5,0) → (2,3) → (2,0) → (0,2) → (5,2) → (4,3) で 6 回。3 L 側から始める手順（(0,3) → (3,0) → (3,3) → (5,1) → (0,1) → (1,0) → (1,3) → (4,0)）は 8 回かかる。
- イ 2 倍より 1 手多くなる n 枚を移すには、上の n−1 枚を別の棒へ（前の手数）、いちばん大きい 1 枚を移す（1 手）、n−1 枚をその上へ（前の手数）。よって a(n) ＝ 2a(n−1) ＋ 1。1、3、7、15、… で 2^n − 1。
- エ 8 回 質問 1 回の答えは「はい」「いいえ」の 2 通りなので、k 回で区別できるのは最大 2^k 通り。2^k ≧ 178 となる最小の k は 8（2^8 ＝ 256、2^7 ＝ 128 では足りない）。毎回、残った候補を半分ずつに分ける質問をすれば 8 回で決まる。天秤（結果 3 通り）なら 3^k で考える。
標準
- 4 いちばん大きい円盤は 1 回、その次は 2 回、その次は 4 回、…と大きい方から k 番目の円盤は 2^(k−1) 回動く。3 番目は 2^2 ＝ 4 回。すべて足すと 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 2^5 ＝ 2^6 − 1 ＝ 63 手で全体の手数と一致する。
- 17 大人 1 人を渡すには、子ども 2 人が渡る → 子ども 1 人が戻る → 大人が渡る → 子ども 1 人が戻る、の 4 回が必要。大人 4 人で 4 × 4 ＝ 16 回、最後に子ども 2 人が渡って 1 回。合計 17 回。向こう岸へ向かう回数 9 回と戻る回数 8 回を分けて数えても同じ。
- ア 1 L 移しかえでできる量は、2 つの容量の最大公約数の倍数に限られる。9 と 6 の最大公約数は 3 なので、3 の倍数でない 1 L は量れない。逆に 3 の倍数なら、容器の容量の和 15 L までは移しかえの手順で作れる。
- undefined 9 回 (10 L, 7 L, 3 L) の順に量を書く。(10,0,0) → (3,7,0) → (3,4,3) → (6,4,0) → (6,1,3) → (9,1,0) → (9,0,1) → (2,7,1) → (2,5,3) → (5,5,0) で 9 回。大 → 中 → 小 → 大 の一方向に移す。逆回りも試すと回数が増えるので、9 回が最少。
- エ 4・7 分とも落ちたら返し、4 分が 2 回目に落ちた瞬間に 7 分を返し直して落ちきるまで待つ 同時に始めると、4 分で小が落ちきる（返す）、7 分で大が落ちきる（返す）、8 分で小が落ちきる。このとき大は返してから 1 分しか経っていないので、大をもう一度返すと落ちた 1 分ぶんの砂が戻り、1 分で落ちきる。合計 8 ＋ 1 ＝ 9 分。砂時計は途中で止めたり量を目で測ったりはできない。
- ア 11 回 (12 L, 7 L, 5 L) の順に量を書き、状態を 1 行ずつ並べる。「大 → 中 → 小 → 大」と「大 → 小 → 中 → 大」の両方向を書き出して比べ、短い方を採る（小がいっぱいなら小 → 大、中が空なら大 → 中、のように一方向に回す）。この問題では 大 → 中 → 小 → 大 の向きが短く、(12,0,0) → (5,7,0) → (5,2,5) → (10,2,0) → (10,0,2) → (3,7,2) → (3,4,5) → (8,4,0) → (8,0,4) → (1,7,4) → (1,6,5) → (6,6,0) で 11 回。同じ状態に戻ったら行き止まり。
- ア 3 回 区別すべき場合は「どの硬貨か」× 「重いか軽いか」で 5 × 2 ＝ 10 通り。天秤 k 回の結果は 3^k 通りだが、1 回目につり合わないときは乗せた硬貨の重い・軽いが絞れるだけで、実際に区別できるのは (3^k − 3) ÷ 2 枚まで。k ＝ 2 では (3^2 − 3) ÷ 2 ＝ 3 枚で足りず、k ＝ 3 では 12 枚まで判定できる。よって 3 回。軽いと分かっている場合（3^k ≧ n）より 1 回多くなることがある。
- イ 5 1 回の操作で、いちばん上のカードの番号は 6 増える（8 を超えたら 8 を引く）。10 回で 6 × 10 ＝ 60 増え、60 ÷ 8 ＝ 7 余り 4 なので、実際の増分は 4。1 ＋ 4 ＝ 5。並び全体を毎回書き出さなくても、上のカードの番号だけを追えばよい。
- エ 3 枚ずつ 3 組に分け、2 組を乗せて重い組（つり合えば残りの組）を決め、その 3 枚のうち 2 枚を乗せる 天秤 1 回の結果は 3 通りなので、候補を 3 等分するのが最も速い。9 枚を 3・3・3 に分け、1 回目で 2 組を乗せる。傾けば重い方の 3 枚、つり合えば乗せなかった 3 枚ににせ物がある。2 回目にその 3 枚のうち 2 枚を乗せ、傾けば重い方、つり合えば残りの 1 枚。4 枚・4 枚に分けると 1 回目でつり合ったときは残り 1 枚で決まるが、傾いたときは 4 枚が残り、2 回目で 2 枚ずつ乗せても 1 枚に絞れない。2 枚ずつ 4 組では 1 回目で 2 組しか調べられず、つり合ったとき 5 枚が残る。
発展
- 9 55 から逆にたどる。偶数なら 2 で割り（×2 の逆）、奇数なら 1 を引く（＋1 の逆）を 1 になるまでくり返す：55 → 54 → 27 → 26 → 13 → 12 → 6 → 3 → 2 → 1。矢印の数 9 が最少回数。2 進法で 55 ＝ 110111 と書くと、「けた数 − 1」回の ×2 と「1 の個数 − 1」回の ＋1 が必要で、5 ＋ 4 ＝ 9 回。
- ウ 3 回 区別すべき場合は 12 枚 × 重い／軽い ＝ 24 通り。天秤 k 回で区別できるのは最大 3^k 通りで、3² ＝ 9 では足りず 3³ ＝ 27 ≧ 24。実際に 4 枚・4 枚・4 枚に分けて始める手順が知られており、3 回で見つけて軽重も判定できる。
- エ 7 回 ヤギを運ぶ → 1 人で戻る → オオカミ（またはキャベツ）を運ぶ → ヤギを連れて戻る → キャベツ（またはオオカミ）を運ぶ → 1 人で戻る → ヤギを運ぶ。片道 7 回。要点は「ヤギをいったん連れ戻す」こと。
- undefined 最少の移しかえ回数は 7 回である (8 L, 5 L, 3 L) の順に量を書く。大 → 中 → 小 → 大 の向き：(8,0,0) → (3,5,0) → (3,2,3) → (6,2,0) → (6,0,2) → (1,5,2) → (1,4,3) → (4,4,0) で 7 回。逆向き（大 → 小 → 中 → 大）：(8,0,0) → (5,0,3) → (5,3,0) → (2,3,3) → (2,5,1) → (7,0,1) → (7,1,0) → (4,1,3) → (4,4,0) で 8 回。短い方は 7 回で、これより少ない手順はない（6 回以内の状態をすべて書き出しても (4,4,0) に届かない）。3 L の容器を使わないと 8 と 5 の間でしか移せず、0・3・5・8 L 以外は作れない。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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