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小テスト ／ zs-19

平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理）

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平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理） ── 問題

基礎

  1. 上底 2 cm、下底 7 cm、高さ 6 cm の台形の面積は何 cm² ですか。
  2. 直角をはさむ 2 辺の長さが 3 cm と 4 cm の直角三角形があります。斜辺の長さは何 cm ですか。
  3. 相似な 2 つの三角形があり、相似比は 3 : 5 です。小さい方の三角形の面積が 18 cm² のとき、大きい方の三角形の面積は何 cm² ですか。
  4. 対角線の長さが 6 cm と 8 cm のひし形があります。このひし形の 1 辺の長さはどれですか。　（ア 7 cm　イ 10 cm　ウ 4 cm　エ 6 cm　undefined 5 cm）
  5. 半径 5 cm の円 O があり、弦 AB と中心 O の距離が 3 cm です。弦 AB の長さはどれですか。　（ア 10 cm　イ 8 cm　ウ 4√2 cm　エ 4 cm　undefined 6 cm）
  6. 三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC です。AD ＝ 1 cm、DB ＝ 3 cm、BC ＝ 16 cm のとき、DE の長さはどれですか。　（ア 13 cm　イ 4 cm　ウ 1 cm　エ 19 cm　undefined 12 cm）
  7. 1 辺 6 cm の正方形の各辺の中点を結んで正方形を作り、さらにその正方形の各辺の中点を結んで正方形を作ります。最後にできた正方形の面積はどれですか。　（ア 9 cm²　イ 18 cm²　ウ 6 cm²　エ 12 cm²　undefined 4.5 cm²）

標準

  1. 面積 30 cm² の三角形 ABC があります。辺 BC 上に点 D を BD : DC ＝ 2 : 1 となるようにとるとき、三角形 ABD の面積は何 cm² ですか。
  2. 三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC、AD : DB ＝ 3 : 2 です。三角形 ABC の面積が 125 cm² のとき、台形 DBCE の面積は何 cm² ですか。
  3. 半径 6 cm、中心角 180° のおうぎ形の面積はどれですか。　（ア 36π cm²　イ 6π cm²　ウ 18π cm²　エ 9π cm²　undefined 72π cm²）
  4. 1 辺 12 cm の正方形から、その正方形に内接する円（4 辺すべてに接する円）を取り除いた部分の面積はどれですか。　（ア 144 − 144π cm²　イ 144 − 36π cm²　ウ 144 − 18π cm²　エ 144 − 12π cm²　undefined 144 − 72π cm²）
  5. 1 辺 2 cm の正三角形の高さはどれですか。　（ア 2√3 cm　イ √3 cm　ウ √2 cm　エ 1 cm　undefined √3/2 cm）
  6. 半径 3 cm、中心角 150° のおうぎ形の弧の長さはどれですか。　（ア 7π/2 cm　イ 15π/4 cm　ウ 5π/2 cm　エ 5π cm　undefined 5π/4 cm）
  7. 斜辺の長さが 10 cm で、1 つの鋭角が 30° の直角三角形の面積はどれですか。　（ア 25 cm²　イ 25√3 cm²　ウ 50√3 cm²　エ 25√3/2 cm²　undefined 25/2 cm²）
  8. 半径 15 cm の円 O があります。中心 O から 17 cm 離れた点 P からこの円に接線を引き、接点を T とするとき、線分 PT の長さは何 cm ですか。
  9. 3 辺の長さが 16 cm、30 cm、34 cm の直角三角形に外接する円（3 つの頂点を通る円）の面積はどれですか。　（ア 289π cm²　イ 36π cm²　ウ 64π cm²　エ 120π cm²　undefined 1156π cm²）
  10. 1 辺 8 cm の正方形 ABCD があります。頂点 B を中心とする半径 8 cm の円と、頂点 D を中心とする半径 8 cm の円を正方形の内側にかいたとき、2 つの円が重なる部分（葉の形）の面積はどれですか。　（ア 16π − 32 cm²　イ 128 − 32π cm²　ウ 32π − 64 cm²　エ 32π cm²　undefined 16π cm²）

発展

  1. 3 辺の長さが 3 cm、4 cm、5 cm（5 cm が斜辺）の直角三角形に内接する円の半径は何 cm ですか。
  2. AD ∥ BC の台形 ABCD で、AD : BC ＝ 4 : 5 です。対角線 AC と BD の交点を O とし、三角形 AOD の面積が 48 cm² のとき、台形 ABCD の面積は何 cm² ですか。
  3. 面積 21 cm² の三角形 ABC があります。辺 BC 上に BD : DC ＝ 2 : 1 となる点 D をとり、線分 AD 上に AE : ED ＝ 3 : 4 となる点 E をとります。三角形 EBD の面積は何 cm² ですか。
  4. 半径 6 cm の円に内接する正六角形の面積はどれですか。　（ア 36√3 cm²　イ 54 cm²　ウ 108√3 cm²　エ 54√3 cm²　undefined 27√3 cm²）
  5. 半径 12 cm、中心角 90° のおうぎ形 OAB から、三角形 OAB を取り除いた部分（弦 AB と弧 AB で囲まれた弓形）の面積はどれですか。　（ア 36π + 72 cm²　イ 36π − 36√3 cm²　ウ 36π − 72 cm²　エ 36π cm²　undefined 6π − 72 cm²）
  6. 直角をはさむ 2 辺の長さが 14 cm と 48 cm の直角三角形で、直角の頂点から斜辺に下ろした垂線の長さはどれですか。　（ア 6 cm　イ 336 cm　ウ 31 cm　エ 336/25 cm　undefined 25 cm）
  7. 半径 3 cm の円 O と半径 1 cm の円 O′ があり、中心間の距離 OO′ は 6 cm です。2 つの円の両方に接する直線のうち、2 つの円が直線の同じ側にあるもの（共通外接線）を引き、接点をそれぞれ A、B とします。線分 AB の長さはどれですか。　（ア 2√5 cm　イ 4√3 cm　ウ 6 cm　エ 4√2 cm　undefined 2√7 cm）

平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理） ── 解答

基礎

  1. 27　台形の面積 ＝ (上底 ＋ 下底) × 高さ ÷ 2 ＝ (2 ＋ 7) × 6 ÷ 2 ＝ 27 cm²。
  2. 5　三平方の定理より 斜辺² ＝ 3² ＋ 4² ＝ 25。斜辺 ＝ 5 cm。3:4:5 の組を覚えておくと計算せずに出せる。
  3. 50　相似比 3 : 5 なら面積比は 3² : 5² ＝ 9 : 25。18 × 25 ÷ 9 ＝ 50 cm²。
  4. undefined　5 cm　ひし形の対角線は垂直に交わり、互いの中点で交わる。1 辺は 3 cm と 4 cm を直角にはさむ直角三角形の斜辺なので 5 cm。面積は 6 × 8 ÷ 2 ＝ 24 cm²。
  5. イ　8 cm　中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分する。半径 5、距離 3 の直角三角形で残りの辺は 4（3 : 4 : 5）。弦 ＝ 4 × 2 ＝ 8 cm。
  6. イ　4 cm　DE ∥ BC より 三角形 ADE ∽ 三角形 ABC（ピラミッド型）。相似比は AD : AB ＝ 1 : 4（AD : DB ＝ 1 : 3 ではない）。DE ＝ 16 × 1/4 ＝ 4 cm。
  7. ア　9 cm²　各辺の中点を結ぶと、四隅の直角二等辺三角形 4 つ（合わせてもとの面積の半分）が切り落とされるので、面積は半分になる。36 → 18 → 9 cm²。1 回ごとに 1 辺が 1/√2 倍、面積が 1/2 倍。

標準

  1. 20　三角形 ABD と ACD は高さが同じ（頂点 A から BC までの距離）なので、面積比 ＝ 底辺比 ＝ 2 : 1。30 × 2/3 ＝ 20 cm²。
  2. 80　DE ∥ BC より 三角形 ADE ∽ 三角形 ABC で、相似比は AD : AB ＝ 3 : 5。面積比は 9 : 25。三角形 ADE ＝ 125 × 9/25 ＝ 45 cm²。台形 ＝ 125 − 45 ＝ 80 cm²。
  3. ウ　18π cm²　おうぎ形の面積 ＝ πr² × 中心角/360 ＝ π × 6² × 180/360 ＝ 18π cm²。弧の長さ × 半径 ÷ 2 でも同じ。
  4. イ　144 − 36π cm²　内接円の半径は正方形の 1 辺の半分 ＝ 6 cm。正方形 12² ＝ 144、円 π × 6² ＝ 36π。差 ＝ 144 − 36π cm²。
  5. イ　√3 cm　頂点から垂線を下ろすと、底辺が半分の 1 cm、斜辺 2 cm、角が 30°・60°・90° の直角三角形ができる。辺の比 1 : 2 : √3 より 高さ ＝ 1 × √3 ＝ √3 cm。面積は 2 × √3 ÷ 2 ＝ √3 cm²。
  6. ウ　5π/2 cm　弧の長さ ＝ 円周 × 中心角/360 ＝ 2π × 3 × 150/360 ＝ 5π/2 cm。面積（πr² × 中心角/360）と混同しない。
  7. エ　25√3/2 cm²　30°・60°・90° の直角三角形の辺の比は 1 : 2 : √3。斜辺 10 なので短い辺 5、長い辺 5√3。面積 ＝ 5 × 5√3 ÷ 2 ＝ 25√3/2 cm²。
  8. 8　接線は接点で半径と垂直に交わるので、三角形 OTP は ∠OTP ＝ 90° の直角三角形（斜辺は OP）。PT² ＝ OP² − OT² ＝ 17² − 15² ＝ 64 → PT ＝ 8 cm。8:15:17 の組で計算なしに出せる。斜辺は OP で、PT ではない。
  9. ア　289π cm²　直角三角形の外接円は斜辺が直径（直径に対する円周角は 90°）。半径 ＝ 34 ÷ 2 ＝ 17、面積 ＝ π × (17)² ＝ 289π cm²。内接円の半径 (16 ＋ 30 − 34) ÷ 2 ＝ 6 と混同しない。
  10. ウ　32π − 64 cm²　重なる部分は、半径 8 の四分円 2 つを正方形の中に重ねたときの共通部分。四分円 2 つの面積の和 ＝ 2 × π × 8² ÷ 4 ＝ 32π は、正方形 64 に重なりを 1 回余分に足したものなので、重なり ＝ (四分円 2 つ) − (正方形) ＝ 32π − 64 cm²。「おうぎ形 − 直角二等辺三角形」の弓形（16π − 32）2 つ分でも同じ。

発展

  1. 1　内接円の半径を r とすると、面積 ＝ r × (3 辺の和) ÷ 2。面積 ＝ 3 × 4 ÷ 2 ＝ 6、3 辺の和 ＝ 12 なので r ＝ 6 × 2 ÷ 12 ＝ 1 cm。直角三角形では r ＝ (a ＋ b − c) ÷ 2 ＝ (3 ＋ 4 − 5) ÷ 2 でも出せる。
  2. 243　三角形 AOD ∽ 三角形 COB（砂時計型）で相似比 4 : 5。面積を AOD ＝ 16k とすると COB ＝ 25k、ABO と DCO はどちらも 20k（底辺比 AO : OC ＝ 4 : 5）。合計 (16 ＋ 25 ＋ 2 × 20)k ＝ 81k。48 ÷ 16 ＝ 3 ＝ k なので 台形 ＝ 81 × 3 ＝ 243 cm²。
  3. 8　底辺比で 2 回しぼる。三角形 ABD ＝ 21 × 2/3 ＝ 14 cm²。三角形 EBD は ABD と底辺 BD が共通で高さが ED : AD ＝ 4 : 7 なので 14 × 4/7 ＝ 8 cm²。
  4. エ　54√3 cm²　正六角形は中心で 1 辺 6 cm の正三角形 6 個に分かれる。正三角形 1 個の面積 ＝ 6 × 3√3 ÷ 2 ＝ 9√3。6 個で 54√3 cm²。
  5. ウ　36π − 72 cm²　弓形 ＝ おうぎ形 − 三角形。おうぎ形 ＝ π × 12² × 90/360 ＝ 36π。三角形 OAB は 等しい辺が 12 cm の直角二等辺三角形で、面積 72。差は 36π − 72 cm²。
  6. エ　336/25 cm　面積を 2 通りに表す。底辺 14・高さ 48 で 14 × 48 ÷ 2 ＝ 336。斜辺 50 を底辺にすると高さが求める垂線 h で 50 × h ÷ 2 ＝ 336 → h ＝ 672 ÷ 50 ＝ 336/25 cm。斜辺は三平方で 50（7:24:25）。
  7. エ　4√2 cm　O′ から OA に垂線を下ろすと、AB を 1 辺とする長方形と、斜辺 OO′ ＝ 6、もう 1 辺が半径の差 3 − 1 ＝ 2 の直角三角形ができる。AB² ＝ 6² − 2² ＝ 32 → AB ＝ 4√2 cm。2 つの円が直線の反対側にある共通内接線なら、半径の和 3 ＋ 1 ＝ 4 を使って √(36 − 16) ＝ 2√5 cm になる。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-19/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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