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小テスト ／ zs-19

平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理）

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平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理） ── 問題

基礎

  1. 上底 2 cm、下底 7 cm、高さ 6 cm の台形の面積は何 cm² ですか。
  2. 直角をはさむ 2 辺の長さが 24 cm と 7 cm の直角三角形があります。斜辺の長さは何 cm ですか。
  3. 相似な 2 つの三角形があり、相似比は 2 : 3 です。小さい方の三角形の面積が 4 cm² のとき、大きい方の三角形の面積は何 cm² ですか。
  4. 対角線の長さが 6 cm と 8 cm のひし形があります。このひし形の 1 辺の長さはどれですか。　（ア 7 cm　イ 10 cm　ウ 4 cm　エ 6 cm　undefined 5 cm）
  5. 半径 5 cm の円 O があり、弦 AB と中心 O の距離が 3 cm です。弦 AB の長さはどれですか。　（ア 10 cm　イ 8 cm　ウ 4√2 cm　エ 4 cm　undefined 6 cm）

標準

  1. 面積 50 cm² の三角形 ABC があります。辺 BC 上に点 D を BD : DC ＝ 4 : 1 となるようにとるとき、三角形 ABD の面積は何 cm² ですか。
  2. 三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC、AD : DB ＝ 3 : 2 です。三角形 ABC の面積が 25 cm² のとき、台形 DBCE の面積は何 cm² ですか。
  3. 半径 6 cm、中心角 90° のおうぎ形の面積はどれですか。　（ア 18π cm²　イ 9π/2 cm²　ウ 9π cm²　エ 3π cm²　undefined 36π cm²）
  4. 1 辺 6 cm の正方形から、その正方形に内接する円（4 辺すべてに接する円）を取り除いた部分の面積はどれですか。　（ア 36 − 9π cm²　イ 36 − 18π cm²　ウ 36 − 36π cm²　エ 36 − 6π cm²　undefined 9π cm²）
  5. 1 辺 8 cm の正三角形の高さはどれですか。　（ア 2√3 cm　イ 4 cm　ウ 4√2 cm　エ 4√3 cm　undefined 8√3 cm）
  6. 半径 5 cm、中心角 30° のおうぎ形の弧の長さはどれですか。　（ア 5π/12 cm　イ 5π/6 cm　ウ 55π/6 cm　エ 25π/12 cm　undefined 5π/3 cm）
  7. 斜辺の長さが 10 cm で、1 つの鋭角が 30° の直角三角形の面積はどれですか。　（ア 25 cm²　イ 25√3 cm²　ウ 50√3 cm²　エ 25√3/2 cm²　undefined 25/2 cm²）

発展

  1. 3 辺の長さが 14 cm、48 cm、50 cm（50 cm が斜辺）の直角三角形に内接する円の半径は何 cm ですか。
  2. AD ∥ BC の台形 ABCD で、AD : BC ＝ 1 : 5 です。対角線 AC と BD の交点を O とし、三角形 AOD の面積が 3 cm² のとき、台形 ABCD の面積は何 cm² ですか。
  3. 面積 105 cm² の三角形 ABC があります。辺 BC 上に BD : DC ＝ 3 : 4 となる点 D をとり、線分 AD 上に AE : ED ＝ 2 : 1 となる点 E をとります。三角形 EBD の面積は何 cm² ですか。
  4. 半径 6 cm の円に内接する正六角形の面積はどれですか。　（ア 36√3 cm²　イ 54 cm²　ウ 108√3 cm²　エ 54√3 cm²　undefined 27√3 cm²）

平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理） ── 解答

基礎

  1. 27　台形の面積 ＝ (上底 ＋ 下底) × 高さ ÷ 2 ＝ (2 ＋ 7) × 6 ÷ 2 ＝ 27 cm²。
  2. 25　三平方の定理より 斜辺² ＝ 24² ＋ 7² ＝ 625。斜辺 ＝ 25 cm。7:24:25 の組を覚えておくと計算せずに出せる。
  3. 9　相似比 2 : 3 なら面積比は 2² : 3² ＝ 4 : 9。4 × 9 ÷ 4 ＝ 9 cm²。
  4. undefined　5 cm　ひし形の対角線は垂直に交わり、互いの中点で交わる。1 辺は 3 cm と 4 cm を直角にはさむ直角三角形の斜辺なので 5 cm。面積は 6 × 8 ÷ 2 ＝ 24 cm²。
  5. イ　8 cm　中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分する。半径 5、距離 3 の直角三角形で残りの辺は 4（3 : 4 : 5）。弦 ＝ 4 × 2 ＝ 8 cm。

標準

  1. 40　三角形 ABD と ACD は高さが同じ（頂点 A から BC までの距離）なので、面積比 ＝ 底辺比 ＝ 4 : 1。50 × 4/5 ＝ 40 cm²。
  2. 16　DE ∥ BC より 三角形 ADE ∽ 三角形 ABC で、相似比は AD : AB ＝ 3 : 5。面積比は 9 : 25。三角形 ADE ＝ 25 × 9/25 ＝ 9 cm²。台形 ＝ 25 − 9 ＝ 16 cm²。
  3. ウ　9π cm²　おうぎ形の面積 ＝ πr² × 中心角/360 ＝ π × 6² × 90/360 ＝ 9π cm²。弧の長さ × 半径 ÷ 2 でも同じ。
  4. ア　36 − 9π cm²　内接円の半径は正方形の 1 辺の半分 ＝ 3 cm。正方形 6² ＝ 36、円 π × 3² ＝ 9π。差 ＝ 36 − 9π cm²。
  5. エ　4√3 cm　頂点から垂線を下ろすと、底辺が半分の 4 cm、斜辺 8 cm、角が 30°・60°・90° の直角三角形ができる。辺の比 1 : 2 : √3 より 高さ ＝ 4 × √3 ＝ 4√3 cm。面積は 8 × 4√3 ÷ 2 ＝ 16√3 cm²。
  6. イ　5π/6 cm　弧の長さ ＝ 円周 × 中心角/360 ＝ 2π × 5 × 30/360 ＝ 5π/6 cm。面積（πr² × 中心角/360）と混同しない。
  7. エ　25√3/2 cm²　30°・60°・90° の直角三角形の辺の比は 1 : 2 : √3。斜辺 10 なので短い辺 5、長い辺 5√3。面積 ＝ 5 × 5√3 ÷ 2 ＝ 25√3/2 cm²。

発展

  1. 6　内接円の半径を r とすると、面積 ＝ r × (3 辺の和) ÷ 2。面積 ＝ 14 × 48 ÷ 2 ＝ 336、3 辺の和 ＝ 112 なので r ＝ 336 × 2 ÷ 112 ＝ 6 cm。直角三角形では r ＝ (a ＋ b − c) ÷ 2 ＝ (14 ＋ 48 − 50) ÷ 2 でも出せる。
  2. 108　三角形 AOD ∽ 三角形 COB（砂時計型）で相似比 1 : 5。面積を AOD ＝ 1k とすると COB ＝ 25k、ABO と DCO はどちらも 5k（底辺比 AO : OC ＝ 1 : 5）。合計 (1 ＋ 25 ＋ 2 × 5)k ＝ 36k。3 ÷ 1 ＝ 3 ＝ k なので 台形 ＝ 36 × 3 ＝ 108 cm²。
  3. 15　底辺比で 2 回しぼる。三角形 ABD ＝ 105 × 3/7 ＝ 45 cm²。三角形 EBD は ABD と底辺 BD が共通で高さが ED : AD ＝ 1 : 3 なので 45 × 1/3 ＝ 15 cm²。
  4. エ　54√3 cm²　正六角形は中心で 1 辺 6 cm の正三角形 6 個に分かれる。正三角形 1 個の面積 ＝ 6 × 3√3 ÷ 2 ＝ 9√3。6 個で 54√3 cm²。

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