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小テスト ／ zs-16

場合の数

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場合の数 ── 問題

基礎

  1. 4 人の中から 2 人を選んで 1 列に並べる並べ方は何通りありますか。
  2. 9 人の中から 2 人の委員を選ぶ選び方は何通りありますか。
  3. 0、1、2、…、3 の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードから 3 枚を選んで並べ、3 桁の整数を作ります。整数は全部で何個できますか。
  4. 6 人が円形のテーブルに座るとき、座り方は何通りありますか。ただし、回転して同じになる座り方は同じものとみなします。
  5. 0、1、2、3、4 の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードから 3 枚を選んで並べ、3 桁の整数を作ります。偶数は何個できますか。　（ア 60 個　イ 48 個　ウ 24 個　エ 30 個　undefined 36 個）

標準

  1. A、B を含む 5 人が円形のテーブルに座ります。A と B が隣り合う座り方は何通りありますか。ただし、回転して同じになる座り方は同じものとみなします。
  2. 3 種類の果物が店にたくさんあります。ここから 8 個を買うとき、買い方は何通りありますか。ただし、同じ種類を何個買ってもよく、買わない種類があってもよいものとします。
  3. 東西に 5 区画、南北に 2 区画の碁盤の目状の道があります。南西の角 A から北東の角 B まで、遠回りをせずに行く道順は何通りありますか。　（ア 21 通り　イ 14 通り　ウ 56 通り　エ 6 通り　undefined 10 通り）
  4. A、A、A、B の 4 文字を 1 列に並べるとき、並べ方は何通りありますか。
  5. A 市から B 市へ行く道が 4 本、B 市から C 市へ行く道が 3 本あります。A 市から B 市を経由して C 市へ行き、再び B 市を経由して A 市へ戻るとき、行きと帰りで同じ道を通らない道順は何通りありますか。　（ア 24 通り　イ 144 通り　ウ 72 通り　エ 12 通り　undefined 108 通り）
  6. 男子 4 人と女子 3 人の合計 7 人が 1 列に並びます。女子 3 人が隣り合う並び方は何通りありますか。　（ア 5,040 通り　イ 144 通り　ウ 240 通り　エ 720 通り　undefined 1,440 通り）
  7. 1、2、3 の 3 種類の数字を使って 4 桁の整数を作ります。同じ数字を何回使ってもよいとき、3 種類の数字をすべて使っている整数は何個ありますか。　（ア 54 個　イ 42 個　ウ 24 個　エ 36 個　undefined 81 個）

発展

  1. 男子 4 人と女子 5 人の中から 2 人を選びます。女子が少なくとも 1 人含まれる選び方は何通りありますか。
  2. 6 人を 3 人ずつ 2 組に分ける分け方は何通りありますか。ただし、組には区別がないものとします。
  3. 正六角形の 6 つの頂点から 3 つを選んで三角形を作ります。正三角形でない三角形は何個できますか。　（ア 24 個　イ 18 個　ウ 20 個　エ 12 個　undefined 16 個）

場合の数 ── 解答

基礎

  1. 12　並べる（順番を区別する）ので順列。4P2 ＝ 4 × 3 ＝ 12 通り。
  2. 36　選ぶだけ（順番を区別しない）ので組合せ。9C2 ＝ (9 × 8) ÷ 2! ＝ 72 ÷ 2 ＝ 36 通り。
  3. 18　百の位は 0 以外の 3 通り。十の位は残り 4 − 1 ＝ 3 通り。一の位は残り 2 通り。3 × 3 × 2 ＝ 18 個。4P3 ＝ 24 個から先頭が 0 のもの 6 個を引いても同じ。
  4. 120　円順列。1 人を固定して残り 5 人を並べる → (6 − 1)! ＝ 5! ＝ 120 通り。6! を回転の 6 通りで割っても同じ。
  5. エ　30 個　一の位で場合分け。一の位が 0：百の位 4 通り × 十の位 3 通り ＝ 12 個。一の位が 2 または 4：百の位は 0 とその数以外の 3 通り、十の位は残り 3 通りで 3 × 3 × 2 ＝ 18 個。合計 30 個。48 個は 3 桁の整数全部の個数。

標準

  1. 12　A と B をひとかたまりとみると 4 個の円順列 → (4 − 1)! ＝ 6 通り。かたまりの中の並び（AB と BA）が 2 通り。6 × 2 ＝ 12 通り。
  2. 45　重複組合せ。8 個の○と、種類を分ける仕切り 2 本の並べ方に等しい。10 個の場所から仕切りの位置 2 か所を選んで 10C2 ＝ 45 通り。
  3. ア　21 通り　東へ 5 回、北へ 2 回の合計 7 回の移動の並べ方。7 回のうち東へ進む 5 回を選んで 7C5 ＝ 21 通り。
  4. 4　同じものを含む順列。全部区別すると 4! ＝ 24 通りだが、A が 3 個は入れかえても同じなので 3! ＝ 6 で割る。24 ÷ 6 ＝ 4 通り。
  5. ウ　72 通り　行きは 4 × 3 ＝ 12 通り。帰りは C→B が使った 1 本を除いて 2 通り、B→A が 3 通りで 2 × 3 ＝ 6 通り。積の法則で 12 × 6 ＝ 72 通り。
  6. エ　720 通り　女子 3 人をひとかたまりとみると、男子 4 人とかたまりの 5 つを並べて 5! ＝ 120 通り。かたまりの中の女子の並び 3! ＝ 6 通り。120 × 6 ＝ 720 通り。5,040 は 7! で条件なしの全体、1,440 は「女子どうしが隣り合わない」並び方。
  7. エ　36 個　全体は重複順列 3⁴ ＝ 81 個。そこから 2 種類以下しか使わないものを引く。使う数字が 2 種類ちょうど：どの 2 種類か 3C2 ＝ 3 通り × (2⁴ − 2) ＝ 14 で 42 個。1 種類だけ：3 個。81 − 42 − 3 ＝ 36 個。42 個は「ちょうど 2 種類」の個数。

発展

  1. 30　「少なくとも 1 人」は余事象。全体 9C2 ＝ 36 通りから、女子が 1 人もいない（男子だけ）4C2 ＝ 6 通りを引く。36 − 6 ＝ 30 通り。
  2. 10　組に名前があるとして順に選ぶと 6C3 × 3C3 ＝ 20 通り。同じ人数の組が 2 組あり、組の入れかえ 2! ＝ 2 通りは同じ分け方なので、20 ÷ 2 ＝ 10 通り。
  3. イ　18 個　3 頂点の選び方は 6C3 ＝ 20 通りで、どの 3 点も一直線上にないので三角形は 20 個。そのうち正三角形は 1 つおきに頂点を取る 2 個だけ。20 − 2 ＝ 18 個。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-16/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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