空間図形（展開図・サイコロ・立体の切断・投影図） ── 問題
基礎
- 向かい合う面の目の和が 7 のサイコロを机に置いたところ、上の面が 6、手前の面が 5、右の面が 4 に見えた。見えていない 3 つの面（底・奥・左）の目の和はいくつですか。
- 向かい合う面の目の和が 7 のサイコロが、上の面 1、手前の面 2、右の面 3 の向きで机に置かれている。このサイコロを手前へ 1 回転がした（手前の面が底になるように倒した）とき、上の面の目はいくつですか。 （ア 5 イ 2 ウ 6 エ 1 undefined 3）
- 正四面体は、正三角形の面が 4 枚でできている正多面体である。この立体の辺の数はいくつですか。
- 1 辺 1 cm の小さな立方体を、縦・横・高さに 8 個ずつ積んで 1 辺 8 cm の大きな立方体を作り、その表面全体に色を塗った。その後ばらばらにしたとき、ちょうど 3 つの面が塗られた小さな立方体は何個ありますか。
- 立方体の展開図は、裏返したり回転したりして重なるものを同じと数えると、全部で何種類ありますか。 （ア 6 種類 イ 11 種類 ウ 12 種類 エ 8 種類 undefined 10 種類）
- 図の展開図を組み立てて立方体にしたとき、面 A と向かい合う面はどれですか。 （ア B イ E ウ C エ F undefined D）
- 図のサイコロは、向かい合う面の目の和が 7 である。このサイコロを奥へ 1 回転がした（奥側の面が底になるように倒した）とき、上の面の目はいくつですか。 （ア 5 イ 4 ウ 2 エ 1 undefined 3）
- 正八面体の各面の中心を頂点とし、となり合う面の中心どうしを辺で結んでできる立体はどれですか。 （ア 正十二面体 イ 正四面体 ウ 正六面体（立方体） エ 正二十面体 undefined 正八面体）
標準
- 向かい合う面の目の和が 7 のサイコロが、上の面 4、手前の面 6 の向きで置かれている。このサイコロを手前へ 1 回ずつ、合計 5 回転がした。転がし終えたときの上の面の目はいくつですか。
- 正六面体（立方体）の面の数・頂点の数・辺の数の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 面 8・頂点 6・辺 12 イ 面 6・頂点 8・辺 12 ウ 面 6・頂点 8・辺 24 エ 面 6・頂点 8・辺 18 undefined 面 6・頂点 10・辺 14）
- 立方体を 1 つの平面で切ったときの切り口の形として、ありえないものはどれですか。 （ア 正六角形 イ 台形 ウ 七角形 エ 長方形 undefined ひし形）
- 立方体の 2 個の頂点を、切り口が互いに重ならないように小さく切り落とした。できた立体の辺の数はいくつですか。
- 同じ大きさの立方体を、縦 2 列・横 3 列のますの上に積み上げた（真上から見ると 6 つのますがすべて埋まっている）。正面から見ると、左から順に高さ 3・4・1 段に見え、右側面から見ると、手前から順に高さ 4・3 段に見えた。立方体の個数として考えられる最も多い数はいくつですか。
- 向かい合う面の目の和が 7 のサイコロが 2 つある。サイコロ P は「上 1・手前 2・右 3」、サイコロ Q は「上 1・手前 3・右 2」の向きで置かれている。この 2 つのサイコロについて妥当な記述はどれですか。 （ア P と Q は鏡像の関係で、どう回転させても同じ向きにならない イ P を真上から見て 90° 回すと Q と同じ向きになる ウ P を上下逆にすると Q と同じ向きになる エ P を手前へ 1 回転がすと Q と同じ向きになる undefined P を右へ 1 回転がすと Q と同じ向きになる）
- 正八面体の展開図で、正三角形が上下交互に横一列に 4 つ並んでいる部分がある。組み立てたとき、この 4 つの面の位置関係について妥当な記述はどれですか。 （ア 1 番目と 4 番目が向かい合う イ 4 つとも互いにとなり合う ウ 1 番目と 2 番目が向かい合う エ 4 つとも 1 つの頂点のまわりに集まる undefined 1 番目と 3 番目が向かい合う）
- 図の展開図を組み立てて立方体にしたとき、面 B と向かい合う面はどれですか。 （ア E イ C ウ D エ F undefined A）
- 図の展開図を組み立てて立方体にしたとき、辺アと重なる辺はどれですか。 （ア ウ イ オ ウ エ エ カ undefined イ）
- 図のサイコロは、向かい合う面の目の和が 7 である。このサイコロを奥へ 1 回転がし、続けて左へ 1 回転がしたとき、上の面の目はいくつですか。 （ア 2 イ 3 ウ 1 エ 6 undefined 4）
発展
- 同じ大きさの立方体を、縦 2 列・横 3 列のますの上に積み上げた（真上から見ると 6 つのますがすべて埋まっている）。正面から見ると、左から順に高さ 4・3・3 段に見え、右側面から見ると、手前から順に高さ 4・2 段に見えた。立方体の個数として考えられる最も少ない数はいくつですか。
- 立方体の展開図のうち、4 つの面が横一列に並び、その上と下に 1 つずつ面がついた形（1 − 4 − 1 型）を考える。横一列の面を左から A・B・C・D、上についた面を E、下についた面を F とする。組み立てたとき、面 B と向かい合う面はどれですか。 （ア D イ E ウ C エ A undefined F）
- 1 辺 6 cm の立方体を、1 つの平面で切ったところ、切り口が正六角形になった。この正六角形の 1 辺の長さとして正しいものはどれですか。 （ア 6√2 cm イ 3√3 cm ウ 6 cm エ 3 cm undefined 3√2 cm）
- 立方体の 8 つの頂点すべてを、切り口が互いに重ならないように小さく切り落とした。できた立体の頂点の数・辺の数・面の数の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア 頂点 16・辺 24・面 14 イ 頂点 24・辺 36・面 14 ウ 頂点 24・辺 36・面 12 エ 頂点 24・辺 24・面 14 undefined 頂点 32・辺 36・面 14）
- 図は正八面体の展開図である。組み立てたとき、面 A と向かい合う面はどれですか。 （ア G イ H ウ F エ D undefined B）
空間図形（展開図・サイコロ・立体の切断・投影図） ── 解答
基礎
- 6 向かい合う面の和が 7 なので、底は 7 − 6 ＝ 1、奥は 7 − 5 ＝ 2、左は 7 − 4 ＝ 3。和は 6。6 面の目の合計 21 から見えている 15 を引いても同じ。
- ア 5 手前へ転がすと、手前の面が底になり、上だった 1 は手前の面へ移る。新しい上の面は、もとの手前の反対側の面。手前の面は 2 なので、その反対の面 7 − 2 ＝ 5 が上に来る。回転の軸になる 2 つの面は変わらない。
- 6 正三角形の辺は 3 本。面が 4 枚なので辺を 1 面ずつ数えると 4 × 3 ＝ 12 本になるが、1 本の辺は 2 つの面に共有されているので 2 で割って 6 本。頂点 4・辺 6・面 4 で v − e ＋ f ＝ 2 が成り立つ。
- 8 3 面が塗られるのは大きな立方体の頂点にある 8 個。2 面が塗られるのは辺の上（頂点を除く）で、1 辺に 8 − 2 ＝ 6 個 × 12 辺 ＝ 72 個。1 面だけ塗られるのは各面の内側で 6² × 6 ＝ 216 個。塗られていないのは内部の 6³ ＝ 216 個。合計は 8³ ＝ 512 個になる。答えは 8 個。
- イ 11 種類 立方体の展開図は 11 種類。並んだ面の数で分けると、1 − 4 − 1 型が 6 種類、1 − 3 − 2 型が 3 種類、2 − 2 − 2 型が 1 種類、3 − 3 型が 1 種類。
- イ E 一列に並んだ面は 1 つおきに向かい合い、階段状（コの字）に並んだ 3 面は両端が向かい合う。面 A ととなり合う面は B・C・D・F の 4 つで、残った E が向かい合う面。
- undefined 3 奥へ転がすと奥側の面が底になり、上だった 2 は奥側へ移る。新しい上の面は、もとの奥側の面の反対側の面。奥側の面は 4 なので、7 − 4 ＝ 3。回転の軸になる 2 つの面は動かない。
- ウ 正六面体（立方体） 面の中心を結ぶと、もとの立体の「面の数」が新しい立体の「頂点の数」になり、「頂点の数」が「面の数」になる。正八面体は面 8・頂点 6 なので、できる立体は頂点 8・面 6 の正六面体（立方体）。立方体と正八面体、正十二面体と正二十面体が互いに入れかわり、正四面体は正四面体になる。
標準
- 1 手前へ転がすたびに、上の面は「上 → 手前 → 底 → 奥 → 上」と回り、4 回で元に戻る。上に来る目は 4 → 1 → 3 → 6 → 4 → … のくり返し。5 ＝ 4 × 1 ＋ 1 なので、1 回転がした状態と同じで、上の面は 1。
- イ 面 6・頂点 8・辺 12 正六面体（立方体）の面は正方形 6 枚。辺は 6 × 4 ÷ 2 ＝ 12 本。頂点はオイラーの多面体定理 v − e ＋ f ＝ 2 から v ＝ 12 − 6 ＋ 2 ＝ 8。よって面 6・頂点 8・辺 12。
- ウ 七角形 立方体の切り口にできるのは、三角形（鋭角三角形のみ）・四角形（正方形・長方形・平行四辺形・ひし形・台形）・五角形（正五角形は不可）・六角形（正六角形を含む）。直角三角形・鈍角三角形は、切り口の 3 辺がどれも面の対角線方向で角が 90° 未満になるのでできない。七角形以上は面が 6 つしかないのでできない。よって七角形。
- 18 頂点を 1 つ切り落とすごとに、面が 1 増え、頂点は 1 減って 3 増え、辺は 3 増える。2 個切ると、面 6 ＋ 2 ＝ 8、頂点 8 ＋ 2 × 2 ＝ 12、辺 12 ＋ 3 × 2 ＝ 18。v − e ＋ f ＝ 12 − 18 ＋ 8 ＝ 2 で確かめられる。
- 15 真上から見た 2 × 3 のますに段数を書き込む。各ますの段数は、その列の正面の高さと、その行の側面の高さの小さい方まで積める。手前の行（高さ 4）は 3・4・1、奥の行（高さ 3）は 3・3・1 で、合計 15 個。
- ア P と Q は鏡像の関係で、どう回転させても同じ向きにならない 1 を上にして見たとき、P は 2 → 3 が反時計回り、Q は時計回りに並ぶ。1・2・3 の回り方は回転させても変わらないので、P と Q は別のサイコロ（鏡像）で、どのように回転しても一致しない。向かい合う面の和が 7 でも、サイコロは回り方の違う 2 種類がある。
- ア 1 番目と 4 番目が向かい合う 正八面体で、辺を共有しながら一列につながる面は 6 つで 1 周する（帯になる）。この帯の中で向かい合う（平行な）面は 3 つ先の面なので、一列に並んだ 4 つの面では 1 番目と 4 番目が向かい合う。立方体の「1 つおきに向かい合う」とは異なる。
- エ F 面 B ととなり合う面は A・C・D・E の 4 つ。向かい合う面は、となり合わない残りの 1 つで F。一列に並んだ 3 面の両端・コの字に並んだ 3 面の両端、という規則でも同じ答えになる。
- イ オ 展開図の外周で、90° に折れている角（凹んだ角）の両側の辺は組み立てると重なる。そこから外側へ順に「くっつく辺」をたどる。辺アは面 C と面 D の間の辺になるので、同じ 2 面の間に来る辺 オ と重なる。
- ウ 1 1 回目：奥へ転がすと、上は 3 になる（上・手前・右 ＝ 3・5・1）。2 回目：左へ転がすと、上は 1。転がすたびに「上 → その方向の面 → 底 → 反対の面 → 上」と回り、回転の軸の 2 面は動かない。
発展
- 14 真上から見て全部埋まっているので、まず各ますに 1 個ずつで 6 個。正面から高さ h に見える列と、側面から高さ h に見える行には、高さ h のますが少なくとも 1 つ必要で、列と行が交わるますに置けば 1 つで両方をまかなえる。高さごとに「その高さの列の数と行の数の多い方」だけ積み増せばよく、合計 14 個。最も多い場合（各ますを列と行の小さい方まで積む）の 16 個と区別する。
- ア D 横一列に並んだ 4 つの面は、1 つおきに向かい合う（A と C、B と D）。上下についた E と F は、列のどの面ともとなり合い、E と F どうしが向かい合う。よって面 B と向かい合うのは面 D。
- undefined 3√2 cm 切り口が正六角形になるのは、立方体の中心を通り、6 つの辺の中点を通る平面で切ったとき。正六角形の 1 辺は、1 つの面の中でとなり合う 2 辺の中点を結んだ線分で、直角をはさむ 2 辺が 3 cm の直角二等辺三角形の斜辺だから 3√2 cm。
- イ 頂点 24・辺 36・面 14 頂点を 1 つ切り落とすごとに、面が 1 増え、頂点は 1 減って 3 増え（差し引き 2 増）、辺が 3 増える。8 つすべてを切ると、面 6 ＋ 8 ＝ 14、頂点 8 ＋ 16 ＝ 24、辺 12 ＋ 24 ＝ 36。24 − 36 ＋ 14 ＝ 2 でオイラーの多面体定理が成り立つ。
- ウ F 正八面体では、1 つの面ととなり合う面は 3 つ、頂点だけを共有する面が 3 つ、向かい合う面が 1 つ。展開図で一列に並んだ 4 つの三角形は 1 番目と 4 番目が向かい合い、帯の両側についた 2 つの三角形どうしも向かい合う。面 A ととなり合う面は D・E・H。向かい合うのは F。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-10/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。