地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-19

更新 2026-09-14

平面図形の計量（面積・相似・三平方の定理）

この単元でできるようになること

• 三角形・台形・ひし形・おうぎ形の面積を、公式を「なぜそうなるか」ごと使える
• 底辺比＝面積比で、線分で分けられた三角形の面積を割り算だけで出せる
• 相似な図形を見つけ、相似比 → 面積比は 2 乗で計算できる
• 三平方の定理と特別な直角三角形（3 : 4 : 5、1 : 1 : √2、1 : 2 : √3）で長さを出せる
• 円・おうぎ形と多角形を組み合わせた「影の部分」の面積を、足し引きで出せる

試験での位置づけ

数的推理の図形問題は、地方上級・国家一般職とも数問はふくまれることが多い分野です。中学数学の範囲（相似・三平方・円）が中心で、高校の三角比や公式はほとんど要りません。その代わり、補助線を引いて「知っている形」に分ける力が問われます。試験問題には図がついていますが、この単元では図を言葉で伝えられる問題にしぼっています。頭の中で図をかきながら読む練習は、本番で「図のどこに注目するか」を決める練習にもなります。判断推理の zs-09 平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡）とは、同じ図形でも「量を計算する」か「形を追う」かで分かれます。

1. 面積 ── 公式より「分け方」

まずここだけ

上底 3 cm、下底 7 cm、高さ 4 cm の台形 → (3 ＋ 7) × 4 ÷ 2 ＝ 20 cm²

台形は「長方形 ＋ 三角形」に分けても同じです（3 × 4 ＋ 4 × 4 ÷ 2 ＝ 12 ＋ 8 ＝ 20）。公式を忘れたら分ければよい、と思っておくと落ち着けます。

ここまでできれば十分

底辺比 ＝ 面積比。高さが同じ 2 つの三角形の面積の比は、底辺の比と同じです。

面積 30 cm² の三角形 ABC で、辺 BC 上に BD : DC ＝ 2 : 3 となる点 D をとる。三角形 ABD の面積は？ A から BC への高さは共通 → 面積比 ＝ BD : DC ＝ 2 : 3 → 30 × 2/5 ＝ 12 cm²

これを 2 回重ねる問題が標準的です。

さらに AD 上に AE : ED ＝ 1 : 2 となる点 E をとる。三角形 EBD は？ 三角形 ABD（12 cm²）と三角形 EBD は底辺 BD が共通で、高さの比は ED : AD ＝ 2 : 3 → 12 × 2/3 ＝ 8 cm²

「共通の底辺か、共通の高さか」を毎回口に出して確認すると、比の向きを間違えません。

もう一歩（発展）

等積変形：平行線の間にある三角形は、頂点を平行線に沿って動かしても面積が変わりません。「平行四辺形の内部の点 P と 4 頂点を結んだ 4 つの三角形のうち、向かい合う 2 つの面積の和は全体の半分」など、面積の関係を式なしで出す問題に使います。

2. 相似 ── 相似比 → 面積比は 2 乗

まずここだけ

相似な図形で、対応する長さの比（相似比）が m : n なら、面積比は m² : n²です。

相似比 2 : 3 の三角形。小さい方が 8 cm² なら、大きい方は 8 × 9/4 ＝ 18 cm²

相似な三角形は、次の 2 つの形で現れます。

• ピラミッド型：三角形 ABC の辺 AB、AC 上に D、E があり DE ∥ BC → 三角形 ADE ∽ 三角形 ABC。相似比は AD : AB（AD : DB ではない）
• 砂時計型：AD ∥ BC の台形 ABCD で対角線の交点を O → 三角形 AOD ∽ 三角形 COB。相似比は AD : BC

ここまでできれば十分

三角形 ABC で DE ∥ BC、AD : DB ＝ 2 : 1、三角形 ABC の面積が 36 cm²。台形 DBCE の面積は？ 相似比は AD : AB ＝ 2 : 3（2 : 1 ではない）→ 面積比 4 : 9 → 三角形 ADE ＝ 36 × 4/9 ＝ 16 → 台形 ＝ 36 − 16 ＝ 20 cm²

砂時計型の台形は、4 つの三角形をまとめて出せます。

AD : BC ＝ 1 : 2 の台形で、三角形 AOD の面積が 3 cm²。台形全体は？ AOD : COB ＝ 1² : 2² ＝ 1 : 4。三角形 ABO と DCO は、AO : OC ＝ 1 : 2 の底辺比から AOD の 2 倍ずつ。 合計 ＝ 1 ＋ 4 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 9 → 3 × 9 ＝ 27 cm²

「AOD ＝ 1、COB ＝ n²、残り 2 つは n ずつ、合計 (1 ＋ n)²」と覚えると速くなります。

もう一歩（発展）

中点連結定理：三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で長さは半分。これはピラミッド型の相似比 1 : 2 の場合です。四角形の 4 辺の中点を結ぶと必ず平行四辺形になり、面積はもとの半分になります。

3. 三平方の定理 ── 特別な三角形を先に疑う

まずここだけ

直角三角形で、直角をはさむ 2 辺を a、b、斜辺を c とすると a² ＋ b² ＝ c²。

計算の前に、次の組に当てはまらないか見ます。

1 辺 6 cm の正三角形の高さ → 3 : 6 : 高さ が 1 : 2 : √3 → 高さ ＝ 3√3 cm、面積 ＝ 6 × 3√3 ÷ 2 ＝ 9√3 cm²

ここまでできれば十分

円と組み合わせる問題は、中心から弦や接点に線を引いて直角三角形を作ります。

半径 5 cm の円で、中心から 3 cm の距離にある弦の長さ 中心から弦に垂線 → 半径 5、距離 3 の直角三角形 → 残り 4 → 弦は 8 cm（垂線は弦を二等分する）

直角三角形の内接円の半径 r は、面積の 2 通りの表し方から出します。

3 辺 6、8、10 の直角三角形。面積 ＝ 6 × 8 ÷ 2 ＝ 24。一方、内心と 3 頂点を結んで 3 つに分けると 面積 ＝ r × (6 ＋ 8 ＋ 10) ÷ 2 ＝ 12r → r ＝ 2 cm 直角三角形だけの近道：r ＝ (a ＋ b − c) ÷ 2 ＝ (6 ＋ 8 − 10) ÷ 2 ＝ 2

もう一歩（発展）

正六角形は中心で正三角形 6 個に分かれるので、1 辺 a の正六角形の面積は 6 × (√3/4)a² ＝ (3√3/2)a²。半径 6 cm の円に内接する正六角形なら 1 辺も 6 cm で、54√3 cm² になります。「円に内接する正多角形」は中心と頂点を結ぶのが第一手です。

4. 円とおうぎ形 ── 影の部分は「足す・引く」

まずここだけ

• 弧の長さ ＝ 2πr × 中心角/360
• おうぎ形の面積 ＝ πr² × 中心角/360

半径 6 cm、中心角 60° → 弧 ＝ 2π × 6 × 1/6 ＝ 2π cm、面積 ＝ π × 36 × 1/6 ＝ 6π cm²

ここまでできれば十分

影の部分の面積は、知っている形の足し引きに直します。

1 辺 4 cm の正方形から内接円を除いた部分 正方形 16 − 円 π × 2² ＝ 16 − 4π cm²

1 辺 a の正方形の、隣り合う 2 頂点を中心とする半径 a の四分円 2 つが重なる葉っぱ形 四分円 2 つ − 正方形 ＝ 2 × (πa²/4) − a² ＝ (π/2 − 1)a²

半径 r、中心角 90° のおうぎ形から直角二等辺三角形を除いた弓形 πr²/4 − r²/2 ＝ (π/4 − 1/2) r²

「おうぎ形 − 三角形」「正方形 − おうぎ形」「半円 ＋ 三角形」のどれかに、たいてい落ちます。

5. よくある間違い

6. 解き方の型

1. 図を頭にかき、直角・平行・等しい長さに印をつける
2. 平行があれば相似（ピラミッド型・砂時計型）を探す。相似比は「全体との比」で
3. 面積を問われたら、公式に入れる前に「底辺比で出せないか」「足し引きで出せないか」を考える
4. 長さを問われたら、直角三角形を作って三平方。まず特別な比の組を疑う
5. 円があれば、中心から接点・弦・頂点へ線を引く

7. 小テストへ

→ 小テスト（zs-19）

関連する単元

• 前提：m3-11 相似な図形、m3-13 相似の利用・面積比と体積比、m3-16 三平方の定理、m1-15 円とおうぎ形（中学数学）
• 次に進む：zs-20 立体の計量（体積・表面積・最短距離）
• 同じ考え方を使う：zs-09 平面図形の構成（折り紙・敷き詰め・軌跡）、h1-12 図形の計量（高校数学 Ⅰ）

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 文部科学省「中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説 数学編」── 相似・三平方の定理・円の扱い

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-19/ ／ 更新 2026-09-14

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