立体の計量（体積・表面積・最短距離） ── 問題
基礎
- 縦 4 cm、横 10 cm、高さ 3 cm の直方体の表面積は何 cm² ですか。
- 底面の半径が 2 cm、高さが 12 cm の円柱の体積はどれですか。 （ア 24π cm³ イ 16π cm³ ウ 96π cm³ エ 48π cm³）
- 底面が 1 辺 9 cm の正方形で、高さが 10 cm の正四角錐の体積は何 cm³ ですか。
- 半径 3 cm の球の体積はどれですか。 （ア 54π cm³ イ 12π cm³ ウ 36π cm³ エ 18π cm³）
- 底面が、直角をはさむ 2 辺が 8 cm と 3 cm の直角三角形で、高さが 3 cm の三角柱の体積は何 cm³ ですか。
- 1 辺 6 cm の立方体の、向かい合う頂点どうしを結ぶ対角線（立体の内部を通る線分）の長さはどれですか。 （ア 6√3 cm イ 6√2 cm ウ 12 cm エ 9 cm undefined 3√6 cm）
標準
- 底面の半径が 1 cm、母線の長さが 9 cm の円錐があります。側面の展開図（おうぎ形）の中心角は何度ですか。
- 底面の半径が 2 cm、母線の長さが 14 cm の円錐の表面積はどれですか。 （ア 28π cm² イ 200π cm² ウ 36π cm² エ 32π cm² undefined 60π cm²）
- 円錐を、頂点から高さの 1 : 3 の位置で底面に平行な平面で切りました。頂点側の小さい円錐の体積が 5 cm³ のとき、底面側に残った立体（円錐台）の体積は何 cm³ ですか。
- 縦 5 cm、横 15 cm、高さ 3 cm の直方体があります。1 つの頂点から、その頂点と辺も面も共有しない反対側の頂点まで、直方体の表面を通って行く最短の長さは何 cm ですか。
- 半径 3 cm の球を中心を通る平面で 2 つに切ってできた半球の表面積（曲面と切り口の平面をあわせたもの）はどれですか。 （ア 36π cm² イ 45π cm² ウ 27π cm² エ 9π cm² undefined 18π cm²）
- 底面積が 50 cm² の円柱形の容器に水が入っています。この水の中に体積 120 cm³ の石を完全に沈めたとき、水面は何 cm 上がりますか（水はあふれないものとします）。 （ア 1.2 cm イ 0.6 cm ウ 4.8 cm エ 6 cm undefined 2.4 cm）
発展
- 底面の円周の長さが 18 cm、高さが 24 cm の円柱があります。下の底面の円周上の点 A から出発し、側面をちょうど 1 周して A の真上にある上の底面の点 B に至る、側面上の最短の長さは何 cm ですか。
- 頂点を下にして置いた円錐形の容器があり、深さは 6 cm、満水のときの水の体積は 32 cm³ です。この容器に深さ 3 cm まで水を入れたとき、水の体積は何 cm³ ですか。
- 底面が 1 辺 30 cm の正方形で、高さが 8 cm の正四角錐の表面積は何 cm² ですか。
- 母線の長さが 9 cm で、側面の展開図の中心角が 120° の円錐の体積はどれですか。 （ア 27√2π cm³ イ 54√2π cm³ ウ 18π cm³ エ 18√2π cm³ undefined 9√2π cm³）
立体の計量（体積・表面積・最短距離） ── 解答
基礎
- 164 向かい合う面が 3 組ある。(4 × 10 ＋ 10 × 3 ＋ 3 × 4) × 2 ＝ (40 ＋ 30 ＋ 12) × 2 ＝ 164 cm²。
- エ 48π cm³ 柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ ＝ π × 2² × 12 ＝ 48π cm³。側面積 2πrh（＝ 48π）と混同しない。
- 270 錐の体積 ＝ 底面積 × 高さ × 1/3 ＝ 9² × 10 ÷ 3 ＝ 81 × 10 ÷ 3 ＝ 270 cm³。
- ウ 36π cm³ 球の体積 ＝ (4/3)πr³ ＝ (4/3) × π × 3³ ＝ 36π cm³。表面積は 4πr² ＝ 36π cm²。
- 36 柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ。底面積 ＝ 8 × 3 ÷ 2 ＝ 12。12 × 3 ＝ 36 cm³。
- ア 6√3 cm 底面の対角線は 6√2。これと高さ 6 で直角三角形を作ると 対角線² ＝ (6√2)² ＋ 6² ＝ 72 ＋ 36 ＝ 108 → 6√3 cm。1 辺 a の立方体の対角線は √3 a。
標準
- 40 側面のおうぎ形の弧の長さ ＝ 底面の円周 2π × 1。半径 9 の円の円周 2π × 9 に対する割合は 1/9 なので、中心角 ＝ 360 × 1/9 ＝ 40°。
- エ 32π cm² 側面積 ＝ π × 母線 × 底面の半径 ＝ π × 14 × 2 ＝ 28π。底面積 ＝ π × 2² ＝ 4π。合計 32π cm²。
- 315 小さい円錐ともとの円錐は相似で、相似比 1 : 4。体積比は 3 乗で 1 : 64。もとの円錐 ＝ 5 × 64/1 ＝ 320 cm³。円錐台 ＝ 320 − 5 ＝ 315 cm³。
- 17 展開図で 2 頂点を結ぶ直線が最短。通る 2 面の組み合わせで長方形の縦横が変わり、候補は √((5＋15)² ＋ 3²)、√((5＋3)² ＋ 15²)、√((15＋3)² ＋ 5²) の 3 つ。いちばん短いのは短い 2 辺を足した組で、√(8² ＋ 15²) ＝ 17 cm。
- ウ 27π cm² 曲面は球の表面積 4π × 3² ＝ 36π の半分で 18π。切り口は半径 3 の円で 9π。合計 27π cm²。切り口を忘れて 18π としないこと。
- undefined 2.4 cm 上がった分の水の体積 ＝ 石の体積 120 cm³。底面積 50 cm² なので 120 ÷ 50 ＝ 2.4 cm。
発展
- 30 側面を切り開くと、横 18 cm（円周）× 縦 24 cm の長方形になる。A は左下、B は右上の頂点に来るので、最短は長方形の対角線 √(18² ＋ 24²) ＝ √900 ＝ 30 cm。
- 4 水の部分ももとの容器と相似な円錐で、相似比は深さの比 3 : 6（最も簡単な整数比で 1 : 2）。体積比は 1 : 8。32 × 1/8 ＝ 4 cm³。深さが半分なら体積は 1/8、という感覚を持っておく。
- 1920 側面の二等辺三角形の高さ（頂点から底面の辺の中点までの長さ）は、高さ 8 と底面の 1 辺の半分 15 から √(8² ＋ 15²) ＝ 17 cm。側面 1 枚 ＝ 30 × 17 ÷ 2 ＝ 255、4 枚で 1020。底面 30² ＝ 900。合計 1920 cm²。
- エ 18√2π cm³ 中心角 120° は 360° の 1/3 なので、底面の半径 ＝ 母線 × 1/3 ＝ 3 cm。高さ ＝ √(9² − 3²) ＝ √72 ＝ 6√2。体積 ＝ (1/3) × π × 3² × 6√2 ＝ 18√2π cm³。
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