地方上級 ／ 判断推理 ／ zs-09

更新 2026-09-14

平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡）

この単元でできるようになること

• 折った紙に切り込みを入れて開いたときの形を、折り目を対称の軸にして逆にたどる手順で求められる
• 平面を敷き詰められる正多角形と、その理由（1 つの頂点に集まる角が 360°）を説明できる
• 一筆書きができるかどうかを、奇点（奇数本の線が集まる点）の数で判定できる
• 多角形が直線上を転がるときの頂点の軌跡を「円弧のつなぎ」としてかき、長さを計算できる
• 方眼の中の正方形・長方形の個数、多角形の対角線の本数を、公式と数え上げの両方で出せる

試験での位置づけ

平面図形の構成は、判断推理の中で図を頭の中で動かす力を問う単元です。地方上級・市役所では折り紙と軌跡が出題されやすく、国家一般職では敷き詰め・一筆書き・図形の個数を数える問題も見かけます。計算はほとんど要りませんが、手を動かして図をかかないと確実には解けないのが特徴です。空間図形（zs-10）に進む前の準備でもあり、軌跡の長さの計算では平面図形の計量（zs-19）の円弧の公式を使います。

1. 折り紙 ── 折り目を軸にして「開く」

まずここだけ

紙を折って切り、開いたときの形を問う問題は、最後の折り目から 1 つずつ、折り目を対称の軸にして図を写すと確実です。折るときの逆再生をするだけなので、暗算で一気に開こうとしないことが大切です。

正方形の紙を半分に折り、さらに半分に折って 4 分の 1 の正方形にする。折り重なった中心の角（もとの紙の中心にあたる角）を三角形に切り落として開く。 開くと、中心に正方形（45° 傾いた形）の穴があく。切り落とした三角形が 4 枚重なっていて、折り目を軸に写すと 4 つの直角三角形が中心を囲むから。

ここまでできれば十分

穴の数・切り口の数は、重なっている紙の枚数で決まります。半分に折る操作を n 回すると紙は 2ⁿ 枚重なるので、1 か所に穴をあけて開くと穴は 2ⁿ 個です（折り目の上に穴が乗ると数が減るので、問題文に「折り目にかからない位置」とあることが多い）。

折り目の上を切る場合は、切り口が折り目でつながるので、開くと穴が 1 つにまとまったり、紙が分かれたりします。「開くと何枚に分かれるか」を問われたら、切り込みが折り目をまたいでいるかどうかを確かめます。

もう一歩（発展）

対角線で折る操作が混ざると、対称の軸が斜めになります。写す前に、折り目の線を図に太くかき入れると間違えません。開いた形は折り目に関して対称なので、選択肢の中に「折り目に対して対称でない形」があれば、それは最初に消せます。

2. 敷き詰め ── 頂点に集まる角が 360° になるか

まずここだけ

1 種類の正多角形だけで平面をすき間なく敷き詰められるのは、正三角形・正方形・正六角形の 3 種類だけです。理由は、1 つの頂点のまわりに集まる角の和が 360° にならなければならないからです。

正 n 角形の 1 つの内角は 180° × (n − 2) ÷ n です。n が 7 以上では内角が 120° を超え、3 つ集めると 360° を超えるので、1 種類では敷き詰められません。

ここまでできれば十分

長方形を正方形で敷き詰める問題は、最大公約数を使います。縦 12 cm、横 18 cm の長方形を同じ大きさの正方形で余りなく敷き詰めるとき、いちばん大きい正方形の 1 辺は 12 と 18 の最大公約数 6 cm で、枚数は (12 ÷ 6) × (18 ÷ 6) ＝ 6 枚です。逆に、正方形を長方形のタイルで作る問題は最小公倍数を使います（縦 4 cm × 横 6 cm のタイルで作れる最小の正方形は 1 辺 12 cm、枚数は 12² ÷ 24 ＝ 6 枚）。

タイルの並べ方の数（1 × 2 のタイルで 2 × n の床を敷く）は、n 番目の並べ方の数が「1 つ前 ＋ 2 つ前」になり、1、2、3、5、8、13、… と続きます。これは数列（zs-18）で扱う漸化式の代表例です。

3. 一筆書き ── 奇点の数だけ見る

まずここだけ

図形の線をすべて 1 回ずつ通って（同じ線を 2 度なぞらず）かけるかどうかは、奇点の個数で決まります。奇点とは、その点に集まる線の本数が奇数の点です。

• 奇点が 0 個 → 一筆書きできる。どの点から始めても、出発点に戻ってくる
• 奇点が 2 個 → 一筆書きできる。一方の奇点から始めて、もう一方で終わる
• 奇点が 4 個以上 → 一筆書きできない

奇点の個数はつねに偶数になります（線 1 本は 2 つの端を持つので、全部の点の線の本数の合計は偶数だから）。

ここまでできれば十分

奇点が 2k 個（k ≧ 1）の図形は、最少 k 筆でかけます。また、奇点が 2k 個の図形を一筆書きできるようにするには、奇点どうしを結ぶ線を k − 1 本書き足せば足ります（線を 1 本足すと、その両端の点の本数が 1 ずつ増えて、奇点 2 つが偶点に変わる）。

田の字（外側の正方形を十字で 4 つに区切った図）。外側の 4 つの角は 2 本、辺の中点 4 つは 3 本、中心は 4 本。奇点は 4 個なので一筆書きはできず、最少 2 筆。線を 1 本足せば一筆書きできる。

4. 軌跡 ── 「回転の中心」と「半径」を毎回確かめる

まずここだけ

多角形が直線上をすべらずに転がるとき、図形は直線に接している頂点を中心に回転します。したがって、ある頂点 P の軌跡はいくつかの円弧をつないだ線になり、各円弧の

• 中心は、そのとき床に接している頂点
• 半径は、その中心から P までの距離
• 中心角は、180° − （床に接している頂点の内角）

です。正三角形（内角 60°）なら 1 回の回転は 120°、正方形（90°）なら 90°、正六角形（120°）なら 60° です。

ここまでできれば十分

1 辺 a の正三角形 ABC が、頂点 A を左下にして直線上に置かれ、右へ転がって 1 回転する（もとの向きに戻る）。頂点 A の軌跡の長さは。 回転は 3 回。1 回目は C を中心に A が動く（半径 a、120°）。2 回目は B を中心に A が動く（半径 a、120°）。3 回目は A 自身が中心なので A は動かない。 長さ ＝ 2πa × 120/360 × 2 ＝ 4πa/3

1 辺 a の正方形の頂点 P の軌跡（1 回転）。 半径 a・90°、半径 a√2（対角線）・90°、半径 a・90°、最後は P が中心で動かない。 長さ ＝ 2πa/4 × 2 ＋ 2πa√2/4 ＝ πa ＋ (√2/2)πa

P が回転の中心になる回は動かないことと、対角線が半径になる回があることの 2 点を見落とすと、長さを間違えます。

もう一歩（発展）

円が転がる問題は、中心の軌跡で考えると簡単です。半径 r の円が長さ L の直線上を転がるとき、中心は直線に平行に L だけ動きます。半径 r の円が、半径 R の円の外側を 1 周転がるとき、中心の軌跡は半径 R ＋ r の円で、円が回転する回数は 2π(R ＋ r) ÷ 2πr ＝ (R ＋ r)/r 回です（内側なら (R − r)/r 回）。R ＝ 3r なら外側は 4 回転、内側は 2 回転です。「円周の長さの比 R/r ＝ 3 回転」と答えると誤りになる、有名な引っかけです。

5. 図形の個数を数える

まずここだけ

n × n の方眼に含まれる正方形の個数は、1 辺 1 の正方形が n² 個、1 辺 2 が (n − 1)² 個、…、1 辺 n が 1 個なので、1² ＋ 2² ＋ … ＋ n² ＝ n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)/6 個です。3 × 3 なら 9 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 14 個、4 × 4 なら 30 個です。

m × n の方眼に含まれる長方形（正方形を含む）の個数は、縦線 m ＋ 1 本から 2 本、横線 n ＋ 1 本から 2 本を選ぶ組み合わせなので、C(m ＋ 1, 2) × C(n ＋ 1, 2) 個です。3 × 3 なら 6 × 6 ＝ 36 個です。

ここまでできれば十分

正 n 角形の対角線の本数は、n 個の頂点から 2 つ選ぶ C(n, 2) 通りから辺の n 本を引いて、n(n − 3)/2 本です。正六角形なら 9 本、正十角形なら 35 本です。

n 本の直線で平面（または円の内部）を分ける最大の領域数は、k 本目の直線がそれまでの k − 1 本すべてと交わると領域が k 個増えるので、1 ＋ (1 ＋ 2 ＋ … ＋ n) ＝ n(n ＋ 1)/2 ＋ 1 です。4 本なら 11、5 本なら 16 です。

正三角形を 1 辺 n 等分した格子の中の、上向きの正三角形の個数は、1 辺 k の上向き三角形が (n − k ＋ 1)(n − k ＋ 2)/2 個あるので、合計は C(n ＋ 2, 3) 個です（n ＝ 3 なら 6 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 10 個）。下向きの三角形は別に数えるので、「すべての正三角形」を問われたら注意が必要です。

6. よくある間違い

7. 解き方の型

1. 折り紙は、折り目を図に太くかいてから、最後の折り目から順に対称に写す。選択肢のうち折り目に対して対称でない形を先に消す
2. 敷き詰めは、1 つの頂点に集まる角の和が 360° になるかを確かめる。長方形と正方形の敷き詰めは最大公約数・最小公倍数
3. 一筆書きは、各点に集まる線の本数を書き込み、奇点の個数を数える（0 か 2 なら可）
4. 軌跡は、回転ごとに「中心はどの頂点か・半径はいくらか・中心角は何度か」の 3 つを表にしてから、円弧の長さを足す
5. 個数を数える問題は、公式と「小さい場合で実際に数える」の両方で確かめる

8. 小テストへ

→ 小テスト（zs-09）

関連する単元

• 前提：m2-09 平行線と角・多角形の内角外角、m1-15 円とおうぎ形（中学数学）、zs-11 整数の性質（最大公約数・最小公倍数）
• 次に進む：zs-10 空間図形、zs-19 平面図形の計量（円弧の長さ・面積）
• 同じ考え方を使う：zs-16 場合の数（図形の個数の数え上げ）、zs-18 数列と規則性・魔方陣（タイルの並べ方の漸化式）

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 中学校数学の教科書（多角形の内角・円弧の長さ）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-09/ ／ 更新 2026-09-14

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