確率 ── 問題
基礎
- 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が 3 になる確率を求めなさい。
- 袋の中に赤玉 2 個と白玉 3 個が入っています。この袋から同時に 2 個を取り出すとき、2 個とも赤玉である確率を求めなさい。
- 6 本のくじの中に当たりが 3 本あります。A、B の 2 人がこの順に 1 本ずつ引くとき（引いたくじは戻さない）、B が当たりを引く確率を求めなさい。
- 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の積が奇数になる確率はどれですか。 （ア 3/4 イ 1/4 ウ 1/6 エ 1/3 undefined 1/2）
- 袋の中に赤玉 5 個と白玉 4 個が入っています。この袋から 1 個を取り出して色を確認し、袋に戻してから、もう一度 1 個を取り出します。2 回とも赤玉である確率はどれですか。 （ア 5/9 イ 65/81 ウ 5/18 エ 20/81 undefined 25/81）
標準
- 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも 1 個は 2 以上の目が出る確率を求めなさい。
- 1 枚の硬貨を 5 回投げるとき、表がちょうど 2 回出る確率を求めなさい。
- 1 個のさいころを 4 回投げるとき、2 の倍数の目がちょうど 3 回出る確率を求めなさい。
- 袋の中に赤玉 3 個と白玉 6 個が入っています。この袋から同時に 2 個を取り出すとき、2 個の色が異なる確率はどれですか。 （ア 1/2 イ 2/9 ウ 1/4 エ 4/9 undefined 1/3）
- A、B を含む 5 人がくじ引きで順番を決めて 1 列に並びます。A と B が隣り合う確率はどれですか。 （ア 1/10 イ 2/5 ウ 1/2 エ 1/5 undefined 4/5）
- 袋の中に赤玉 3 個と白玉 2 個が入っています。同時に 2 個を取り出すとき、少なくとも 1 個が赤玉である確率はどれですか。 （ア 4/5 イ 7/10 ウ 3/5 エ 3/10 undefined 9/10）
- 10 本のくじの中に当たりが 3 本あります。A、B の 2 人がこの順に 1 本ずつ引くとき（引いたくじは戻さない）、A がはずれ、B が当たりを引く確率はどれですか。 （ア 3/10 イ 21/100 ウ 1/15 エ 7/30 undefined 7/15）
- 1 個のさいころを 3 回投げるとき、少なくとも 1 回は 6 の目が出る確率はどれですか。 （ア 1/2 イ 1/216 ウ 25/72 エ 91/216 undefined 215/216）
- 袋の中に赤玉 5 個と白玉 4 個が入っています。この袋から同時に 3 個を取り出すとき、赤玉がちょうど 1 個である確率を求めなさい。
- 大小 2 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の積が 6 の倍数になる確率はどれですか。 （ア 1/4 イ 5/18 ウ 5/6 エ 1/36 undefined 5/12）
発展
- A が的に当てる確率は 1/2、B が的に当てる確率は 3/5 です。2 人が 1 回ずつ射るとき、少なくとも一方が的に当てる確率を求めなさい。ただし、2 人の結果は互いに影響しないものとします。
- 3 人でじゃんけんを 1 回するとき、あいこになる確率を求めなさい。
- 25 本のくじがあり、1 等 3000 円が 1 本、2 等 500 円が 7 本で、残りははずれ（0 円）です。このくじを 1 本引くときの賞金の期待値は何円ですか。
- ある製品は工場 A で全体の 60％、工場 B で 40％ が作られています。不良品の割合は A 製が 2％、B 製が 5％ です。全体から 1 個を取り出したところ不良品でした。この製品が A 製である確率はどれですか。 （ア 5/8 イ 3/8 ウ 2/7 エ 3/5 undefined 1/2）
- ある製品は工場 A で全体の 70％、工場 B で 30％ が作られています。不良品の割合は A 製が 3％、B 製が 4％ です。全体から 1 個を取り出したところ不良品でした。この製品が A 製である確率はどれですか。 （ア 7/10 イ 21/1000 ウ 3/7 エ 7/11 undefined 4/11）
- 5 人でじゃんけんを 1 回するとき、ちょうど 3 人が勝つ確率はどれですか。 （ア 5/16 イ 3/5 ウ 10/81 エ 40/243 undefined 10/243）
- 袋 A には赤玉 2 個と白玉 3 個、袋 B には赤玉 3 個と白玉 1 個が入っています。硬貨を投げて、表が出たら袋 A から、裏が出たら袋 B から 1 個を取り出したところ、赤玉でした。取り出した袋が A であった確率はどれですか。 （ア 8/15 イ 1/2 ウ 15/23 エ 8/23 undefined 2/5）
確率 ── 解答
基礎
- 1/18 全部で 6 × 6 ＝ 36 通り。和が 3 になる組は (1,2)、(2,1) の 2 通り。2/36 ＝ 1/18。
- 1/10 全部で 5C2 ＝ 10 通り、赤 2 個は 2C2 ＝ 1 通り。1/10。順に 1 個ずつ取ると考えて 2/5 × 1/4 でも同じ。
- 1/2 A が当たって B も当たる：3/6 × 2/5 ＝ 1/5。A がはずれて B が当たる：3/6 × 3/5 ＝ 3/10。足して 1/2。先に引く A が当たる確率 3/6 と同じで、くじは順番によって有利・不利にならない。
- イ 1/4 積が奇数になるのは 2 個とも奇数のとき。1/2 × 1/2 ＝ 1/4。36 通りのうち 3 × 3 ＝ 9 通り。
- undefined 25/81 戻すので 2 回目も袋の中は同じ。1 回目に赤 5/9、2 回目も赤 5/9 で、5/9 × 5/9 ＝ 25/81。戻さないなら 2 回目は 4/8 になり、5/18 と変わる。「戻す」か「戻さない」かを問題文で確かめる。
標準
- 35/36 余事象「2 個とも 1 以下」の確率は (1/6)² ＝ 1/36。1 − 1/36 ＝ 35/36。
- 5/16 反復試行。どの 2 回が表かの選び方 5C2 ＝ 10 通り、それぞれの確率は (1/2)^5 ＝ 1/32。10/32 ＝ 5/16。
- 1/4 1 回で 2 の倍数の目が出る確率は 1/2、出ない確率は 1/2。反復試行で 4C3 × (1/2)^3 × (1/2)^1 ＝ 4 × 1/8 × 1/2 ＝ 1/4。
- ア 1/2 全部で 9C2 ＝ 36 通り。赤 1 個と白 1 個の選び方は 3 × 6 ＝ 18 通り。18/36 ＝ 1/2。余事象「同じ色」＝ (3C2 ＋ 6C2)/36 ＝ 1/2 を 1 から引いても同じ。
- イ 2/5 全部で 5! ＝ 120 通り。A と B をひとかたまりにして 4! × 2 ＝ 48 通り。48/120 ＝ 2/5。
- undefined 9/10 余事象「2 個とも白」は 2C2/5C2 ＝ 1/10。1 − 1/10 ＝ 9/10。3/10 は「2 個とも赤」の確率。
- エ 7/30 A がはずれる確率 7/10。そのとき残り 9 本に当たり 3 本なので B が当たる確率 3/9。7/10 × 3/9 ＝ 21/90 ＝ 7/30。21/100 は引いたくじを戻した場合。
- エ 91/216 「少なくとも 1 回」は余事象。3 回とも 6 以外の目が出る確率は (5/6)^3 ＝ 125/216。1 − 125/216 ＝ 91/216。1/6 を 3 回足した 3/6 は、2 回以上出る場合を重ねて数えている。
- 5/14 全部で 9C3 ＝ 84 通り。赤 1 個の選び方 5C1 ＝ 5 通り、白 2 個の選び方 4C2 ＝ 6 通りで、分子は 5 × 6 ＝ 30 通り。30/84 ＝ 5/14。赤と白の選び方は掛け算でつなぐ。
- undefined 5/12 6 × 6 の表で積が 6 の倍数になるますを数えると 15 通り（(1,6)、(2,3)、(2,6)、(3,4)、(3,6)、(4,6)、(5,6)、(6,6) など）。15/36 ＝ 5/12。6 は 2 × 2 や 2 × 3 のように 2 つの目の組み合わせでも倍数になるので、1 つの目ごとの余事象では出せない。表で数える。
発展
- 4/5 余事象「2 人ともはずす」＝ (1 − 1/2) × (1 − 3/5) ＝ 1/2 × 2/5 ＝ 1/5。1 − 1/5 ＝ 4/5。確率をそのまま足す 1/2 ＋ 3/5 は、両方当てる場合を二重に数えている。
- 1/3 手の出し方は全部で 3^3 ＝ 27 通り。勝負がつくのは出た手がちょうど 2 種類のとき：どの 2 種類か 3 通り × (2^3 − 2) ＝ 3 × 6 ＝ 18 通り。あいこ ＝ 1 − 18/27 ＝ 1/3。
- 260 期待値 ＝ 値 × 確率 の合計 ＝ 3000 × 1/25 ＋ 500 × 7/25 ＋ 0 × 17/25 ＝ (3000 ＋ 3500) ÷ 25 ＝ 6500 ÷ 25 ＝ 260 円。賞金の合計 ÷ 本数と同じ。
- イ 3/8 1,000 個作ったとすると、A 製 600 個のうち不良は 12 個、B 製 400 個のうち不良は 20 個。不良品 32 個のうち A 製は 12 個 → 12/32 ＝ 3/8。3/5 は条件を無視した「A 製である確率」。
- エ 7/11 条件付き確率は個数の表にする。10,000 個作ったとすると、A 製 7000 個のうち不良は 210 個、B 製 3000 個のうち不良は 120 個。不良品 330 個のうち A 製は 210 個なので 210/330 ＝ 7/11。70/100 は「不良品だった」という条件を無視した値。
- ウ 10/81 手の出し方は全部で 3^5 ＝ 243 通り。誰が勝つか 5C3 ＝ 10 通り、勝つ手が何か 3 通り（勝つ手が決まれば負ける手も決まる）。10 × 3 ＝ 30 通りなので 30/243 ＝ 10/81。「勝つ手が 3 通り」を掛け忘れやすい。
- エ 8/23 A から赤：1/2 × 2/5 ＝ 1/5 ＝ 8/40。B から赤：1/2 × 3/4 ＝ 3/8 ＝ 15/40。赤が出る確率は 8/40 ＋ 15/40 ＝ 23/40 で、そのうち A からは 8/40。8/23。1/2 は「赤だった」という条件を使っていない値。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-17/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。