数列と規則性・魔方陣 ── 問題
基礎
- 5、8、11、14、… と一定の差で増えていく数列がある。はじめから数えて 36 番目の数はいくつですか。
- 5、9、13、17、… と一定の差で増えていく数列がある。はじめから 11 番目までの数をすべて足すといくつになりますか。
- 1 | 2、3 | 4、5、6 | 7、8、9、10 | … のように、自然数を第 1 群に 1 個、第 2 群に 2 個、第 3 群に 3 個、… と区切っていく。数 68 は第何群に入りますか。
- 同じ長さのマッチ棒で正五角形を作り、となりどうしが 1 辺を共有するように横一列に 23 個つなげて並べる。マッチ棒は全部で何本必要ですか。
- 3 × 3 のますに 1 から 9 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣（縦・横・対角線のどの列の和も等しい）を作るとき、中央のますに入る数はどれですか。 （ア 3 イ 7 ウ 4 エ 5 undefined 6）
- 4、12、36、108、… と一定の比で増えていく数列がある。はじめから数えて 5 番目の数はいくつですか。 （ア 324 イ 320 ウ 48 エ 108 undefined 972）
- 碁石 24 個を、正方形の形に周だけ（内側は空にして）並べたところ、ちょうど使い切りました。正方形の 1 辺には碁石が何個並んでいますか。 （ア 5 イ 8 ウ 7 エ 6 undefined 9）
- 碁石を、1 段目に 1 個、2 段目に 3 個、3 段目に 5 個、… と、段が下がるごとに 2 個ずつ増やして並べていきます。全部で 324 個の碁石をちょうど使い切ったとき、何段まで並べましたか。
標準
- 1 から 200 までの整数のうち、8 の倍数をすべて足すといくつになりますか。 （ア 2400 イ 2808 ウ 5200 エ 2500 undefined 2600）
- 5、9、14、20、27、… と続く数列がある。はじめから数えて 8 番目の数はいくつですか。 （ア 61 イ 54 ウ 65 エ 33 undefined 82）
- 1 | 1、2 | 1、2、3 | 1、2、3、4 | … のように、第 k 群が 1 から k までの整数からなる数列がある。はじめから数えて 179 番目の数はいくつですか。
- 3 × 3 のますに 1 から 9 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣（縦・横・対角線のどの列の和も等しい）を作るとき、1 列の和はいくつになりますか。
- 縦 1、横 2 の長方形のタイルを、縦 2、横 4 の床にすき間なく重ならないように敷き詰める。タイルの並べ方は何通りありますか。
- 2、5、10、17、26、37、… と続く数列の 12 番目の数はどれですか。 （ア 146 イ 133 ウ 170 エ 122 undefined 145）
- 1/1 | 1/2、2/2 | 1/3、2/3、3/3 | 1/4、2/4、3/4、4/4 | … のように、第 k 群が分母 k の分数 k 個からなる数列がある。はじめから数えて 50 番目の数はどれですか（約分した形で答える）。 （ア 2/5 イ 1/2 ウ 1 エ 5/9 undefined 1/10）
- 2、6、18、54、… と一定の比で増えていく数列がある。はじめから 6 番目までの数をすべて足すといくつになりますか。 （ア 486 イ 728 ウ 2186 エ 726 undefined 242）
- 43 以上 188 以下の整数のうち、9 で割ると 2 余る数をすべて足すといくつになりますか。
- 4 × 4 のますに 1 から 16 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣（縦・横・対角線のどの列の和も等しい）を作ったところ、次のようになりました（□ は空欄）。右下のますに入る数はどれですか。 16｜3｜2｜13 5｜10｜11｜□ 9｜6｜□｜12 4｜□｜14｜□ （ア 15 イ 8 ウ 1 エ 7 undefined 3）
発展
- 1 | 3、5 | 7、9、11 | 13、15、17、19 | … のように、奇数を第 1 群に 1 個、第 2 群に 2 個、第 3 群に 3 個、… と区切っていく。第 8 群に入る数の和はいくつですか。
- 3 × 3 のますに 1 から 9 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣を作る。左上のますが 6、上の段の中央のますが 7 のとき、左下のますに入る数はいくつですか。 （ア 4 イ 1 ウ 8 エ 2 undefined 3）
- 最初の数が 3 で、「次の数 ＝ 前の数 × 2 ＋ 1」という規則で続く数列がある（3、7、15、31、…）。はじめから数えて 8 番目の数はいくつですか。
- 1、3、5、…、17 の 9 個の奇数を 3 × 3 のますに 1 つずつ入れて、縦・横・対角線のどの列の和も等しくなるようにした。1 列の和はどれですか。 （ア 45 イ 25 ウ 81 エ 21 undefined 27）
- 4、1、8、2、12、4、16、8、… と続く数列がある。はじめから数えて 11 番目の数はいくつですか。 （ア 16 イ 24 ウ 20 エ 1024 undefined 28）
- 同じ長さのマッチ棒で、1 辺がマッチ棒 1 本の正方形を縦 5 個・横 5 個の方眼の形にすき間なく並べます。マッチ棒は全部で何本必要ですか。 （ア 60 本 イ 72 本 ウ 100 本 エ 40 本 undefined 50 本）
数列と規則性・魔方陣 ── 解答
基礎
- 110 初項 5、公差 3 の等差数列。n 番目は 初項 ＋ 公差 × (n − 1) なので、5 ＋ 3 × (36 − 1) ＝ 5 ＋ 105 ＝ 110。公差を n 回足さないこと（1 番目には足していない）。
- 275 11 番目の数（末項）は 5 ＋ 4 × (11 − 1) ＝ 45。等差数列の和は (初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2 なので、(5 ＋ 45) × 11 ÷ 2 ＝ 275。はじめと終わりから順にペアを作ると、どのペアの和も 50 になることから出る公式。
- 12 第 k 群までに入る数の個数は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＝ k(k ＋ 1)/2。第 11 群までで 66 個、第 12 群までで 78 個なので、68 番目の数 68 は第 12 群（その 2 番目）に入る。
- 93 1 個目は 5 本。2 個目からは 1 辺を共有するので、1 個増えるごとに 4 本ずつ増える。5 ＋ 4 × (23 − 1) ＝ 93 本。「最初の 1 本 ＋ 1 個あたり 4 本」と考えて 4 × 23 ＋ 1 でも同じ。
- エ 5 1 列の和は (1 ＋ … ＋ 9) ÷ 3 ＝ 15。中央を通る列は横・縦・対角線 2 本の 4 本あり、その和 15 × 4 ＝ 60 は、全体の和 45 に中央の数を 3 回余分に足したもの。中央 ＝ (60 − 45) ÷ 3 ＝ 5。
- ア 324 初項 4、公比 3 の等比数列。n 番目は 初項 × 公比^(n − 1) なので、4 × 3^4 ＝ 4 × 81 ＝ 324。公比を n 回掛けないこと（1 番目には掛けていない）。項数が少なければ 4 から 3 倍ずつ書き出しても出る。
- ウ 7 1 辺 n 個の正方形の周に並ぶ碁石は 4n − 4 個（4 辺 × n から、2 回数えた角の 4 個を引く。1 辺の角を除いた n − 1 個 × 4 でも同じ）。4n − 4 ＝ 24 → n ＝ 7。24 ÷ 4 ＝ 6 をそのまま答えにしない（角の分だけ 1 個多い）。
- 18 1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2n − 1) ＝ n²（奇数を n 個足すと n²）。n² ＝ 324 → n ＝ 18 段。等差数列の和の公式なら (1 ＋ 35) × 18 ÷ 2 ＝ 324 で確かめられる。
標準
- undefined 2600 200 以下の 8 の倍数は 8 × 1 から 8 × 25 ＝ 200 までの 25 個。8 ＋ 16 ＋ … ＋ 200 ＝ 8 × (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 25) ＝ 8 × 325 ＝ 2600。(初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2 ＝ (8 ＋ 200) × 25 ÷ 2 でも同じ。
- イ 54 となりどうしの差をとると 4、5、6、7、… と 1 ずつ増える等差数列（階差数列）になる。8 番目の数 ＝ 初項 ＋ (差の 1 番目から 7 番目までの和) ＝ 5 ＋ (4 ＋ 10) × 7 ÷ 2 ＝ 5 ＋ 49 ＝ 54。差は n − 1 個しか足さない。
- 8 第 k 群までの項数は k(k ＋ 1)/2。第 18 群までで 171 個なので、179 番目は第 19 群の 179 − 171 ＝ 8 番目。第 19 群は 1、2、3、… と並ぶので、その 8 番目の数は 8。
- 15 1 から 9 までの和は 9 × (9 ＋ 1) ÷ 2 ＝ 45。これが 3 本の横の列に等しく分かれるので、1 列の和は 45 ÷ 3 ＝ 15。公式にすると n(n² ＋ 1)/2。
- 5 横 n の床の並べ方を a(n) とする。左端がタイル 1 枚縦置きなら残りは a(n − 1) 通り、左端が 2 枚横置き（2 × 2 を埋める）なら残りは a(n − 2) 通りなので、a(n) ＝ a(n − 1) ＋ a(n − 2)。a(1) ＝ 1、a(2) ＝ 2 から 1、2、3、5、8、… と前 2 つの和で続き、1、2、3、5 より a(4) ＝ 5 通り。
- undefined 145 となりどうしの差は 3、5、7、9、11、… と 2 ずつ増える。12 番目 ＝ 2 ＋ (3 ＋ 5 ＋ … ＋ 23) ＝ 2 ＋ (3 ＋ 23) × 11 ÷ 2 ＝ 2 ＋ 143 ＝ 145。各項が n² ＋ 1（1 ＋ 1、4 ＋ 1、9 ＋ 1、…）になっていることに気づけば 12² ＋ 1 ＝ 145 と直接出る。
- イ 1/2 第 k 群までの項数は k(k ＋ 1)/2。第 9 群までで 45 個、第 10 群までで 55 個なので、50 番目は第 10 群の 5 番目。第 10 群は分母 10 で分子が 1、2、3、… なので 5/10 ＝ 1/2。
- イ 728 6 番目までを書き出すと 2、6、18、54、162、486。足して 728。等比数列の和の公式 初項 × (公比^n − 1)/(公比 − 1) ＝ 2 × (729 − 1)/2 でも同じ。項数が 7 個までなら書き出して足す方が速く、間違いも少ない。
- 1832 条件に合う数は 47、56、… と公差 9 の等差数列で、最後は 182。個数は (182 − 47) ÷ 9 ＋ 1 ＝ 16 個（＋ 1 を忘れない）。和 ＝ (初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2 ＝ (47 ＋ 182) × 16 ÷ 2 ＝ 1832。
- ウ 1 1 列の和は 4 × (16 ＋ 1) ÷ 2 ＝ 34。空欄が 1 つだけの列から順にうめる。2 段目：34 − (5 ＋ 10 ＋ 11) ＝ 8。3 段目：34 − (9 ＋ 6 ＋ 12) ＝ 7。右端の列：34 − (13 ＋ 8 ＋ 12) ＝ 1。左から 2 列目は 34 − (3 ＋ 10 ＋ 6) ＝ 15 で、4 段目 4 ＋ 15 ＋ 14 ＋ 1 ＝ 34 と合う。4 × 4 の魔方陣は、まず和 34 を出し、空欄が 1 つの列を探す。
発展
- 512 第 7 群までの項数は 28 個なので、第 8 群の最初の数は 28 ＋ 1 番目の奇数 ＝ 2 × 29 − 1 ＝ 57。第 8 群は 57 から始まる 8 個の連続する奇数で、最後は 71。和は (57 ＋ 71) × 8 ÷ 2 ＝ 512。第 k 群の和は k³ になる（1、8、27、64、…）。
- ウ 8 3 × 3 の魔方陣は 1 列の和が 15、中央は 5、中央をはさんで向かい合う 2 数の和は 10。上の段の右端は 15 − 6 − 7 ＝ 2。左下は右上 2 と向かい合うので 10 − 2 ＝ 8。残りも同じ要領でうまり、角には偶数、辺の中央には奇数が入る。
- 511 各項に 1 を足すと 4、8、16、… と 2 倍ずつ増える等比数列になる。よって n 番目 ＋ 1 ＝ 4 × 2^(n − 1)。8 番目は 4 × 2^7 − 1 ＝ 512 − 1 ＝ 511。項数が少なければ、規則どおりに 8 番目まで書き出しても出る。
- undefined 27 9 個の数の和は (1 ＋ 17) × 9 ÷ 2 ＝ 81。3 列に等しく分かれるので 1 列の和は 81 ÷ 3 ＝ 27。使う数が等差数列のとき、中央には 9 個の平均（5 番目に小さい 9）が入り、1 列の和は中央の 3 倍になる。
- イ 24 となりどうしの差がそろわないので 1 つとばしで見る。奇数番目は 4、8、12、… と 4 ずつ増える等差数列、偶数番目は 1、2、4、… と 2 倍ずつ増える等比数列。11 番目は奇数番目の列の 6 番目なので 4 ＋ 4 × 5 ＝ 24。
- ア 60 本 縦の線と横の線に分けて数える。横向きのマッチ棒は、横線が 6 本あり、それぞれ 5 本のマッチ棒でできるので 6 × 5 ＝ 30 本。縦向きも同じく 30 本。合計 60 本。n × n の方眼なら 2n(n ＋ 1) 本。正方形 25 個 × 4 辺 ＝ 100 本は、共有する辺を 2 回数えている。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-18/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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