地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-11
整数の性質（約数・倍数・余り・N 進法）
この単元でできるようになること
- 素因数分解から、約数の個数・約数の総和を公式で出せる
- 最大公約数・最小公倍数を、素因数分解と「積 ＝ 最大公約数 × 最小公倍数」の両方で求められる
- 「a で割ると r 余る」型の条件を 倍数 ± 定数 の形に直し、共通する数を見つけられる
- N 進法と 10 進法を相互に変換し、N 進法のまま計算できる
- 倍数の見分け方（2・3・4・5・8・9・11）と「連続する整数の積」の性質を使って、選択肢を速く絞れる
試験での位置づけ
整数の性質は、数的推理の中で単独でも出るうえに、ほかの単元の下ごしらえにもなる単元です。地方上級・国家一般職とも、約数の個数・余りの問題・N 進法は出題されやすい形です。覆面算・虫食い算（zs-21）は整数の性質そのものですし、場合の数（zs-16）や数列（zs-18）の途中でも倍数・余りの考え方を使います。公式を覚えるだけでなく、「なぜその公式になるか」を素因数分解で説明できるようにしておくと、少しひねった問題にも対応できます。
1. 約数と素因数分解
まずここだけ
整数は素因数分解すると性質がすべて見えます。
72 ＝ 2³ × 3²
約数の個数は、各素因数の「指数 ＋ 1」を掛けます。72 なら (3 ＋ 1) × (2 ＋ 1) ＝ 12 個です。理由は、約数は 2 を 0〜3 個、3 を 0〜2 個選んで掛けたものだから（選び方 4 × 3 通り）。
約数の総和は、(1 ＋ 2 ＋ 2² ＋ 2³) × (1 ＋ 3 ＋ 3²) ＝ 15 × 13 ＝ 195 です。展開すると 12 個の約数がすべて 1 回ずつ出てくるからです。
ここまでできれば十分
約数の個数が奇数になるのは平方数だけです。約数は「a × b ＝ N」のペアで数えられ、ペアにならないのは a ＝ b（N が平方数）のときだけだからです。「1 から 100 までの番号のついた電球のスイッチを、1 の倍数・2 の倍数・…・100 の倍数の順に押していくと、最後に点いているのは？」という有名な問題は、約数の個数が奇数の番号、つまり平方数 1・4・9・…・100 の 10 個が答えになります。
約数の個数から数を逆算する問題もあります。約数がちょうど 6 個の数は、6 ＝ 6 × 1 または 3 × 2 なので、p⁵ の形（32 など）か p² × q の形（12、18、20、28 など）です。
もう一歩（発展）
末尾に並ぶ 0 の個数：1 × 2 × … × n（n の階乗）の末尾の 0 の数は、素因数 5 の個数で決まります（2 は 5 より多いので）。n ÷ 5、n ÷ 25、n ÷ 125、… の商（小数切り捨て）を足します。30! なら 6 ＋ 1 ＝ 7 個です。
2. 最大公約数と最小公倍数
まずここだけ
素因数分解して、最大公約数は共通の素因数を小さい方の指数で、最小公倍数はすべての素因数を大きい方の指数で掛けます。
72 ＝ 2³ × 3²、60 ＝ 2² × 3 × 5 最大公約数 ＝ 2² × 3 ＝ 12、最小公倍数 ＝ 2³ × 3² × 5 ＝ 360
2 つの数 a、b について、a × b ＝ 最大公約数 × 最小公倍数 がつねに成り立ちます（72 × 60 ＝ 4,320 ＝ 12 × 360）。「最大公約数が 6、最小公倍数が 180 の 2 数」のような問題は、a ＝ 6m、b ＝ 6n（m と n は互いに素）と置き、mn ＝ 180 ÷ 6 ＝ 30 から (m, n) ＝ (1, 30)、(2, 15)、(3, 10)、(5, 6) を出します。
ここまでできれば十分
文章題では、「余りなく分ける・敷き詰める・切り分ける」は最大公約数、「そろう・出会う・周期」は最小公倍数です。
縦 36 cm、横 48 cm の長方形の紙を、同じ大きさの正方形に余りなく切り分ける。正方形をできるだけ大きくすると 1 辺は？ → 最大公約数 12 cm、枚数は 3 × 4 ＝ 12 枚 A のバスは 12 分おき、B のバスは 18 分おきに出る。同時に出たあと、次に同時に出るのは？ → 最小公倍数 36 分後
3 つ以上の数でも同じですが、「a × b × c ＝ 最大公約数 × 最小公倍数」は成り立たないので注意します。
もう一歩（発展）
大きな数の最大公約数はユークリッドの互除法が速い方法です。「大きい方を小さい方で割り、割る数と余りで同じことをくり返す。余りが 0 になったときの割る数が最大公約数」です。1,071 と 462 なら、1,071 ÷ 462 ＝ 2 余り 147、462 ÷ 147 ＝ 3 余り 21、147 ÷ 21 ＝ 7 余り 0 → 最大公約数 21。
3. 余りの問題 ── 「倍数 ± 定数」に直す
まずここだけ
「a で割ると r 余る数」は a の倍数 ＋ r です。複数の条件があるときは、余りの形をそろえると一気に解けます。
型 1：余りが同じ
4 で割っても 6 で割っても 1 余る数 → (4 と 6 の公倍数) ＋ 1 ＝ 12k ＋ 1 → 1、13、25、37、…
型 2：不足が同じ
4 で割ると 3 余り、6 で割ると 5 余る数 → どちらも「あと 1 で割り切れる」ので (12 の倍数) − 1 → 11、23、35、…
型 3：どちらでもない
5 で割ると 2 余り、7 で割ると 4 余る数 → 小さい方から書き出して共通の数を探す。5 で割って 2 余る：2、7、12、17、22、27、32、… 7 で割って 4 余る：4、11、18、25、32、… → 最小は 32。以後は 35 おきなので 35k ＋ 32
型 3 は書き出しがいちばん確実です。最初の 1 つが見つかれば、あとは最小公倍数おきに現れます。
ここまでできれば十分
「ある数で割る」側が未知の問題は、差をとります。
100 を割ると 4 余り、70 を割ると 7 余る自然数は？ 100 − 4 ＝ 96 と 70 − 7 ＝ 63 の公約数で、かつ余り 7 より大きい数 → 96 と 63 の最大公約数は 3 → 公約数 1、3 のうち 7 より大きいものはない。よって該当なし （数値を変えて）100 を割ると 4 余り、76 を割ると 4 余る自然数は？ → 96 と 72 の公約数のうち 4 より大きいもの → 24 の約数 6、8、12、24 の 4 個
「余りより大きい」の条件を忘れると数え間違えます。
もう一歩（発展）
累乗の余り・一の位は周期で解きます。7 の累乗の一の位は 7、9、3、1、7、… の周期 4 なので、7¹⁰⁰ の一の位は 100 ÷ 4 ＝ 25 余り 0 → 周期の最後の 1 です。「3 で割った余り」なども、余りだけを掛けていけば周期が見つかります。
4. N 進法
まずここだけ
10 進法の 253 は 2 × 10² ＋ 5 × 10 ＋ 3 という意味です。N 進法も同じで、各けたは N の累乗の個数を表します。
N 進法 → 10 進法：けたごとに N の累乗を掛けて足す。
2 進法の 1101 ＝ 1 × 8 ＋ 1 × 4 ＋ 0 × 2 ＋ 1 ＝ 13 5 進法の 243 ＝ 2 × 25 ＋ 4 × 5 ＋ 3 ＝ 73
10 進法 → N 進法：N で割り続けて、余りを下から読む。
45 を 3 進法に：45 ÷ 3 ＝ 15 余り 0、15 ÷ 3 ＝ 5 余り 0、5 ÷ 3 ＝ 1 余り 2、1 ÷ 3 ＝ 0 余り 1 → 下から読んで 1200
ここまでできれば十分
N 進法どうしの変換は、いったん 10 進法を経由するのが確実です。N 進法の計算（足し算・掛け算）も、10 進法に直してから計算し、答えを N 進法に戻します。N 進法のまま筆算するときは、「N になったら繰り上がる」だけを守ります。
N が分からない問題は、けたの意味から方程式を立てます。「N 進法で 41 と表される数が、10 進法では 25」なら 4N ＋ 1 ＝ 25 → N ＝ 6。各けたの数字は N より小さい（この例では 4 < N）ことも条件になります。
もう一歩（発展）
N 進法で k けたの数の個数は、最高位が 1〜N−1 の N − 1 通り、ほかのけたが 0〜N−1 の N 通りなので (N − 1) × Nᵏ⁻¹ 個です。2 進法の 5 けたの数は 1 × 2⁴ ＝ 16 個（16〜31）です。
5. 倍数の見分け方と連続する整数
まずここだけ
| 倍数 | 見分け方 |
|---|---|
| 2 | 一の位が偶数 |
| 3 | 各けたの和が 3 の倍数 |
| 4 | 下 2 けたが 4 の倍数（00 を含む） |
| 5 | 一の位が 0 か 5 |
| 6 | 2 の倍数かつ 3 の倍数 |
| 8 | 下 3 けたが 8 の倍数 |
| 9 | 各けたの和が 9 の倍数 |
| 11 | 一の位から 1 けたおきに足した和の差が 0 か 11 の倍数 |
3 と 9 の見分け方は、10 ＝ 9 ＋ 1、100 ＝ 99 ＋ 1、… なので「各けたの数字 × (9 の倍数 ＋ 1)」の和が、各けたの和と同じ余りになることから出ます。
ここまでできれば十分
連続する n 個の整数の積は n! で割り切れます（3 個の連続整数の積は 6 の倍数、4 個なら 24 の倍数）。「連続する 3 つの整数のうち、どれかは 3 の倍数で、どれかは 2 の倍数」だからです。「n³ − n ＝ (n − 1)n(n ＋ 1) が 6 の倍数であることを説明せよ」のような問題は、この性質を言い直すだけです。
1 から n までの整数のうち、a の倍数でも b の倍数でもない数の個数は、集合（zs-02）の考え方で「全体 − a の倍数 − b の倍数 ＋ (a と b の公倍数)」です。1〜100 で 3 でも 5 でも割り切れない数は 100 − 33 − 20 ＋ 6 ＝ 53 個です。
6. よくある間違い
| 間違い | 正しくは |
|---|---|
| 72 の約数の個数を「指数の積 3 × 2 ＝ 6」とする | 指数に 1 を足して (3 ＋ 1)(2 ＋ 1) ＝ 12 |
| 3 つの数でも「積 ＝ 最大公約数 × 最小公倍数」を使う | 2 つの数のときだけ成り立つ |
| 「割ると 3 余り」の数を書き出すとき、余りより小さい割る数を含める | 割る数は余りより大きい |
| N 進法の変換で、余りを上から読む | 最後の商から順に、余りを下から読む |
| 「4 で割ると 3 余り、6 で割ると 5 余る」を 12k ＋ 3 とする | どちらも不足が 1 なので 12k − 1（11、23、…） |
| 11 の倍数の判定で各けたの和を使う | 1 けたおきの和の差を見る（3 と 9 だけが各けたの和） |
7. 解き方の型
- 数が出てきたら、まず素因数分解する（約数の個数・総和・最大公約数・最小公倍数はここから）
- 「余り」の条件は「倍数 ＋ 余り」「倍数 − 不足」に書き直し、そろわなければ小さい方から書き出す
- 割る数が未知なら差をとって公約数を探し、「余りより大きい」で絞る
- N 進法は 10 進法を経由する。N が未知ならけたの意味で方程式を立て、各けたの数字 < N を確かめる
- 選択肢を絞るときは、倍数の見分け方と一の位の周期を使う
8. 小テストへ
→ 小テスト（zs-11）
関連する単元
- 前提：m1-04 四則の混じった計算・素因数分解（中学数学）
- 次に進む：zs-21 覆面算・虫食い算・記数法の応用、zs-16 場合の数、zs-18 数列と規則性・魔方陣
- 同じ考え方を使う：zs-02 集合とベン図（倍数の個数）、zs-08 操作と手順（油分け算の最大公約数）、zs-09 平面図形の構成（敷き詰め）
参考資料
- 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
- 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
- 高等学校「数学 A」教科書（整数の性質・ユークリッドの互除法・N 進法）
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-11/ ／ 更新 2026-09-14