地方上級 ／ 判断推理 ／ zs-10
空間図形（展開図・サイコロ・立体の切断・投影図）
この単元でできるようになること
- 立方体の展開図 11 種類を「1 − 4 − 1 型」などの型で見分け、向かい合う面を展開図の上で見つけられる
- サイコロの「向かい合う面の和は 7」と、3 面が集まる頂点まわりの回り方を使って、見えない面の目を求められる
- 立方体を平面で切ったときの切り口の形を、同じ面の上の点を結ぶ・平行な面には平行な切り口の 2 つの規則でかける
- 積み上げた立方体の個数を、真上から見た図に段数を書き込んで数えられる
- 正多面体の面・頂点・辺の数を、オイラーの多面体定理 v − e ＋ f ＝ 2 で確かめられる
試験での位置づけ
空間図形は判断推理の中でもっとも「慣れ」の差が出る単元です。地方上級・国家一般職とも、展開図とサイコロ、立方体の切断、積み木の個数は出題されやすい形です。頭の中で立体を回すのが得意でなくても、展開図を折る規則・切り口をかく規則を手順として覚えれば解けます。平面図形の構成（zs-09）で扱った「折り目を軸に写す」考え方と、立体の計量（zs-20）で扱う体積・表面積の計算がつながる単元です。
1. 展開図 ── 立方体の 11 種類と「向かい合う面」
まずここだけ
立方体の展開図は全部で 11 種類です。並んだ面の数で分類すると、次のようになります。
| 型 | 種類数 | 特徴 |
|---|---|---|
| 1 − 4 − 1 型 | 6 | 4 つの面が一列に並び、その上下に 1 つずつ |
| 1 − 3 − 2 型 | 3 | 3 つの面の列に、上に 1 つ・下に 2 つ |
| 2 − 2 − 2 型 | 1 | 2 つずつが階段状 |
| 3 − 3 型 | 1 | 3 つずつが階段状 |
展開図で向かい合う面を見つける規則は 2 つです。
- 一列に並んだ面は、1 つおきに向かい合う（4 つ並んでいれば 1 番目と 3 番目、2 番目と 4 番目）
- 「コの字」に並んだ 3 面（階段状に 1 つずれた面）は、両端どうしが向かい合う
この 2 つで、11 種類すべての向かい合う面が決まります。向かい合う面が分かれば、残りの面は「となり合う面」です。
ここまでできれば十分
展開図に模様や文字がある問題では、となり合う面の「どの辺とどの辺がくっつくか」を追います。展開図の外周で、90° に折れている 2 辺（凹んだ角の両側）は組み立てると重なるので、そこから順に「くっつく辺」に同じ印をつけると間違えません。
面の向きを問う問題（矢印がどちらを向くか等）は、面を転がして移動させる方法が使えます。展開図の中で、ある面を辺を軸に 90° 回転させて隣に移す操作をくり返し、比べたい 2 つの面を隣り合わせにしてから向きを見ます。面を 1 つとなりに転がすと、面の模様はその軸の辺を固定して回るので、模様の向きが変わることに注意します。
もう一歩（発展）
正四面体（面 4）・正八面体（面 8）の展開図も出題されます。正八面体の展開図では、一列に並んだ 4 つの正三角形のうち、1 番目と 4 番目が向かい合う（交互に上下を向く三角形の列で、1 つおきではなく 3 つ先）ことが立方体と違う点です。
2. サイコロ ── 「和は 7」と「回り方」
まずここだけ
一般的なサイコロは、向かい合う面の目の和が 7です（1 と 6、2 と 5、3 と 4）。だから、見えている 3 面が分かれば、見えていない 3 面はすぐ決まります。
上の面が 3、手前の面が 2、右の面が 6 のとき、底の面は 4、奥の面は 5、左の面は 1。
ここまでできれば十分
「和は 7」だけでは、1・2・3 の並び方（回り方）が決まりません。1 つの頂点に 1・2・3 が集まっているサイコロは、1 を上にして見たとき 2 → 3 が反時計回りに並ぶものと、時計回りに並ぶものの 2 種類（鏡像）があります。問題文に「図のようなサイコロ」と 1 つの見本があれば、見本と同じ回り方になるように面を決めます。
見本：上 1、手前 2、右 3。このサイコロを手前に 1 回転がす（手前の面が底になる）。 転がしても回り方は変わらない。新しい上は 5（もとの奥）、手前は 1（もとの上）、右は 3 のまま。
転がしの規則：ある方向へ 1 回転がすと、その方向にある面が底になり、上だった面がその方向の面になります。左右の面（回転の軸の面）は変わりません。同じ方向に 4 回転がすと元に戻ります。
複数のサイコロを並べる問題（接している面の和が決まっている等）は、和が 7 の関係と「接している面はどれか」を表にして、候補を絞ります。
もう一歩（発展）
サイコロを直線上に転がして上の面の目の合計を問う問題は、4 回で 1 周する周期を使います。手前に転がし続けるとき、上に来る面は「上 → 奥 → 底 → 手前 → 上」の順で、左右の面は永久に上に来ません。
3. 立体の切断 ── 切り口をかく 2 つの規則
まずここだけ
立方体を 3 点を通る平面で切ったときの切り口は、次の 2 つの規則だけでかけます。
- 同じ面の上にある 2 点は、そのまま直線で結ぶ
- 向かい合う（平行な）面にできる切り口の線は、平行になる
この 2 つで足りないときは、面を延長して交点を作ってから結びます（延長した面の上で規則 1 を使う）。
ここまでできれば十分
立方体の切り口としてできる形とできない形を知っておくと、選択肢が減ります。
| できる | できない |
|---|---|
| 正三角形・二等辺三角形・不等辺三角形 | 直角三角形・鈍角三角形 |
| 正方形・長方形・平行四辺形・ひし形・台形 | ── |
| 五角形（平行な辺の組が 2 組ある） | 正五角形 |
| 正六角形（各辺の中点を通る）・六角形 | 七角形以上 |
直角三角形にならないのは、切り口の三角形の 3 辺がそれぞれ立方体の面の対角線の一部で、どの角も 90° 未満になるからです。七角形以上にならないのは、立方体の面が 6 つしかなく、切り口の辺は 1 つの面に 1 本しかできないからです。
1 辺 6 cm の立方体を、3 つの辺の中点を通る平面（1 つの頂点のまわりの 3 辺の中点）で切る。 切り口は 1 辺 3√2 cm の正三角形。切り落とされる立体は三角錐で、体積は 3 × 3 × 3 ÷ 6 ＝ 4.5 cm³。
もう一歩（発展）
切断後の体積・表面積は、立体の計量（zs-20）で扱います。判断推理では「切り口の形」「切った後の立体の面・頂点・辺の数」「2 つに分けた立体の体積比」までがよく問われます。体積比は、切り落とす立体が三角錐なら「底面積 × 高さ ÷ 3」で速く出ます。
4. 投影図と積み木 ── 真上から見た図に段数を書く
まずここだけ
投影図は、立体を正面（立面図）・真上（平面図）・横（側面図）から見た図です。積み上げた立方体の個数を問う問題は、真上から見た図の各マスに、その位置に積まれている段数を書き込むと数えられます。
正面から見ると 3 列で高さが左から 3・1・2、右から見ると 2 列で高さが手前から 2・3。真上から見ると 3 × 2 のマスがすべて埋まっている。 各マスの段数は「その列の正面の高さ」と「その行の横の高さ」の小さい方以下。最大個数は各マスに小さい方を入れて足す：(2＋1＋2) ＋ (3＋1＋2) ＝ 11 個。
ここまでできれば十分
「最少何個で作れるか」を問われたら、各列・各行の最大値を 1 か所だけで満たせばよいので、それ以外のマスを 1 段（真上から見て埋まっている必要がある場合）または 0 段にします。「最多」なら、各マスを正面・横それぞれの高さの小さい方にします。最少と最多の両方を出す練習をしておくと、どちらが問われても対応できます。
表面積を問う問題は、上下・前後・左右の 6 方向から見える面の数を数えます。上から見える面の数と下から見える面の数は同じなので、（上 ＋ 正面 ＋ 横）× 2 で出ます（ただし、へこんだ部分に隠れた面があれば別に足す）。
5. 正多面体と多面体定理
まずここだけ
正多面体は 5 種類だけです。
| 名前 | 面の形 | 面 f | 頂点 v | 辺 e | 1 頂点に集まる面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 4 | 6 | 3 |
| 正六面体（立方体） | 正方形 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 6 | 12 | 4 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 20 | 30 | 3 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 12 | 30 | 5 |
どれも v − e ＋ f ＝ 2（オイラーの多面体定理）が成り立ちます。辺の数は「面の数 × 1 面の辺の数 ÷ 2」で出ます（1 本の辺は 2 つの面に共有されるから）。正十二面体なら 12 × 5 ÷ 2 ＝ 30 本です。
ここまでできれば十分
立方体の頂点を切り落とす問題では、切り落とすたびに面が 1 つ増え、頂点が「1 個減って 3 個増える」、辺が 3 本増えます。8 つの頂点すべてを（切り口が重ならないように）切り落とすと、面 6 ＋ 8 ＝ 14、頂点 8 × 3 ＝ 24、辺 12 ＋ 24 ＝ 36 で、24 − 36 ＋ 14 ＝ 2 が成り立ちます。
6. よくある間違い
| 間違い | 正しくは |
|---|---|
| 展開図で「となり合っている面が向かい合う」と考える | 一列に並んだ面は 1 つおきに向かい合う |
| サイコロは「和が 7」だけで 1 種類に決まると思う | 1・2・3 の回り方で 2 種類（鏡像）ある。見本と合わせる |
| 立方体の切り口に直角三角形や正五角形があると思う | 直角三角形・鈍角三角形・正五角形・七角形以上はできない |
| 切り口をかくとき、違う面の上の 2 点を直線で結ぶ | 結べるのは同じ面の上の 2 点だけ。平行な面の切り口は平行 |
| 積み木の個数を「正面の高さの合計」で数える | 真上から見た図の各マスに段数を書いて足す。最少・最多を区別する |
| 正八面体の頂点を 8 個と答える | 面が 8、頂点は 6、辺は 12。v − e ＋ f ＝ 2 で確かめる |
7. 解き方の型
- 展開図は、まず型（1 − 4 − 1 など）を見て向かい合う面を決め、次に「凹んだ角の両側の辺が重なる」規則でくっつく辺に印をつける
- サイコロは「和が 7」で見えない面を出し、回り方は見本の 1・2・3 の並びと合わせる。転がしは「その方向の面が底になる」
- 切断は「同じ面の 2 点を結ぶ」→「平行な面には平行な線」→ 足りなければ面を延長、の順
- 積み木は真上から見た図に段数を書き込む。最少と最多を分けて数える
- 面・頂点・辺の数は、辺 ＝ 面 × 1 面の辺数 ÷ 2 で出し、v − e ＋ f ＝ 2 で検算する
8. 小テストへ
→ 小テスト（zs-10）
関連する単元
- 前提：m1-16 空間図形（立体・位置関係・投影図）（中学数学）、zs-09 平面図形の構成
- 次に進む：zs-20 立体の計量（体積・表面積・最短距離）
- 同じ考え方を使う：zs-05 位置関係（向きを追う）、zs-16 場合の数（展開図の数え上げ）
参考資料
- 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
- 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
- 中学校数学の教科書（空間図形・投影図・多面体）
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-10/ ／ 更新 2026-09-14