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小テスト ／ zs-20

立体の計量（体積・表面積・最短距離）

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立体の計量（体積・表面積・最短距離） ── 問題

基礎

  1. 縦 4 cm、横 10 cm、高さ 3 cm の直方体の表面積は何 cm² ですか。
  2. 底面の半径が 4 cm、高さが 3 cm の円柱の体積はどれですか。　（ア 56π cm³　イ 16π cm³　ウ 48π cm³　エ 12π cm³　undefined 24π cm³）
  3. 底面が 1 辺 12 cm の正方形で、高さが 6 cm の正四角錐の体積は何 cm³ ですか。
  4. 半径 12 cm の球の体積はどれですか。　（ア 1152π cm³　イ 2304π cm³　ウ 192π cm³　エ 4608π cm³　undefined 6912π cm³）
  5. 底面が、直角をはさむ 2 辺が 2 cm と 8 cm の直角三角形で、高さが 6 cm の三角柱の体積は何 cm³ ですか。
  6. 1 辺 6 cm の立方体の、向かい合う頂点どうしを結ぶ対角線（立体の内部を通る線分）の長さはどれですか。　（ア 6√3 cm　イ 6√2 cm　ウ 12 cm　エ 9 cm　undefined 3√6 cm）
  7. 底面積 60 cm² の円柱形の容器に、深さ 8 cm まで水が入っています。この水をすべて底面積 40 cm² の円柱形の容器に移すと、水の深さは何 cm になりますか。

標準

  1. 底面の半径が 1 cm、母線の長さが 6 cm の円錐があります。側面の展開図（おうぎ形）の中心角は何度ですか。
  2. 底面の半径が 3 cm、母線の長さが 9 cm の円錐の表面積はどれですか。　（ア 27π cm²　イ 72π cm²　ウ 45π cm²　エ 36π cm²　undefined 63π cm²）
  3. 円錐を、頂点から高さの 2 : 1 の位置で底面に平行な平面で切りました。頂点側の小さい円錐の体積が 24 cm³ のとき、底面側に残った立体（円錐台）の体積は何 cm³ ですか。
  4. 縦 6 cm、横 6 cm、高さ 9 cm の直方体があります。1 つの頂点から、その頂点と辺も面も共有しない反対側の頂点まで、直方体の表面を通って行く最短の長さは何 cm ですか。
  5. 半径 3 cm の球を中心を通る平面で 2 つに切ってできた半球の表面積（曲面と切り口の平面をあわせたもの）はどれですか。　（ア 36π cm²　イ 45π cm²　ウ 27π cm²　エ 9π cm²　undefined 18π cm²）
  6. 底面積が 50 cm² の円柱形の容器に水が入っています。この水の中に体積 120 cm³ の石を完全に沈めたとき、水面は何 cm 上がりますか（水はあふれないものとします）。　（ア 1.2 cm　イ 0.6 cm　ウ 4.8 cm　エ 6 cm　undefined 2.4 cm）
  7. 直角をはさむ 2 辺の長さが 8 cm と 2 cm の直角三角形を、長さ 8 cm の辺を軸として 1 回転させてできる立体の体積はどれですか。　（ア 32π cm³　イ 64π/3 cm³　ウ 128π cm³　エ 16π/3 cm³　undefined 32π/3 cm³）
  8. 立方体を、1 つの面に平行な平面で切ったとき、切り口の形はどれですか。　（ア ひし形　イ 正方形　ウ 正三角形　エ 正五角形　undefined 長方形）
  9. 1 辺 6 cm の立方体の表面全体に色を塗ってから、1 辺 1 cm の小さい立方体 216 個に切り分けました。ちょうど 2 面に色が塗られている小さい立方体は何個ありますか。　（ア 72 個　イ 60 個　ウ 48 個　エ 64 個　undefined 50 個）
  10. 縦 20 cm、横 30 cm、高さ 20 cm の直方体の容器に水を満たしてから、横 30 cm の底の辺を床につけたまま静かに傾け、水面が「床につけた辺の真上にある上面の辺」と「底面の反対側の辺」を通る位置になるまで水をこぼしました。容器に残った水の体積はどれですか。　（ア 6,000 cm³　イ 3,000 cm³　ウ 8,000 cm³　エ 4,000 cm³　undefined 12,000 cm³）

発展

  1. 底面の円周の長さが 10 cm、高さが 24 cm の円柱があります。下の底面の円周上の点 A から出発し、側面をちょうど 1 周して A の真上にある上の底面の点 B に至る、側面上の最短の長さは何 cm ですか。
  2. 頂点を下にして置いた円錐形の容器があり、深さは 8 cm、満水のときの水の体積は 256 cm³ です。この容器に深さ 2 cm まで水を入れたとき、水の体積は何 cm³ ですか。
  3. 底面が 1 辺 32 cm の正方形で、高さが 30 cm の正四角錐の表面積は何 cm² ですか。
  4. 母線の長さが 9 cm で、側面の展開図の中心角が 120° の円錐の体積はどれですか。　（ア 27√2π cm³　イ 54√2π cm³　ウ 18π cm³　エ 18√2π cm³　undefined 9√2π cm³）
  5. 直角をはさむ 2 辺の長さが 7 cm と 24 cm の直角三角形を、長さ 7 cm の辺を軸として 1 回転させてできる立体の表面積はどれですか。　（ア 1752π cm²　イ 744π cm²　ウ 1176π cm²　エ 600π cm²　undefined 224π cm²）
  6. 底面の半径が 6 cm の円柱形の容器に水が入っています。この水の中に半径 6 cm の鉄球を完全に沈めたとき、水面は何 cm 上がりますか（水はあふれないものとします）。
  7. 底面の半径が 1 cm、母線の長さが 6 cm の円錐があります。底面の円周上の点 A から出発して側面をちょうど 1 周し、A に戻る経路のうち最も短いものの長さはどれですか。　（ア 6 cm　イ 6√2 cm　ウ 6√3 cm　エ 2π cm　undefined 12 cm）

立体の計量（体積・表面積・最短距離） ── 解答

基礎

  1. 164　向かい合う面が 3 組ある。(4 × 10 ＋ 10 × 3 ＋ 3 × 4) × 2 ＝ (40 ＋ 30 ＋ 12) × 2 ＝ 164 cm²。
  2. ウ　48π cm³　柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ ＝ π × 4² × 3 ＝ 48π cm³。側面積 2πrh（＝ 24π）と混同しない。
  3. 288　錐の体積 ＝ 底面積 × 高さ × 1/3 ＝ 12² × 6 ÷ 3 ＝ 144 × 6 ÷ 3 ＝ 288 cm³。
  4. イ　2304π cm³　球の体積 ＝ (4/3)πr³ ＝ (4/3) × π × 12³ ＝ 2304π cm³。表面積は 4πr² ＝ 576π cm²。
  5. 48　柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ。底面積 ＝ 2 × 8 ÷ 2 ＝ 8。8 × 6 ＝ 48 cm³。
  6. ア　6√3 cm　底面の対角線は 6√2。これと高さ 6 で直角三角形を作ると 対角線² ＝ (6√2)² ＋ 6² ＝ 72 ＋ 36 ＝ 108 → 6√3 cm。1 辺 a の立方体の対角線は √3 a。
  7. 12　水の体積は変わらない。体積 ＝ 60 × 8 ＝ 480 cm³。移した先では 480 ÷ 40 ＝ 12 cm。底面積の比 60 : 40 の逆比で深さが変わる。

標準

  1. 60　側面のおうぎ形の弧の長さ ＝ 底面の円周 2π × 1。半径 6 の円の円周 2π × 6 に対する割合は 1/6 なので、中心角 ＝ 360 × 1/6 ＝ 60°。
  2. エ　36π cm²　側面積 ＝ π × 母線 × 底面の半径 ＝ π × 9 × 3 ＝ 27π。底面積 ＝ π × 3² ＝ 9π。合計 36π cm²。
  3. 57　小さい円錐ともとの円錐は相似で、相似比 2 : 3。体積比は 3 乗で 8 : 27。もとの円錐 ＝ 24 × 27/8 ＝ 81 cm³。円錐台 ＝ 81 − 24 ＝ 57 cm³。
  4. 15　展開図で 2 頂点を結ぶ直線が最短。通る 2 面の組み合わせで長方形の縦横が変わり、候補は √((6＋6)² ＋ 9²)、√((6＋9)² ＋ 6²)、√((6＋9)² ＋ 6²) の 3 つ。いちばん短いのは短い 2 辺を足した組で、√(12² ＋ 9²) ＝ 15 cm。
  5. ウ　27π cm²　曲面は球の表面積 4π × 3² ＝ 36π の半分で 18π。切り口は半径 3 の円で 9π。合計 27π cm²。切り口を忘れて 18π としないこと。
  6. undefined　2.4 cm　上がった分の水の体積 ＝ 石の体積 120 cm³。底面積 50 cm² なので 120 ÷ 50 ＝ 2.4 cm。
  7. undefined　32π/3 cm³　軸の辺 8 cm が高さ、もう一方の辺 2 cm が底面の半径になる円錐。体積 ＝ π × 2² × 8 × 1/3 ＝ 32π/3 cm³。どちらの辺が半径になるかを図で確かめ、錐の 1/3 を忘れない。
  8. イ　正方形　正方形。1 つの面に平行な平面の切り口は、その面と合同な正方形。立方体の切り口は三角形・四角形・五角形・六角形のどれかで、切り口の辺の数は平面が通る面の数と同じ。
  9. ウ　48 個　色が塗られる面の数は、小さい立方体の位置で決まる。頂点にあるもの（3 面）は 8 個、辺の途中（2 面）は 1 辺に 4 個 × 12 辺 ＝ 48 個、面の内側（1 面）は 1 面に 4² ＝ 16 個 × 6 面 ＝ 96 個、内部（0 面）は 4³ ＝ 64 個。合計 8 ＋ 48 ＋ 96 ＋ 64 ＝ 216 で確かめられる。ちょうど 2 面に色が塗られているのは 48 個。
  10. ア　6,000 cm³　残った水は、直角をはさむ 2 辺が 20 cm（縦）と 20 cm（高さ）の直角三角形を底面、奥行き 30 cm を高さとする三角柱。体積 ＝ 20 × 20 ÷ 2 × 30 ＝ 6,000 cm³。容器の容積 12,000 cm³ のちょうど半分になる。

発展

  1. 26　側面を切り開くと、横 10 cm（円周）× 縦 24 cm の長方形になる。A は左下、B は右上の頂点に来るので、最短は長方形の対角線 √(10² ＋ 24²) ＝ √676 ＝ 26 cm。
  2. 4　水の部分ももとの容器と相似な円錐で、相似比は深さの比 2 : 8（最も簡単な整数比で 1 : 4）。体積比は 1 : 64。256 × 1/64 ＝ 4 cm³。深さが半分なら体積は 1/8、という感覚を持っておく。
  3. 3200　側面の二等辺三角形の高さ（頂点から底面の辺の中点までの長さ）は、高さ 30 と底面の 1 辺の半分 16 から √(30² ＋ 16²) ＝ 34 cm。側面 1 枚 ＝ 32 × 34 ÷ 2 ＝ 544、4 枚で 2176。底面 32² ＝ 1024。合計 3200 cm²。
  4. エ　18√2π cm³　中心角 120° は 360° の 1/3 なので、底面の半径 ＝ 母線 × 1/3 ＝ 3 cm。高さ ＝ √(9² − 3²) ＝ √72 ＝ 6√2。体積 ＝ (1/3) × π × 3² × 6√2 ＝ 18√2π cm³。
  5. ウ　1176π cm²　できる立体は底面の半径 24 cm、高さ 7 cm の円錐で、母線は斜辺の 25 cm（7:24:25）。側面積 ＝ π × 母線 × 半径 ＝ π × 25 × 24 ＝ 600π、底面積 ＝ π × 24² ＝ 576π。合計 1176π cm²。側面積に高さ 7 を使わないこと。
  6. 8　上がった分の水の体積 ＝ 球の体積 ＝ (4/3)π × 6³ ＝ 288π cm³。容器の底面積 ＝ π × 6² ＝ 36π cm² なので、上がる高さ ＝ 288π ÷ 36π ＝ 8 cm。π は約分で消える。
  7. ア　6 cm　側面の展開図は半径 6 cm、中心角 360 × 1/6 ＝ 60° のおうぎ形。A はおうぎ形の両端に現れ、最短経路はその 2 点を結ぶ弦。中心角 60° で 2 辺が 6 cm の三角形は正三角形なので、弦 ＝ 6 cm。底面の円周 2π ＝ 約 6.28 cm を 1 周する経路より短い。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-20/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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