地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-18

更新 2026-09-14

数列と規則性・魔方陣

この単元でできるようになること

• 等差数列・等比数列の n 番目の数とはじめから n 番目までの和を公式で出せる
• 差が一定でない数列を、階差（となりどうしの差）をとって規則を見つけ、n 番目を求められる
• 群に区切られた数列（群数列）で、「何番目の数はどの群のいくつ目か」「第 n 群の和」を出せる
• 碁石・マッチ棒・タイルの並べ方など、図形の規則性を数列に直して数えられる
• 魔方陣の各列の和の公式と、3 × 3・4 × 4 の基本形の性質を使って、空欄をうめられる

試験での位置づけ

数列と規則性は、数的推理の中で公式で片づく問題と、書き出して規則を見つける問題が半々の単元です。地方上級・国家一般職とも、等差数列の和・階差数列・群数列が出題されやすく、市役所や警察・消防では魔方陣や碁石の並びの問題も見かけます。整数の性質（zs-11）の倍数・余りと、場合の数（zs-16）の数え上げが土台になります。「数を並べて、規則を見つけ、n 番目を式にする」という流れを身につけると、判断推理の操作と手順（zs-08）や平面図形の構成（zs-09）で出てくる規則性の問題にも使えます。

1. 等差数列 ── 「初項 ＋ 公差 × (n − 1)」と「(初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2」

まずここだけ

となりどうしの差が一定の数列が等差数列です。初項 a、公差 d のとき、

n 番目の数 ＝ a ＋ (n − 1)d はじめから n 番目までの和 ＝ (初項 ＋ 末項) × n ÷ 2

3、7、11、15、… の 20 番目は？ → 3 ＋ 19 × 4 ＝ 79 はじめから 20 番目までの和は？ → (3 ＋ 79) × 20 ÷ 2 ＝ 820

和の公式は「はじめと終わりを足すと、どのペアも同じ値になる」ことから出ます（3 ＋ 79 ＝ 7 ＋ 75 ＝ … ＝ 82 が 10 組）。

ここまでできれば十分

1 から n までの和 n(n ＋ 1)/2 と、奇数の和 1 ＋ 3 ＋ … ＋ (2n − 1) ＝ n² は覚えておくと速くなります。「100 以下の 7 の倍数の和」のような問題は、7 ＋ 14 ＋ … ＋ 98 ＝ 7 × (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 14) ＝ 7 × 105 ＝ 735 と、共通の因数をくくり出して計算します。

「a 以上 b 以下で、c で割ると r 余る数の和」は、最初の数と最後の数と個数を出してから和の公式に入れます。個数は（末項 − 初項）÷ 公差 ＋ 1 です。

2. 等比数列と階差数列

まずここだけ

等比数列：となりどうしの比が一定。初項 a、公比 r のとき n 番目は a × rⁿ⁻¹。和は、r ≠ 1 のとき a(rⁿ − 1)/(r − 1) です。

2、6、18、54、… の 6 番目は 2 × 3⁵ ＝ 486、6 番目までの和は 2 × (3⁶ − 1)/(3 − 1) ＝ 3⁶ − 1 ＝ 728

公務員試験では、和の公式を使うより「1 つずつ足す」方が速いことも多いです（項数が 5〜6 個なら書き出す）。

階差数列：差が一定でないとき、となりどうしの差を並べると等差や等比になることがあります。

1、3、7、13、21、31、… → 差は 2、4、6、8、10（等差） n 番目 ＝ 初項 ＋ (差の 1 番目から n − 1 番目までの和) ＝ 1 ＋ (2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2(n − 1)) ＝ 1 ＋ n(n − 1) 10 番目 ＝ 1 ＋ 90 ＝ 91

ここまでできれば十分

差をとってもそろわなければ、もう一度差をとる（第 2 階差）か、1 つとばしで見る（奇数番目と偶数番目で別の規則）か、前 2 つの和（1、1、2、3、5、8、… のフィボナッチ型）を疑います。試験に出る数列は、この 4 つのどれかで見つかることがほとんどです。

漸化式の形「次の項 ＝ 前の項 × 2 ＋ 1」なども、書き出せば規則が見えます（1、3、7、15、31、… ＝ 2ⁿ − 1。ハノイの塔の手数と同じ）。

もう一歩（発展）

n 番目を式にしにくいとき、選択肢の式に n ＝ 1、2、3 を代入して照合するのが実戦的です。3 つ合えばまず正解です。式を作る問題では、階差が等差なら 2 次式、階差の階差が一定でも 2 次式、と見当をつけて a n² ＋ b n ＋ c の係数を決めます。

3. 群数列 ── 「群の最後は全部で何個目か」を先に出す

まずここだけ

数列を区切り（群）で分けた問題は、第 k 群までの項数の合計を先に出すのがコツです。

1 | 2、3 | 4、5、6 | 7、8、9、10 | …（第 k 群に k 個） 第 k 群までの項数 ＝ 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＝ k(k ＋ 1)/2 100 番目の数はどの群か？ → k(k ＋ 1)/2 ≧ 100 となる最小の k は 14（14 × 15/2 ＝ 105）。第 13 群までで 91 個なので、100 番目は第 14 群の 9 番目。この数列では n 番目の数は n なので値は 100

1 | 1、2 | 1、2、3 | 1、2、3、4 | … 100 番目の数は？ → 第 14 群の 9 番目なので 9 第 14 群の和は？ → 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 14 ＝ 105

ここまでできれば十分

分数の群数列（1/1 | 1/2、2/2 | 1/3、2/3、3/3 | …）、奇数の群数列（1 | 3、5 | 7、9、11 | …）も同じ手順です。奇数の群数列では、第 k 群の最初の数は「第 k − 1 群までの項数 × 2 ＋ 1」で出ます。第 k 群の和は、第 k 群の項がすべて奇数で k 個あることから、k³ になるのが有名です（1、3 ＋ 5 ＝ 8、7 ＋ 9 ＋ 11 ＝ 27、…）。

4. 図形の規則性 ── 数列に直す

まずここだけ

碁石・マッチ棒・タイルの問題は、1 番目・2 番目・3 番目を実際に数えて数列にし、差を見て式を作ります。

マッチ棒で正三角形を横一列に n 個つなげて並べるとき、必要な本数は？ 1 個：3 本、2 個：5 本、3 個：7 本 → 差 2 の等差 → 2n ＋ 1 本（最初の 1 本 ＋ 三角形ごとに 2 本）

正方形を横一列に n 個つなげるとき → 4、7、10、… → 3n ＋ 1 本

1 辺に n 個の碁石を正方形の周だけに並べると → 4(n − 1) 個（4 辺 × n から角の重複 4 を引く） 正三角形の周だけなら 3(n − 1) 個

ここまでできれば十分

2 次元に広がる問題（正方形を n × n に並べたときのマッチ棒、正三角形を大きな正三角形に敷き詰めたときの枚数）は差が等差になるので、階差の方法で 2 次式になります。n × n の方眼のマッチ棒は 2n(n ＋ 1) 本（横線 n ＋ 1 本 × n、縦線 n ＋ 1 本 × n）と、縦と横に分けて数えると速く出ます。

三角数 1、3、6、10、15、…（n 番目は n(n ＋ 1)/2）と四角数 1、4、9、16、…（n²）は、図形の問題によく現れる数列です。

5. 魔方陣 ── 各列の和は決まっている

まずここだけ

魔方陣は、n × n のますに 1 から n² までの整数を 1 つずつ入れ、縦・横・対角線のどの列の和も等しくなるように並べたものです。各列の和は、全部の和 n²(n² ＋ 1)/2 を n で割って、

各列の和 ＝ n(n² ＋ 1)/2

ここまでできれば十分

3 × 3 の魔方陣には、次の性質があります。

• 中央は 5（中央を通る 4 本の列の和 15 × 4 ＝ 60 は、全体の和 45 に中央を 3 回余分に足したものなので、中央 ＝ (60 − 45) ÷ 3 ＝ 5）
• 中央をはさんで向かい合う 2 数の和は 10
• 角は偶数（2・4・6・8）、辺の中央は奇数（1・3・7・9）
• 回転・裏返しを同じとみなすと、並べ方は 1 通りだけ

一例： 2 7 6 9 5 1 4 3 8

4 × 4 の魔方陣は各列の和 34。よく使う基本形は「1〜16 を順に書き、対角線上の数だけを中心に関して対称な位置と入れかえる」で作れ、この形では中央 4 ます・四隅 4 ます・各 2 × 2 の区画の和もすべて 34 になります。

もう一歩（発展）

「1〜9 以外の数（たとえば 3〜11、または 1 から 17 までの奇数）で 3 × 3 の魔方陣を作る」問題は、使う 9 個の数が等差数列なら、中央は 9 個の数の平均（＝ 5 番目に小さい数）、各列の和は中央の 3 倍です。1〜17 の奇数なら中央 9、各列の和 27 です。空欄を問う問題は、「中央を通る列の和 ＝ 3 × 中央」と「向かい合う 2 数の和 ＝ 2 × 中央」を使って、分かるますから順にうめます。

6. よくある間違い

7. 解き方の型

1. 数列を見たら、まず差をとる。そろえば等差、そろわなければ差の差・比・1 つとばし・前 2 つの和を疑う
2. n 番目の式ができたら、n ＝ 1、2、3 を代入して元の数列と合うか確かめる
3. 和は「(初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2」。項数は（末項 − 初項）÷ 公差 ＋ 1 で、＋ 1 を忘れない
4. 群数列は「第 k 群までの項数の合計」を先に式にし、何番目がどの群かを決める
5. 魔方陣は各列の和 n(n² ＋ 1)/2 を出し、3 × 3 なら中央 5・向かい合う 2 数の和 10 で空欄をうめる

8. 小テストへ

→ 小テスト（zs-18）

関連する単元

• 前提：zs-11 整数の性質（倍数・約数）、m1-05 文字を使った式（表し方・代入）（中学数学）
• 次に進む：zs-16 場合の数、zs-21 覆面算・虫食い算・記数法の応用
• 同じ考え方を使う：zs-08 操作と手順（ハノイの塔の漸化式）、zs-09 平面図形の構成（タイルの並べ方・図形の個数）、hb-01 等差数列・等比数列、hb-02 和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和（高校数学 B）

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 高等学校「数学 B」教科書（数列・階差数列・群数列）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-18/ ／ 更新 2026-09-14

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