数列と規則性・魔方陣 ── 問題
基礎
- 5、8、11、14、… と一定の差で増えていく数列がある。はじめから数えて 36 番目の数はいくつですか。
- 5、9、13、17、… と一定の差で増えていく数列がある。はじめから 11 番目までの数をすべて足すといくつになりますか。
- 1 | 2、3 | 4、5、6 | 7、8、9、10 | … のように、自然数を第 1 群に 1 個、第 2 群に 2 個、第 3 群に 3 個、… と区切っていく。数 24 は第何群に入りますか。
- 同じ長さのマッチ棒で正六角形を作り、となりどうしが 1 辺を共有するように横一列に 20 個つなげて並べる。マッチ棒は全部で何本必要ですか。
- 3 × 3 のますに 1 から 9 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣（縦・横・対角線のどの列の和も等しい）を作るとき、中央のますに入る数はどれですか。 （ア 3 イ 7 ウ 4 エ 5 undefined 6）
標準
- 1 から 300 までの整数のうち、3 の倍数をすべて足すといくつになりますか。 （ア 14850 イ 15453 ウ 15000 エ 15150）
- 3、5、10、18、29、… と続く数列がある。はじめから数えて 9 番目の数はいくつですか。 （ア 127 イ 103 ウ 211 エ 129 undefined 19）
- 1 | 1、2 | 1、2、3 | 1、2、3、4 | … のように、第 k 群が 1 から k までの整数からなる数列がある。はじめから数えて 130 番目の数はいくつですか。
- 10 × 10 のますに 1 から 100 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣（縦・横・対角線のどの列の和も等しい）を作るとき、1 列の和はいくつになりますか。
- 縦 1、横 2 の長方形のタイルを、縦 2、横 8 の床にすき間なく重ならないように敷き詰める。タイルの並べ方は何通りありますか。
- 2、5、10、17、26、37、… と続く数列の 12 番目の数はどれですか。 （ア 146 イ 133 ウ 170 エ 122 undefined 145）
- 1/1 | 1/2、2/2 | 1/3、2/3、3/3 | 1/4、2/4、3/4、4/4 | … のように、第 k 群が分母 k の分数 k 個からなる数列がある。はじめから数えて 50 番目の数はどれですか（約分した形で答える）。 （ア 2/5 イ 1/2 ウ 1 エ 5/9 undefined 1/10）
発展
- 1 | 3、5 | 7、9、11 | 13、15、17、19 | … のように、奇数を第 1 群に 1 個、第 2 群に 2 個、第 3 群に 3 個、… と区切っていく。第 5 群に入る数の和はいくつですか。
- 3 × 3 のますに 1 から 9 までの整数を 1 つずつ入れて魔方陣を作る。左上のますが 2、上の段の中央のますが 7 のとき、左下のますに入る数はいくつですか。 （ア 3 イ 4 ウ 8 エ 6）
- 最初の数が 3 で、「次の数 ＝ 前の数 × 2 ＋ 2」という規則で続く数列がある（3、8、18、38、…）。はじめから数えて 8 番目の数はいくつですか。
- 1、3、5、…、17 の 9 個の奇数を 3 × 3 のますに 1 つずつ入れて、縦・横・対角線のどの列の和も等しくなるようにした。1 列の和はどれですか。 （ア 45 イ 25 ウ 81 エ 21 undefined 27）
数列と規則性・魔方陣 ── 解答
基礎
- 110 初項 5、公差 3 の等差数列。n 番目は 初項 ＋ 公差 × (n − 1) なので、5 ＋ 3 × (36 − 1) ＝ 5 ＋ 105 ＝ 110。公差を n 回足さないこと（1 番目には足していない）。
- 275 11 番目の数（末項）は 5 ＋ 4 × (11 − 1) ＝ 45。等差数列の和は (初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2 なので、(5 ＋ 45) × 11 ÷ 2 ＝ 275。はじめと終わりから順にペアを作ると、どのペアの和も 50 になることから出る公式。
- 7 第 k 群までに入る数の個数は 1 ＋ 2 ＋ … ＋ k ＝ k(k ＋ 1)/2。第 6 群までで 21 個、第 7 群までで 28 個なので、24 番目の数 24 は第 7 群（その 3 番目）に入る。
- 101 1 個目は 6 本。2 個目からは 1 辺を共有するので、1 個増えるごとに 5 本ずつ増える。6 ＋ 5 × (20 − 1) ＝ 101 本。「最初の 1 本 ＋ 1 個あたり 5 本」と考えて 5 × 20 ＋ 1 でも同じ。
- エ 5 1 列の和は (1 ＋ … ＋ 9) ÷ 3 ＝ 15。中央を通る列は横・縦・対角線 2 本の 4 本あり、その和 15 × 4 ＝ 60 は、全体の和 45 に中央の数を 3 回余分に足したもの。中央 ＝ (60 − 45) ÷ 3 ＝ 5。
標準
- エ 15150 300 以下の 3 の倍数は 3 × 1 から 3 × 100 ＝ 300 までの 100 個。3 ＋ 6 ＋ … ＋ 300 ＝ 3 × (1 ＋ 2 ＋ … ＋ 100) ＝ 3 × 5050 ＝ 15150。(初項 ＋ 末項) × 項数 ÷ 2 ＝ (3 ＋ 300) × 100 ÷ 2 でも同じ。
- イ 103 となりどうしの差をとると 2、5、8、11、… と 3 ずつ増える等差数列（階差数列）になる。9 番目の数 ＝ 初項 ＋ (差の 1 番目から 8 番目までの和) ＝ 3 ＋ (2 ＋ 23) × 8 ÷ 2 ＝ 3 ＋ 100 ＝ 103。差は n − 1 個しか足さない。
- 10 第 k 群までの項数は k(k ＋ 1)/2。第 15 群までで 120 個なので、130 番目は第 16 群の 130 − 120 ＝ 10 番目。第 16 群は 1、2、3、… と並ぶので、その 10 番目の数は 10。
- 505 1 から 100 までの和は 100 × (100 ＋ 1) ÷ 2 ＝ 5050。これが 10 本の横の列に等しく分かれるので、1 列の和は 5050 ÷ 10 ＝ 505。公式にすると n(n² ＋ 1)/2。
- 34 横 n の床の並べ方を a(n) とする。左端がタイル 1 枚縦置きなら残りは a(n − 1) 通り、左端が 2 枚横置き（2 × 2 を埋める）なら残りは a(n − 2) 通りなので、a(n) ＝ a(n − 1) ＋ a(n − 2)。a(1) ＝ 1、a(2) ＝ 2 から 1、2、3、5、8、… と前 2 つの和で続き、1、2、3、5、8、13、21、34 より a(8) ＝ 34 通り。
- undefined 145 となりどうしの差は 3、5、7、9、11、… と 2 ずつ増える。12 番目 ＝ 2 ＋ (3 ＋ 5 ＋ … ＋ 23) ＝ 2 ＋ (3 ＋ 23) × 11 ÷ 2 ＝ 2 ＋ 143 ＝ 145。各項が n² ＋ 1（1 ＋ 1、4 ＋ 1、9 ＋ 1、…）になっていることに気づけば 12² ＋ 1 ＝ 145 と直接出る。
- イ 1/2 第 k 群までの項数は k(k ＋ 1)/2。第 9 群までで 45 個、第 10 群までで 55 個なので、50 番目は第 10 群の 5 番目。第 10 群は分母 10 で分子が 1、2、3、… なので 5/10 ＝ 1/2。
発展
- 125 第 4 群までの項数は 10 個なので、第 5 群の最初の数は 10 ＋ 1 番目の奇数 ＝ 2 × 11 − 1 ＝ 21。第 5 群は 21 から始まる 5 個の連続する奇数で、最後は 29。和は (21 ＋ 29) × 5 ÷ 2 ＝ 125。第 k 群の和は k³ になる（1、8、27、64、…）。
- イ 4 3 × 3 の魔方陣は 1 列の和が 15、中央は 5、中央をはさんで向かい合う 2 数の和は 10。上の段の右端は 15 − 2 − 7 ＝ 6。左下は右上 6 と向かい合うので 10 − 6 ＝ 4。残りも同じ要領でうまり、角には偶数、辺の中央には奇数が入る。
- 638 各項に 2 を足すと 5、10、20、… と 2 倍ずつ増える等比数列になる。よって n 番目 ＋ 2 ＝ 5 × 2^(n − 1)。8 番目は 5 × 2^7 − 2 ＝ 640 − 2 ＝ 638。項数が少なければ、規則どおりに 8 番目まで書き出しても出る。
- undefined 27 9 個の数の和は (1 ＋ 17) × 9 ÷ 2 ＝ 81。3 列に等しく分かれるので 1 列の和は 81 ÷ 3 ＝ 27。使う数が等差数列のとき、中央には 9 個の平均（5 番目に小さい 9）が入り、1 列の和は中央の 3 倍になる。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-18/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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