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小テスト ／ zs-09

平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡）

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平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡） ── 問題

基礎

  1. 縦横 3 マスずつの方眼（3 × 3 の正方形の格子）がある。この中に、大小あわせて正方形は何個ありますか。
  2. 正 15 角形の対角線は全部で何本ありますか。
  3. 正方形の紙を半分に折る操作を 2 回くり返し、折り目にかからない位置に 1 か所だけ穴をあけてから紙を開いた。穴は全部で何個ありますか。
  4. 次の正多角形のうち、その 1 種類だけを使って平面をすき間なく敷き詰めることができるものはどれですか。　（ア 正八角形　イ 正十角形　ウ 正五角形　エ 正六角形　undefined 正七角形）
  5. 正方形の紙を半分に折り、さらに半分に折って、もとの 4 分の 1 の大きさの正方形にした。このとき、もとの紙の中心にあたる角を、はさみで小さな直角二等辺三角形の形に切り落としてから紙を開いた。開いた紙の形として妥当なものはどれですか。　（ア 各辺の中点に三角形の切り込みが入る　イ 中央に、辺に対して 45° 傾いた正方形の穴があく　ウ 中央に十字形の穴があく　エ 中央に円形の穴があく　undefined 四隅がそれぞれ三角形に切り落とされている）
  6. 図のように正方形の紙を折り（点線が折り目、矢印が折る向き）、最後の図の黒い部分に穴をあけてから紙を開いた。穴はいくつありますか。　（ア 4 個　イ 16 個　ウ 2 個　エ 8 個　undefined 1 個）
  7. 図の図形を、同じ線を 2 度なぞらずにかくとき、最少何筆でかけますか（線を紙から離す回数 ＋ 1 を筆数とする）。　（ア 3 筆　イ 5 筆　ウ 4 筆　エ 1 筆　undefined 2 筆）
  8. 縦 4 cm、横 6 cm の長方形のタイルを、すべて同じ向きにすき間なく並べて、できるだけ小さい正方形を作りたい。タイルは何枚必要ですか。

標準

  1. 縦 5 マス、横 6 マスの方眼がある。この中に、大小あわせて長方形（正方形を含む）は何個ありますか。　（ア 36 個　イ 30 個　ウ 315 個　エ 150 個　undefined 630 個）
  2. 縦 60 cm、横 70 cm の長方形の床を、同じ大きさの正方形のタイルで余りなく敷き詰めたい。タイルの枚数を最も少なくするとき、何枚必要ですか。
  3. 円の内部に 10 本の直線（弦）を引いて、円の内部をできるだけ多くの部分に分ける。最大で何個の部分に分けられますか。
  4. 半径 1 cm の円 A が、半径 5 cm の円 B の外側にぴったり接しながら、すべらずに円 B のまわりを 1 周する。円 A はこの間に何回転しますか。　（ア 7 回転　イ 5 回転　ウ 6 回転　エ 10 回転　undefined 11 回転）
  5. 漢字の「田」の形の図形（正方形の外わくと、中央で交わる縦横 2 本の線からなる）を、同じ線を 2 度なぞらずにかくことについて、妥当な記述はどれですか。　（ア 一筆書きができ、どの点から始めてもよい　イ 一筆書きができ、辺の中点から始める必要がある　ウ 一筆書きはできず、最少 3 筆でかける　エ 一筆書きはできず、最少 2 筆でかける　undefined 一筆書きはできず、最少 4 筆でかける）
  6. 正八角形のタイルだけでは平面をすき間なく敷き詰めることができない。正八角形のタイルと組み合わせて使うと、2 種類で平面をすき間なく敷き詰められる正多角形はどれですか。　（ア 正十角形　イ 正五角形　ウ 正三角形　エ 正六角形　undefined 正方形）
  7. 図のように正方形の紙を折り（点線が折り目、矢印が折る向き）、最後の図の黒い三角形の部分をはさみで切り落としてから紙を開いた。開いた紙の形として妥当なものはどれですか。　（ア 中央に、辺に対して 45° 傾いた正方形の穴があく　イ 上下の辺のまん中に、三角形の切り込みが 1 つずつ入る　ウ 中央に、辺に平行な正方形の穴があく　エ 四隅がそれぞれ三角形に切り落とされている　undefined 左右の辺のまん中に、三角形の切り込みが 1 つずつ入る）
  8. 1 辺 2 cm の正方形が、直線上をすべらずに右へ転がり、図の点線の位置まで 3 回倒れた。頂点 P が動いたあと（軌跡）の長さは何 cm ですか。　（ア 3√2π　イ 3π　ウ 2π　エ 2π ＋ √2π　undefined 2√2π）
  9. 1 辺 6 cm の正三角形が、直線上をすべらずに右へ転がり、図の点線の位置まで 1 回倒れた。頂点 P が動いたあと（軌跡）の長さは何 cm ですか。　（ア 2π　イ 12π　ウ 6π　エ 3π　undefined 4π）
  10. ある図形の線をすべてかくとき、各点に集まる線の本数を数えたところ、3 本の点が 4 個、5 本の点が 4 個あり、残りの点はすべて 2 本または 4 本だった。この図形を、同じ線を 2 度なぞらずにかくとき、最少何筆でかけますか（線を紙から離す回数 ＋ 1 を筆数とする）。　（ア 4 筆　イ 3 筆　ウ 7 筆　エ 8 筆　undefined 16 筆）

発展

  1. 1 辺 6 cm の正三角形 ABC が、直線上をすべらずに右へ転がり、もとの向きに戻るまで（1 回転）動く。頂点 A がえがく軌跡の長さは □π cm である。□に入る数を答えなさい。
  2. 1 辺 4 cm の正方形が、直線上をすべらずに右へ転がり、もとの向きに戻るまで（1 回転）動く。はじめに左下にあった頂点 P がえがく軌跡の長さとして正しいものはどれですか。　（ア (4 + 2√2)π cm　イ (6 + 2√2)π cm　ウ 8π cm　エ 6π cm　undefined (4 + 4√2)π cm）
  3. 正三角形の各辺を 3 等分し、辺に平行な直線を引いて、1 辺の長さが 1/3 の小さな正三角形に分けた。この図の中に、もとの正三角形と同じ向き（上向き）の正三角形は、大小あわせて何個ありますか。
  4. 1 辺 3 cm の正六角形が、直線上をすべらずに右へ転がり、もとの向きに戻るまで（1 回転）動く。はじめに左下にあった頂点 P がえがく軌跡の長さとして正しいものはどれですか。　（ア (4 + 2√3)π cm　イ 12π cm　ウ (6 + 2√3)π cm　エ 6π cm　undefined (4 + 4√3)π cm）
  5. 半径 1 cm の円が、1 辺 4 cm の正方形の外側に接しながら、すべらずに正方形のまわりを 1 周する。円の中心がえがく軌跡の長さとして正しいものはどれですか。　（ア 16 ＋ 8π cm　イ 16 ＋ 2π cm　ウ 16 cm　エ 16 ＋ 4π cm　undefined 20 ＋ 2π cm）
  6. 凸 8 角形のすべての対角線を引いたところ、どの 3 本の対角線も多角形の内部の同じ点では交わらなかった。対角線どうしが多角形の内部で交わる点は全部で何個ありますか。　（ア 62 個　イ 70 個　ウ 35 個　エ 78 個　undefined 56 個）

平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡） ── 解答

基礎

  1. 14　1 辺 1 の正方形が 3² ＝ 9 個、1 辺 2 が 2² 個、…、1 辺 3 が 1 個。1² ＋ 2² ＋ … ＋ 3² ＝ 3 × 4 × 7 ÷ 6 ＝ 14 個。
  2. 90　1 つの頂点からは、自分と両どなりを除いた 12 個の頂点へ対角線が引ける。15 個の頂点で 15 × 12 本になるが、1 本を両端から 2 回数えているので 2 で割って 90 本。頂点 2 つの選び方 C(15, 2) ＝ 105 から辺の 15 本を引いても同じ。
  3. 4　半分に折るごとに重なる枚数が 2 倍になる。2 回で 2^2 ＝ 4 枚が重なり、そのすべてに穴があくので 4 個。
  4. エ　正六角形　1 つの頂点のまわりに集まる内角の和が 360° になるかで決まる。1 種類で敷き詰められるのは、内角が 60° の正三角形（6 個）、90° の正方形（4 個）、120° の正六角形（3 個）の 3 種類だけ。正五角形（108°）や正八角形（135°）は 360° を割り切れない。答えは正六角形。
  5. イ　中央に、辺に対して 45° 傾いた正方形の穴があく　切り落とした角は 4 枚重なった紙の中心。折り目を軸にして順に開くと、切り口の直角二等辺三角形が 4 つ、中心を囲むように並ぶ。4 つの斜辺がつながって、45° 傾いた正方形の穴になる。四隅を切りたいなら、中心と反対側（もとの紙の角が重なった角）を切る。
  6. エ　8 個　3 回折ると紙は 8 枚重なる。穴は折り目にかかっていないので、開くと 8 か所に穴があく。（重なる枚数は 2 の 3 乗 ＝ 8 枚。折り目にかかった穴は、折り目をはさんだ 2 枚分が 1 つにつながる。）
  7. undefined　2 筆　各点に集まる線の本数を数えると、奇数本の点（奇点）は 4 個。奇点が 0 個か 2 個なら一筆書きできる。奇点が 2k 個なら最少 k 筆なので、答えは 2 筆。
  8. 6　正方形の 1 辺は 4 と 6 の公倍数で、最小のものは最小公倍数 12 cm。縦に 12 ÷ 4 ＝ 3 枚、横に 12 ÷ 6 ＝ 2 枚並ぶので、3 × 2 ＝ 6 枚。長方形を正方形で敷き詰める（最大公約数）問題と逆向きになる。

標準

  1. ウ　315 個　長方形は、縦線 6 本から 2 本、横線 7 本から 2 本を選ぶと 1 つ決まる。C(6, 2) × C(7, 2) ＝ 15 × 21 ＝ 315 個。1 マスの長方形 30 個だけを数えないこと。
  2. 42　枚数を最も少なくするには、タイルをできるだけ大きくする。1 辺は 60 と 70 の最大公約数 10 cm。縦に 60 ÷ 10 ＝ 6 枚、横に 70 ÷ 10 ＝ 7 枚で、6 × 7 ＝ 42 枚。
  3. 56　k 本目の直線が、それまでの k − 1 本すべてと円の内部で交わるように引くと、部分は k 個増える。1 ＋ (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 10) ＝ 1 ＋ 55 ＝ 56 個。
  4. ウ　6 回転　円 A の中心がえがく軌跡で考える。外側を回るので、中心の軌跡は半径 5 ＋ 1 ＝ 6 cm の円で、長さは 2π × 6。円 A の円周 2π × 1 で割って 6 回転。円周の比 5 ÷ 1 ＝ 5 回転ではない。
  5. エ　一筆書きはできず、最少 2 筆でかける　各点に集まる線の本数を数える。四隅は 2 本、各辺の中点は 3 本、中心は 4 本。奇数本の点（奇点）は辺の中点の 4 個。奇点が 0 個か 2 個のときだけ一筆書きができるので、この図はできない。奇点が 2k 個の図形は最少 k 筆でかけるので、4 個なら 2 筆。
  6. undefined　正方形　正八角形の内角は 135°。1 つの頂点に正八角形を 2 つ集めると 270° で、残りは 360° − 270° ＝ 90°。これは正方形の内角と一致するので、正八角形 2 つと正方形 1 つで頂点のまわりがちょうど埋まる。正三角形（60°）・正六角形（120°）では残りの角が合わない。
  7. undefined　左右の辺のまん中に、三角形の切り込みが 1 つずつ入る　最後の折り目から 1 つずつ、折り目を軸にして対称に写して開く。切った角は左右の辺のまん中（横の折り目の端）にあたる。折り目をはさんだ 2 枚が対称に切れて、左右の辺のまん中に三角形の切り込みが 1 つずつできる。
  8. ウ　2π　正方形は右下の頂点を中心に 90° ずつ回る。P までの距離が中心から 1 辺（2 cm）の回は半径 2 の円弧（長さ 2π × 2 ÷ 4 ＝ π）、中心が対角の頂点の回は半径 2√2 の円弧（長さ √2π）、P 自身が中心の回は動かない。3 回のうち半径 2 の回が 2 回、半径 2√2 の回が 0 回、動かない回が 1 回なので、合計 2π cm。
  9. undefined　4π　正三角形は右下の頂点を中心に、180° − 60° ＝ 120° ずつ回る。P が中心でない回は半径 6 cm・中心角 120° の円弧（長さ 2π × 6 × 120/360 ＝ 4π）、P 自身が中心の回は動かない。1 回のうち P が動く回は 1 回なので、合計 4π cm。
  10. ア　4 筆　線の本数が奇数の点（奇点）は、3 本の点 4 個と 5 本の点 4 個で合計 8 個。2 本・4 本の点は偶点なので数えない。奇点が 2k 個の図形は最少 k 筆でかけるので、8 ÷ 2 ＝ 4 筆。1 筆でかけるのは奇点が 0 個か 2 個のときだけ。

発展

  1. 8　正三角形の内角は 60° なので、1 回の回転は 180° − 60° ＝ 120°。回転の中心は床に接している頂点で、A は 1 回目（右下の頂点が中心）と 2 回目（その次に床に着く頂点が中心）に半径 6 cm・中心角 120° の円弧をえがき、3 回目は A 自身が中心なので動かない。2π × 6 × 120/360 × 2 ＝ 8π cm。
  2. ア　(4 + 2√2)π cm　正方形は 1 回 90° ずつ回転し、中心は床に接している頂点。P の軌跡は、半径 4（となりの頂点が中心）、半径 4√2（対角の頂点が中心）、半径 4（となりの頂点が中心）の 3 つの円弧で、4 回目は P が中心なので動かない。2π × 4 × 1/4 × 2 ＋ 2π × 4√2 × 1/4 ＝ (4 + 2√2)π cm。
  3. 10　1 辺 1 の上向き三角形は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 3 ＝ 6 個、1 辺 2 は 1 ＋ … ＋ 2 ＝ 3 個、…、1 辺 3 は 1 個。合計 10 個（C(5, 3) と一致する）。下向きの三角形は含めていない。
  4. ア　(4 + 2√3)π cm　正六角形の内角は 120° なので、1 回の回転は 60°。回転の中心は床に接している頂点で、P からの距離は順に 3、3√3、6、3√3、3 cm（6 回目は P 自身が中心で動かない）。各円弧の長さは 2πr × 60/360 ＝ πr/3 なので、合計 π(3 ＋ 3√3 ＋ 6 ＋ 3√3 ＋ 3)/3 ＝ (4 ＋ 2√3)π cm。
  5. イ　16 ＋ 2π cm　辺に沿って動く間、中心は辺と平行に辺の長さだけ動く（4 cm × 4 ＝ 16 cm）。角では、円は角の頂点を中心に 90° 回転し、中心は半径 1 cm・中心角 90° の円弧をえがく。4 つの角で合わせて 360° になるので、円弧の長さは半径 1 cm の円周 1 つ分の 2π cm。合計 16 ＋ 2π cm。
  6. イ　70 個　内部の交点 1 つは、交わる 2 本の対角線の端の 4 頂点で決まる。逆に、4 つの頂点を選ぶと、それを結ぶ四角形の 2 本の対角線がちょうど 1 点で交わる。だから交点の数は、8 個の頂点から 4 個を選ぶ組み合わせ C(8, 4) ＝ 70 個。対角線の本数 20 本と混同しないこと。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-09/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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