地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-20

更新 2026-09-14

立体の計量（体積・表面積・最短距離）

この単元でできるようになること

• 柱・錐・球の体積と表面積を、「底面積 × 高さ」「錐は 1/3」「球は 4/3 πr³・4πr²」で出せる
• 表面積は展開図で数え、円錐の側面（おうぎ形）の中心角と面積を出せる
• 相似な立体は体積比が相似比の 3 乗になることを使って、円錐台や容器の水の体積を出せる
• 立体の表面を通る最短距離を、展開図の上の直線に直して三平方の定理で出せる
• 水を入れる・物を沈める問題を「体積が保存される」の 1 点で処理できる

試験での位置づけ

立体の計量は、平面図形（zs-19）に比べると出題数はやや少なめですが、地方上級・国家一般職とも1 問ふくまれることが多い分野です。出方はほぼ決まっていて、(1) 体積・表面積の計算、(2) 相似な立体の体積比、(3) 展開図に直して最短距離、(4) 容器の水の高さ、の 4 型です。使う公式は中学数学の範囲で、高校の積分や球の公式の証明は不要です。判断推理の zs-10 空間図形（展開図・サイコロ・切断）は「形を追う」問題で、この単元は「量を計算する」問題という分担です。

1. 体積と表面積 ── 公式は 4 つだけ

まずここだけ

底面の半径 3 cm、高さ 5 cm の円柱 → 体積 π × 9 × 5 ＝ 45π cm³、表面積 9π × 2 ＋ (2π × 3) × 5 ＝ 18π ＋ 30π ＝ 48π cm²

円柱の側面は「横 ＝ 底面の円周、縦 ＝ 高さ」の長方形です。表面積の問題は、頭の中で展開図をかいて面を数えるのがいちばん確実です。

ここまでできれば十分

円錐の側面は、半径が母線 l、弧の長さが底面の円周 2πr のおうぎ形です。

• 中心角 ＝ 360° × r/l
• 側面積 ＝ πl² × r/l ＝ πlr（母線 × 半径 × π）
• 表面積 ＝ πr² ＋ πlr ＝ πr(r ＋ l)

底面の半径 3 cm、母線 9 cm の円錐 → 中心角 ＝ 360 × 3/9 ＝ 120°、側面積 ＝ π × 9 × 3 ＝ 27π、表面積 ＝ 9π ＋ 27π ＝ 36π cm²

逆に「中心角 120°、母線 9 cm」と与えられたら、r ＝ 9 × 120/360 ＝ 3 cm と戻し、高さは三平方で √(9² − 3²) ＝ 6√2 cm、体積は (1/3) × 9π × 6√2 ＝ 18√2π cm³ と出します。

正四角錐の表面積は、側面の二等辺三角形の高さ（頂点から底面の辺の中点までの長さ）を、立体の高さ h と底面の 1 辺の半分 a/2 から三平方で出します。

底面 1 辺 6 cm、高さ 4 cm → 側面の三角形の高さ ＝ √(4² ＋ 3²) ＝ 5 cm → 側面 1 枚 6 × 5 ÷ 2 ＝ 15、4 枚で 60、底面 36 → 96 cm²

もう一歩（発展）

半球の表面積は「曲面 2πr² ＋ 切り口の円 πr² ＝ 3πr²」。切り口を数え忘れる間違いが多いところです。半径 r の球がぴったり入る円柱（半径 r、高さ 2r）と球の体積比は 3 : 2、側面積と球の表面積は等しい（どちらも 4πr²）という関係も知っておくと、選択肢の見当をつけるのに使えます。

2. 相似な立体 ── 体積比は 3 乗

まずここだけ

相似比 m : n の立体は、表面積比 m² : n²、体積比 m³ : n³です。

円錐を、頂点から高さの 1 : 1 の位置（半分）で底面に平行に切る。上の小さい円錐ともとの円錐の相似比は 1 : 2 → 体積比 1 : 8。もとの円錐が 80 cm³ なら、小さい円錐は 10 cm³、残りの円錐台は 70 cm³

「高さが半分なら体積は 1/8、体積が半分になる高さは 1/2 ではない」という感覚が、この単元で最初に身につけることです。

ここまでできれば十分

頂点を下にした円錐形の容器に水を入れる問題は、水の部分がもとの容器と相似な円錐になります。

深さ 12 cm、満水 216 cm³ の容器に、深さ 8 cm まで水を入れる。 相似比 8 : 12 ＝ 2 : 3 → 体積比 8 : 27 → 216 × 8/27 ＝ 64 cm³

円錐台の体積は「大きい円錐 − 小さい円錐」で出します。円錐台だけの公式を覚える必要はありません。

3. 最短距離 ── 展開図の上の直線

まずここだけ

立体の表面を通る 2 点間の最短距離は、通る面を平面に開いたとき（展開図）の 2 点を結ぶ直線です。曲面でも同じで、円柱の側面は長方形に、円錐の側面はおうぎ形に開きます。

底面の円周 12 cm、高さ 16 cm の円柱。下の底面の点 A から、側面を 1 周して A の真上の点 B へ。 側面を開くと横 12 × 縦 16 の長方形で、A は左下、B は右上 → 対角線 √(12² ＋ 16²) ＝ 20 cm

ここまでできれば十分

直方体の 1 つの頂点から、反対側の頂点（辺も面も共有しない頂点）まで表面を通る最短距離は、通る 2 面の選び方で 3 通りの展開図ができます。縦 a、横 b、高さ c なら候補は

• √((a ＋ b)² ＋ c²)、√((a ＋ c)² ＋ b²)、√((b ＋ c)² ＋ a²)

で、短い 2 辺を足した組がいちばん短くなります。

縦 3 cm、横 5 cm、高さ 6 cm → 3 ＋ 5 ＝ 8 と 6 の組 → √(8² ＋ 6²) ＝ 10 cm（他の 2 通りは √106、√130）

「最短」と問われたら、必ず 3 通りを比べる（または短い 2 辺を足す）癖をつけてください。対角線 √(a² ＋ b² ＋ c²) は内部を通る長さなので、表面を通る問題では使いません。

もう一歩（発展）

円錐の側面を通って 1 周して戻る最短距離は、展開図のおうぎ形で、同じ点に対応する 2 つの端を結ぶ弦になります。中心角 90° で母線 4 cm なら、直角二等辺三角形の斜辺で 4√2 cm。中心角が 180° を超えると、最短は頂点を通るコース（母線 2 本分）になるので注意が必要です。

4. 水と容器 ── 体積は保存される

まずここだけ

水を移す・傾ける・物を沈める問題は、水の体積は変わらないの 1 点で立式します。

底面積 50 cm² の円柱形の容器に、体積 120 cm³ の石を完全に沈める → 水面は 120 ÷ 50 ＝ 2.4 cm 上がる 底面積 30 cm² の容器に深さ 8 cm の水。これを底面積 40 cm² の容器に移す → 30 × 8 ÷ 40 ＝ 6 cm

ここまでできれば十分

直方体の容器を傾けて水面が底面の対角の辺まで来る問題は、水の部分が三角柱になります。「底面 ＝ 直角三角形、高さ ＝ 容器の奥行き」と読みかえれば、柱の体積の公式で出せます。

5. よくある間違い

6. 解き方の型

1. 立体の種類を決める（柱・錐・球・その組み合わせ）
2. 体積は 底面積 × 高さ（錐は 1/3）。底面の形をまず確定する
3. 表面積は展開図を頭にかき、面を 1 枚ずつ数える。円錐はおうぎ形（半径 ＝ 母線）
4. 相似が見えたら 3 乗。円錐台は「大 − 小」
5. 最短距離は展開図の直線。直方体は 3 通りを比べる
6. 水の問題は「体積が同じ」で式を 1 本

7. 小テストへ

→ 小テスト（zs-20）

関連する単元

• 前提：m1-17 立体の表面積と体積、m3-17 三平方の定理の利用（平面・空間）、zs-19 平面図形の計量
• 次に進む：zs-21 覆面算・虫食い算・記数法の応用（数的推理の残りの単元）
• 同じ考え方を使う：zs-10 空間図形（展開図・サイコロ・立体の切断・投影図）、m3-13 相似の利用・面積比と体積比

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 文部科学省「中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説 数学編」── 空間図形・相似・三平方の定理の扱い

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-20/ ／ 更新 2026-09-14

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