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小テスト ／ zs-16

場合の数

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場合の数 ── 問題

基礎

  1. 7 人の中から 2 人を選んで 1 列に並べる並べ方は何通りありますか。
  2. 9 人の中から 3 人の委員を選ぶ選び方は何通りありますか。
  3. 0、1、2、…、5 の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードから 3 枚を選んで並べ、3 桁の整数を作ります。整数は全部で何個できますか。
  4. 5 人が円形のテーブルに座るとき、座り方は何通りありますか。ただし、回転して同じになる座り方は同じものとみなします。
  5. 0、1、2、3、4 の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードから 3 枚を選んで並べ、3 桁の整数を作ります。偶数は何個できますか。　（ア 60 個　イ 48 個　ウ 24 個　エ 30 個　undefined 36 個）
  6. 1 から 3 までの 3 種類の数字を使って 4 桁の整数を作ります。同じ数字を何回使ってもよいとき、整数は全部で何個できますか。

標準

  1. A、B を含む 5 人が円形のテーブルに座ります。A と B が隣り合う座り方は何通りありますか。ただし、回転して同じになる座り方は同じものとみなします。
  2. 3 種類の果物が店にたくさんあります。ここから 7 個を買うとき、買い方は何通りありますか。ただし、同じ種類を何個買ってもよく、買わない種類があってもよいものとします。
  3. 東西に 3 区画、南北に 5 区画の碁盤の目状の道があります。南西の角 A から北東の角 B まで、遠回りをせずに行く道順は何通りありますか。　（ア 35 通り　イ 56 通り　ウ 84 通り　エ 16 通り　undefined 15 通り）
  4. A、A、A、B の 4 文字を 1 列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。
  5. A 市から B 市へ行く道が 3 本、B 市から C 市へ行く道が 5 本あります。A 市から B 市を経由して C 市へ行き、再び B 市を経由して A 市へ戻るとき、行きと帰りで同じ道を通らない道順は何通りありますか。　（ア 15 通り　イ 30 通り　ウ 120 通り　エ 150 通り　undefined 90 通り）
  6. 男子 4 人と女子 3 人の合計 7 人が 1 列に並びます。女子 3 人が隣り合う並び方は何通りありますか。　（ア 5,040 通り　イ 144 通り　ウ 240 通り　エ 720 通り　undefined 1,440 通り）
  7. 1、2、3 の 3 種類の数字を使って 4 桁の整数を作ります。同じ数字を何回使ってもよいとき、3 種類の数字をすべて使っている整数は何個ありますか。　（ア 54 個　イ 42 個　ウ 24 個　エ 36 個　undefined 81 個）
  8. 色のちがう 6 個の玉をすべて糸に通して首かざりを作ります。作り方は何通りありますか。ただし、回したり裏返したりして同じになるものは同じものとみなします。
  9. 東西に 3 区画、南北に 5 区画の碁盤の目状の道があります。南西の角 A から北東の角 B まで遠回りをせずに行く道順のうち、A から東へ 2 区画・北へ 1 区画の位置にある交差点 P を通るものは何通りありますか。　（ア 41 通り　イ 15 通り　ウ 56 通り　エ 30 通り　undefined 12 通り）
  10. 6 人を、1 人・2 人・3 人の 3 つの組に分ける分け方は何通りありますか。　（ア 360 通り　イ 90 通り　ウ 30 通り　エ 60 通り　undefined 10 通り）

発展

  1. 男子 3 人と女子 4 人の中から 3 人を選びます。女子が少なくとも 1 人含まれる選び方は何通りありますか。
  2. 8 人を 2 人ずつ 4 組に分ける分け方は何通りありますか。ただし、組には区別がないものとします。
  3. 正六角形の 6 つの頂点から 3 つを選んで三角形を作ります。正三角形でない三角形は何個できますか。　（ア 24 個　イ 18 個　ウ 20 個　エ 12 個　undefined 16 個）
  4. 東西に 5 区画、南北に 5 区画の碁盤の目状の道があります。A から東へ 1 区画・北へ 4 区画の位置にある交差点 P が工事中で通れません。南西の角 A から北東の角 B まで、遠回りをせずに行く道順は何通りありますか。　（ア 25 通り　イ 227 通り　ウ 222 通り　エ 252 通り　undefined 242 通り）
  5. 男子 5 人と女子 2 人の合計 7 人が 1 列に並びます。女子どうしが隣り合わない並び方は何通りありますか。

場合の数 ── 解答

基礎

  1. 42　並べる（順番を区別する）ので順列。7P2 ＝ 7 × 6 ＝ 42 通り。
  2. 84　選ぶだけ（順番を区別しない）ので組合せ。9C3 ＝ (9 × 8 × 7) ÷ 3! ＝ 504 ÷ 6 ＝ 84 通り。
  3. 100　百の位は 0 以外の 5 通り。十の位は残り 6 − 1 ＝ 5 通り。一の位は残り 4 通り。5 × 5 × 4 ＝ 100 個。6P3 ＝ 120 個から先頭が 0 のもの 20 個を引いても同じ。
  4. 24　円順列。1 人を固定して残り 4 人を並べる → (5 − 1)! ＝ 4! ＝ 24 通り。5! を回転の 5 通りで割っても同じ。
  5. エ　30 個　一の位で場合分け。一の位が 0：百の位 4 通り × 十の位 3 通り ＝ 12 個。一の位が 2 または 4：百の位は 0 とその数以外の 3 通り、十の位は残り 3 通りで 3 × 3 × 2 ＝ 18 個。合計 30 個。48 個は 3 桁の整数全部の個数。
  6. 81　どの桁も 3 通りずつ選べる重複順列。3 × 3 × 3 × 3 ＝ 3^4 ＝ 81 個。3P4 や 3C4 は「同じ数字を使わない」ときの数え方なので使わない。

標準

  1. 12　A と B をひとかたまりとみると 4 個の円順列 → (4 − 1)! ＝ 6 通り。かたまりの中の並び（AB と BA）が 2 通り。6 × 2 ＝ 12 通り。
  2. 36　重複組合せ。7 個の○と、種類を分ける仕切り 2 本の並べ方に等しい。9 個の場所から仕切りの位置 2 か所を選んで 9C2 ＝ 36 通り。
  3. イ　56 通り　東へ 3 回、北へ 5 回の合計 8 回の移動の並べ方。8 回のうち東へ進む 3 回を選んで 8C3 ＝ 56 通り。
  4. 4　同じものを含む順列。全部区別すると 4! ＝ 24 通りだが、A が 3 個は入れかえても同じなので 3! ＝ 6 で割る。24 ÷ 6 ＝ 4 通り。
  5. ウ　120 通り　行きは 3 × 5 ＝ 15 通り。帰りは C→B が使った 1 本を除いて 4 通り、B→A が 2 通りで 4 × 2 ＝ 8 通り。積の法則で 15 × 8 ＝ 120 通り。
  6. エ　720 通り　女子 3 人をひとかたまりとみると、男子 4 人とかたまりの 5 つを並べて 5! ＝ 120 通り。かたまりの中の女子の並び 3! ＝ 6 通り。120 × 6 ＝ 720 通り。5,040 は 7! で条件なしの全体、1,440 は「女子どうしが隣り合わない」並び方。
  7. エ　36 個　全体は重複順列 3⁴ ＝ 81 個。そこから 2 種類以下しか使わないものを引く。使う数字が 2 種類ちょうど：どの 2 種類か 3C2 ＝ 3 通り × (2⁴ − 2) ＝ 14 で 42 個。1 種類だけ：3 個。81 − 42 − 3 ＝ 36 個。42 個は「ちょうど 2 種類」の個数。
  8. 60　円順列なら (6 − 1)! ＝ 120 通り。首かざりは裏返すと同じものが 2 つずつ組になるので、さらに 2 で割って 120 ÷ 2 ＝ 60 通り（じゅず順列）。円卓の座り方（裏返せない）との違いに注意。
  9. イ　15 通り　A から P までは東 2・北 1 の 3 回の移動の並べ方で 3C2 ＝ 3 通り。P から B までは東 1・北 4 で 5C1 ＝ 5 通り。P を通る道順は積の法則で 3 × 5 ＝ 15 通り（全体は 56 通り）。
  10. エ　60 通り　まず 1 人の組を選んで 6C1 ＝ 6 通り、残り 5 人から 2 人の組を選んで 5C2 ＝ 10 通り、残りは自動的に 3 人の組。6 × 10 ＝ 60 通り。人数がすべて違うので組の入れかえで同じになるものはなく、3! で割らない。

発展

  1. 34　「少なくとも 1 人」は余事象。全体 7C3 ＝ 35 通りから、女子が 1 人もいない（男子だけ）3C3 ＝ 1 通りを引く。35 − 1 ＝ 34 通り。
  2. 105　組に名前があるとして順に選ぶと 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C2 ＝ 2520 通り。同じ人数の組が 4 組あり、組の入れかえ 4! ＝ 24 通りは同じ分け方なので、2520 ÷ 24 ＝ 105 通り。
  3. イ　18 個　3 頂点の選び方は 6C3 ＝ 20 通りで、どの 3 点も一直線上にないので三角形は 20 個。そのうち正三角形は 1 つおきに頂点を取る 2 個だけ。20 − 2 ＝ 18 個。
  4. イ　227 通り　全体は東 5・北 5 で 10C5 ＝ 252 通り。P を通る道順は、A から P まで 5C1 ＝ 5 通り × P から B まで 5C4 ＝ 5 通り ＝ 25 通り。通れないので引いて 252 − 25 ＝ 227 通り。
  5. 3600　先に男子 5 人を並べて 5! ＝ 120 通り。男子の間と両端の 6 か所から女子の入る 2 か所を選んで並べると 6P2 ＝ 30 通り。120 × 30 ＝ 3600 通り。全体 7! ＝ 5040 通りから「女子が隣り合う」を引くより、すき間に入れる方が速い。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-16/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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