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小テスト ／ zs-11

整数の性質（約数・倍数・余り・N 進法）

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整数の性質（約数・倍数・余り・N 進法） ── 問題

基礎

  1. 54 の正の約数は全部で何個ありますか。
  2. 9 進法で 876 と表される数を 10 進法で表すといくつですか。
  3. 10 進法の 116 を 6 進法で表すとどうなりますか（数字だけを答えてください）。
  4. ある整数が 4 の倍数であるかどうかを見分ける方法として正しいものはどれですか。　（ア 各けたの数字の和が 4 の倍数である　イ 下 2 けたが 4 の倍数（00 を含む）である　ウ 一の位が 4 か 8 である　エ 各けたの数字の積が 4 の倍数である　undefined 下 1 けたが 4 の倍数である）
  5. 1 から 100 までの番号がついた 100 個の電球があり、はじめはすべて消えている。1 番目の人は 1 の倍数の番号のスイッチをすべて押し、2 番目の人は 2 の倍数の番号のスイッチをすべて押し、…、100 番目の人は 100 の倍数の番号のスイッチを押す（押すたびに点灯と消灯が切り替わる）。100 人が押し終えたとき、点いている電球は何個ですか。　（ア 9 個　イ 100 個　ウ 50 個　エ 10 個　undefined 25 個）
  6. 6 進法で表すとちょうど 3 けたになる自然数は、全部で何個ありますか。

標準

  1. 最大公約数が 3、最小公倍数が 270 である 2 つの自然数の組は何組ありますか（2 つの数の順序は区別しない）。
  2. 8 で割ると 7 余り、12 で割ると 11 余る 3 けたの自然数のうち、最も小さいものはいくつですか。
  3. 123 を割ると 3 余り、171 を割っても 3 余る自然数は、全部で何個ありますか。
  4. ある整数 N（N ≧ 2）を底とする N 進法で 20 と表される数が、10 進法では 8 である。N はいくつですか。　（ア 8　イ 5　ウ 7　エ 4　undefined 3）
  5. 2 の 55 乗（2^55）の一の位の数字はいくつですか。
  6. 1 から 100 までの整数のうち、5 でも 7 でも割り切れない数は何個ありますか。　（ア 67 個　イ 70 個　ウ 66 個　エ 68 個　undefined 32 個）
  7. 1,071 と 462 の最大公約数はいくつですか。　（ア 63　イ 7　ウ 21　エ 3　undefined 147）
  8. 正の約数がちょうど 6 個ある自然数のうち、最も小さいものはどれですか。　（ア 12　イ 18　ウ 28　エ 20　undefined 32）
  9. 1 × 2 × 3 × … × 84（1 から 84 までの整数の積）を 10 進法で表したとき、末尾に 0 は何個並びますか。　（ア 21 個　イ 22 個　ウ 16 個　エ 19 個　undefined 15 個）
  10. 5 進法で表された 2 つの数 231 と 200 の和を、5 進法で表すとどうなりますか（数字だけを答えてください）。

発展

  1. 216 の正の約数をすべて足すといくつになりますか。
  2. 7 で割ると 3 余り、6 で割ると 5 余る自然数のうち、最も小さいものはいくつですか。
  3. 4 で割ると 3 余り、6 で割ると 5 余る 3 けたの自然数は、全部で何個ありますか。　（ア 74 個　イ 83 個　ウ 75 個　エ 76 個　undefined 84 個）
  4. ある自然数を 2 進法で表すと 7 けた、3 進法で表すと 4 けたになる。このような自然数は全部で何個ありますか。

整数の性質（約数・倍数・余り・N 進法） ── 解答

基礎

  1. 8　素因数分解すると 54 ＝ 2 × 3^3。約数は各素因数を 0 個から指数の個数まで選んで掛けたものなので、個数は（指数 ＋ 1）の積 (1 ＋ 1) × (3 ＋ 1) ＝ 8 個。
  2. 717　9 進法の各けたは、右から 1 の位・9 の位・81 の位。8 × 81 ＋ 7 × 9 ＋ 6 ＝ 717。
  3. 312　116 を 6 で割り続けて、余りを下から読む。116 ÷ 6 ＝ 19 余り 2、19 ÷ 6 ＝ 3 余り 1、3 ÷ 6 ＝ 0 余り 3。よって 6 進法で 312。
  4. イ　下 2 けたが 4 の倍数（00 を含む）である　4 の倍数の見分け方は「下 2 けたが 4 の倍数（00 を含む）である」。3・9 は 10 ＝ 9 ＋ 1、100 ＝ 99 ＋ 1、… から各けたの和で決まり、4・8 は 100 ＝ 4 × 25、1000 ＝ 8 × 125 から下 2 けた・下 3 けたで決まる。11 は 10 ＝ 11 − 1 から 1 けたおきの差で決まる。
  5. エ　10 個　番号 n の電球は、n の約数の個数だけ押される。約数の個数が奇数なのは平方数だけ（約数は a × b ＝ n のペアで数えられ、a ＝ b になる平方数だけペアが崩れる）。1 から 100 までの平方数は 1、4、9、…、100 の 10 個。
  6. 180　6 進法で 3 けたの数は、最高位が 1 から 5 までの 5 通り、残りの 2 けたがそれぞれ 0 から 5 までの 6 通り。5 × 6^2 ＝ 180 個。10 進法でいえば 36（6 進法で 1 の後に 0 が 2 個）から 215 までの数にあたる。

標準

  1. 4　2 数を 3m、3n（m と n は互いに素、m ≦ n）と置くと、最小公倍数は 3mn ＝ 270 なので mn ＝ 90。90 ＝ 2 × 3^2 × 5 を、共通の素因数を持たないように 2 つに分ける分け方は 2^3 ÷ 2 ＝ 4 組。
  2. 119　8 で割ると 7 余る数も、12 で割ると 11 余る数も、「あと 1 で割り切れる」数。つまり 8 と 12 の公倍数より 1 小さい数で、最小公倍数 24 を使って 24k − 1 と書ける。3 けたになる最小の k は 5 で、24 × 5 − 1 ＝ 119。
  3. 5　求める数を d とすると、123 − 3 ＝ 120 と 171 − 3 ＝ 168 はどちらも d で割り切れる。120 と 168 の最大公約数は 24 なので、d は 24 の約数。ただし割る数は余り 3 より大きいので、24 の約数のうち 3 より大きいもの（4、6、8、12、24）の 5 個。
  4. エ　4　N 進法の 20 は 2 × N ＋ 0 という意味。2N ＋ 0 ＝ 8 を解いて N ＝ 4。各けたの数字（2、0）は N より小さいという条件も満たしている。
  5. 8　2 の累乗の一の位は 2、4、8、6、2、… と 4 個の周期でくり返す。55 ＝ 4 × 13 ＋ 3 なので、55 乗の一の位は周期の 3 番目の 8。
  6. エ　68 個　5 の倍数は 100 ÷ 5 ＝ 20 個、7 の倍数は 14 個、両方の倍数（35 の倍数）は 2 個。どちらかで割り切れる数は 20 ＋ 14 − 2 ＝ 32 個なので、どちらでも割り切れない数は 100 − 32 ＝ 68 個。
  7. ウ　21　ユークリッドの互除法を使う。1,071 ÷ 462 ＝ 2 余り 147、462 ÷ 147 ＝ 3 余り 21、147 ÷ 21 ＝ 7 余り 0。余りが 0 になったときの割る数 21 が最大公約数。素因数分解でも 1,071 ＝ 3² × 7 × 17、462 ＝ 2 × 3 × 7 × 11 から 3 × 7 ＝ 21。
  8. ア　12　約数が 6 個になるのは、6 ＝ 6 × 1 または 3 × 2 より、p⁵ の形（最小は 2⁵ ＝ 32）か p² × q の形（最小は 2² × 3 ＝ 12）。選択肢はどれも約数が 6 個だが、最小は 12（約数は 1、2、3、4、6、12）。
  9. エ　19 個　末尾の 0 は 10 ＝ 2 × 5 の個数で決まり、素因数 2 は 5 より多いので、素因数 5 の個数を数えればよい。5 の倍数が 84 ÷ 5 ＝ 16 個、25 の倍数はさらに 1 個ずつ多く 5 を持つので 84 ÷ 25 ＝ 3 個、125 の倍数は 0 個。合計 16 ＋ 3 ＋ 0 ＝ 19 個。5 の倍数の個数だけで答えないこと。
  10. 431　いったん 10 進法に直す。5 進法の 231 は 66、200 は 50。和は 66 ＋ 50 ＝ 116。これを 5 で割り続けて余りを下から読むと 5 進法で 431。5 進法のまま筆算するなら「5 になったら繰り上がる」を守る。

発展

  1. 600　216 ＝ 2^3 × 3^3。約数の総和は (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 2^3) × (1 ＋ 3 ＋ … ＋ 3^3) ＝ 15 × 40 ＝ 600。展開するとすべての約数が 1 回ずつ現れる。
  2. 17　7 で割ると 3 余る数を小さい順に書き出す：3、10、17、…。この中で 6 で割ると 5 余る最初の数は 17。以後は 7 と 6 の最小公倍数 42 おきに現れる（17、59、…）。
  3. ウ　75 個　どちらも「あと 1 で割り切れる」ので、4 と 6 の最小公倍数 12 を使って 12k − 1 と書ける。100 ≦ 12k − 1 ≦ 999 より 101 ≦ 12k ≦ 1000、つまり 9 ≦ k ≦ 83。k は 83 − 9 ＋ 1 ＝ 75 通りなので 75 個（107 から 995 まで）。
  4. 17　2 進法で 7 けたの数は 2^6 ＝ 64 以上 2^7 − 1 ＝ 127 以下。3 進法で 4 けたの数は 3^3 ＝ 27 以上 3^4 − 1 ＝ 80 以下。両方を満たすのは 64 以上 80 以下の整数で、80 − 64 ＋ 1 ＝ 17 個。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-11/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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