地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-16

更新 2026-09-14

場合の数

この単元でできるようになること

• 「同時に起こらないなら足す（和の法則）、続けて起こるなら掛ける（積の法則）」を使い分けられる
• 順列 P（並べる）と組合せ C（選ぶだけ）を、「順番を区別するか」で判断できる
• 円順列・同じものを含む順列・重複順列・重複組合せの 4 つの公式を、なぜそうなるかと一緒に使える
• 「隣り合う」「少なくとも 1 人」「0 を含む数字カード」などの定番条件を処理できる
• 最短経路・組分けの問題を組合せに読みかえられる

試験での位置づけ

場合の数は zs-17 確率の土台で、地方上級・国家一般職とも、場合の数か確率のどちらかが 1 問入ることがよくあります。公式を覚えるだけでは足りず、「この問題は並べているのか、選んでいるのか」を見抜くのが本体です。迷ったら小さい数で書き出して数える（総当たり）癖をつけると、公式の使い間違いに自分で気づけます。

1. 和の法則と積の法則

まずここだけ

• 和の法則：A の場合と B の場合が同時に起こらないとき、どちらかが起こる場合の数は A ＋ B
• 積の法則：A が起こり、続けて B が起こるとき、両方が起こる場合の数は A × B

A 市から B 市へ 3 本、B 市から C 市へ 4 本の道がある。A から C へ行く道順は 3 × 4 ＝ 12 通り（積） 行きと帰りで同じ道を通らずに往復する道順は、行き 12 通り × 帰り 2 × 3 ＝ 6 通り ＝ 72 通り

ここまでできれば十分

「場合分けして足す」が和の法則、「1 つずつ決めていって掛ける」が積の法則です。数字カードで整数を作る問題は、両方を組み合わせます。

0〜4 の 5 枚から 3 枚を並べて 3 桁の整数。 百の位は 0 以外の 4 通り、十の位は残り 4 通り、一の位は残り 3 通り → 4 × 4 × 3 ＝ 48 通り

そのうち偶数は？ 一の位で場合分け。 一の位が 0：百 4 × 十 3 ＝ 12 通り。一の位が 2 か 4：百は 0 とその数以外の 3 通り、十は残り 3 通り → 3 × 3 × 2 ＝ 18 通り。合計 30 通り

制約の強い位から決める（0 が使えない百の位、偶数にする一の位）のが鉄則です。

2. 順列 P と組合せ C

まずここだけ

nPr ＝ n × (n − 1) × … × (n − r ＋ 1)（n から r 個を並べる） nCr ＝ nPr ÷ r!（n から r 個を選ぶだけ）

• 6 人から 3 人を選んで 1 列に並べる：6P3 ＝ 6 × 5 × 4 ＝ 120 通り
• 6 人から 3 人の委員を選ぶ：6C3 ＝ 120 ÷ 3! ＝ 20 通り

選んだ 3 人の並べ方 3! ＝ 6 通りが「同じ選び方」として 1 つにまとまるので、P を r! で割ると C になります。役職や順位がつくなら P、つかないなら C。

nCr ＝ nC(n − r) も便利です（8C6 ＝ 8C2 ＝ 28）。

ここまでできれば十分

「隣り合う」は、隣り合う人たちを 1 つのかたまりとみなし、かたまりの中の並べ方を最後に掛けます。

男子 4 人・女子 3 人が 1 列。女子 3 人が隣り合う並び方。 女子をひとかたまり → 5 つのものの並び 5! ＝ 120、女子の中の並び 3! ＝ 6 → 720 通り

「隣り合わない」は、隣り合わない人を先に並べたあと、間と両端に残りを入れます。男子 4 人を並べて（4!）、5 か所のすき間から 3 か所を選んで女子を並べる（5P3）→ 24 × 60 ＝ 1,440 通り。

「少なくとも 1 人」は、全体から「1 人もいない」を引く（余事象）のが速い方法です。

男子 5 人・女子 3 人から 3 人選ぶ。女子が少なくとも 1 人含まれる選び方。 全体 8C3 ＝ 56、女子 0 人（男子だけ）5C3 ＝ 10 → 56 − 10 ＝ 46 通り

3. 円順列・同じものを含む順列・重複順列

まずここだけ

• 5 人が円卓：(5 − 1)! ＝ 24 通り
• A、A、A、B、B の 5 文字を並べる：5! ÷ (3! × 2!) ＝ 10 通り
• 1、2、3 を使って 4 桁の整数（何回使ってもよい）：3^4 ＝ 81 通り

ここまでできれば十分

円順列で「隣り合う」：隣り合う 2 人をかたまりにして (n − 1) 個の円順列 (n − 2)! を作り、かたまりの中の 2! を掛けます。6 人で A と B が隣り合う：4! × 2 ＝ 48 通り。

じゅず順列（裏返しても同じ）は円順列の半分：(n − 1)! ÷ 2。ブレスレット・首かざりの問題で出ます。

「3 種類すべてを使う」重複順列は、全体から「2 種類以下しか使わない」を引きます。1、2、3 で 4 桁：全体 81、使う種類が 2 種類以下なのは 3C2 × 2^4 − 3 ＝ 45（同じ数だけの 3 つを重複して引かないように調整）→ 81 − 45 ＝ 36 通り。

4. 重複組合せ・最短経路・組分け

まずここだけ

重複組合せ（同じ種類を何個選んでもよい・買わない種類があってもよい）：k 種類から n 個を選ぶ場合の数は

(n ＋ k − 1) C (k − 1)　＝ 「n 個の○と k − 1 本の仕切り｜の並べ方」

りんご・みかん・ももの 3 種類から 5 個買う：○5 個と仕切り 2 本 → 7C2 ＝ 21 通り

最短経路：碁盤の目で右に a 区画・上に b 区画進む最短経路は、「右 a 個と上 b 個の並べ方」なので

(a ＋ b) C a　（右 3・上 2 なら 5C2 ＝ 10 通り）

ここまでできれば十分

組分けは、「組に名前があるか」「人数が同じ組があるか」で割る数が変わります。

• 6 人を A 組 2 人・B 組 2 人・C 組 2 人に分ける：6C2 × 4C2 × 2C2 ＝ 90 通り
• 6 人を 2 人ずつ 3 組に分ける（組に区別なし）：90 ÷ 3! ＝ 15 通り
• 6 人を 2 人・2 人・2 人でなく 3 人・2 人・1 人に分ける（区別なし）：6C3 × 3C2 × 1C1 ＝ 60 通り（人数が違うので割らない）

同じ人数の組が m 組あるときだけ m! で割ると覚えてください。

もう一歩（発展）

最短経路で「ある地点を通る」は、そこまでの経路 × そこからの経路（積の法則）。「通れない地点がある」は、全体から「そこを通る経路」を引きます。図がある問題は、交差点ごとに「そこまでの経路数」を左と下から足して書きこむ方法（書きこみ法）が確実で、公式を使わなくても解けます。

5. よくある間違い

6. 解き方の型

1. 「並べる（順番あり）」か「選ぶ（順番なし）」かを決める → P か C か
2. 「同じものを何回使ってよいか」「同じものが含まれているか」「円か」を確かめて公式を選ぶ
3. 制約の強い位置・人から先に決める。「隣り合う」はかたまり、「少なくとも」は余事象
4. 小さい数で書き出して、公式の答えと合うか確かめる
5. 組分けは「組に名前があるか」「同じ人数の組がいくつあるか」で割る数を決める

7. 小テストへ

→ 小テスト（zs-16）

関連する単元

• 前提：ha-01 場合の数（和の法則・積の法則・順列・円順列・重複順列）・ha-02 組合せ（高校数学 A）
• 次に進む：zs-17 確率（場合の数の比）
• 同じ考え方を使う：zs-11 整数の性質（約数の個数の数え方）・zs-18 数列と規則性・魔方陣

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 高等学校 数学 A の教科書（場合の数と確率）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-16/ ／ 更新 2026-09-14

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