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小テスト ／ zs-21

覆面算・虫食い算・記数法の応用

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覆面算・虫食い算・記数法の応用 ── 問題

基礎

  1. 2 進法で表された数 111011 を 10 進法で表すといくつですか。
  2. 10 進法の 113 を 6 進法で表しなさい。
  3. 2 進法で表された 10100 と 1101 の和を、2 進法で表しなさい。
  4. 2 桁の自然数 AB（十の位が A、一の位が B）と、その位を入れかえた BA の和は 121、差は 27 です。A ＞ B のとき、AB はどれですか。　（ア 83　イ 74　ウ 92　エ 65　undefined 47）
  5. 3 桁の自然数 N について、N の各位の数字を逆の順に並べた数を M とします（例: N ＝ 351 なら M ＝ 153）。N − M について正しく述べたものはどれですか。　（ア 常に 11 の倍数になるが、99 の倍数になるとはかぎらない　イ 常に 99 の倍数になる　ウ 常に偶数になる　エ N と M の各位の和が等しいので常に 0 になる　undefined 常に 9 の倍数になるが、99 の倍数になるとはかぎらない）
  6. ある自然数を 5 進法で表すと一の位が 0 になりました。この自然数について確実にいえることはどれですか。　（ア 10 の倍数である　イ 5 の倍数である　ウ 2 の倍数である　エ 25 の倍数である　undefined 15 の倍数である）

標準

  1. 2 桁の自然数があります。十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より 27 大きくなります。また各位の数の和は 11 です。もとの数はいくつですか。
  2. 6 進法で表すとちょうど 2 桁になる自然数のうち、最も小さいものを 10 進法で表すといくつですか。
  3. 10 進法の 441 を 3 進法で表したとき、末尾に 0 は何個続きますか。
  4. 10 進法の 210 を N 進法で表したところ 3102 になりました。N はいくつですか。
  5. 次の虫食い算で、□ に入る数字はどれですか（2 つの □ は同じ数字とはかぎりません）。 4□ × 7 ＝ 3□1　（ア 十の位の □ は 5、百の位の次の □ は 1　イ 十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 0　ウ 十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 2　エ 十の位の □ は 8、百の位の次の □ は 3　undefined 十の位の □ は 1、百の位の次の □ は 2）
  6. 2 進法で表された 1011 と、3 進法で表された 102 の和を、5 進法で表すとどれですか。　（ア 22　イ 44　ウ 24　エ 34　undefined 42）
  7. 2 進法で表された数 1011 を 9 進法で表しなさい。
  8. 9 進法で表すとちょうど 2 桁になる自然数は、全部で何個ありますか。　（ア 81 個　イ 64 個　ウ 73 個　エ 72 個　undefined 9 個）
  9. 2 桁の自然数があります。この数は各位の数の和の 4 倍で、十の位の数は一の位の数より 1 小さいです。この数はいくつですか。
  10. A、B、C はそれぞれ異なる 1 桁の数字で、次の覆面算が成り立ちます。A ＋ B ＋ C の値はどれですか。 ABC × 3 ＝ BBB（ABC は 3 桁の数、BBB は 3 桁とも B の数）　（ア 16　イ 12　ウ 13　エ 10　undefined 15）

発展

  1. 3 進法で表された 21 と 22 の積を、3 進法で表しなさい。
  2. 10 進法で 2 桁の自然数のうち、3 進法で表すと 4 桁になるものは何個ありますか。
  3. 3 桁の自然数があります。百の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より 792 大きくなります。十の位の数は 2、各位の数の和は 12 です。もとの数はいくつですか。
  4. A、B、C はそれぞれ異なる 1 桁の数字で、次の覆面算が成り立ちます。A の値はどれですか。 AA ＋ BB ＝ CBC（AA は十の位も一の位も A の 2 桁の数、CBC は 3 桁の数）　（ア 8　イ 7　ウ 5　エ 6　undefined 9）
  5. 9 進法で表すとちょうど 3 桁になる自然数のうち、同じ数字を 2 回以上使っていないものは何個ありますか。　（ア 648 個　イ 336 個　ウ 448 個　エ 504 個　undefined 576 個）
  6. 2 桁の自然数 AB（十の位が A、一の位が B、A ＜ B）と、その位を入れかえた BA の積は 1008 です。AB はどれですか。　（ア 24　イ 36　ウ 42　エ 18　undefined 28）

覆面算・虫食い算・記数法の応用 ── 解答

基礎

  1. 59　右から 1、2、2²、… の位。111011 ＝ 1 × 32 ＋ 1 × 16 ＋ 1 × 8 ＋ 1 × 2 ＋ 1 × 1 ＝ 59。
  2. 305　6 で割り続けて余りを下から読む。113 ÷ 6 ＝ 18 余り 5、18 ÷ 6 ＝ 3 余り 0、3 ÷ 6 ＝ 0 余り 3。余りを下から並べて 305。
  3. 100001　いったん 10 進法に直すと 10100 ＝ 20、1101 ＝ 13。和 33 を 2 進法に直して 100001。2 進法のまま筆算するなら、2 になったら 1 くり上げる。
  4. イ　74　AB ＋ BA ＝ 11(A ＋ B) ＝ 121 → A ＋ B ＝ 11。AB − BA ＝ 9(A − B) ＝ 27 → A − B ＝ 3。よって A ＝ 7、B ＝ 4。74 ＋ 47 ＝ 121、74 − 47 ＝ 27 で確認できる。
  5. イ　常に 99 の倍数になる　N ＝ 100a ＋ 10b ＋ c、M ＝ 100c ＋ 10b ＋ a とすると N − M ＝ 99(a − c)。十の位は消え、差は常に 99 の倍数（0 もふくむ）。351 − 153 ＝ 198 ＝ 99 × 2。
  6. イ　5 の倍数である　5 の倍数である。5 進法の一の位は 1 の位、その上は 5 の位。一の位が 0 なら 5 で割り切れる。10 進法で「末尾に 0 が k 個 → 10^k の倍数」と同じ理屈で、N 進法では「末尾に 0 が k 個 → N^k の倍数」。

標準

  1. 47　十の位を a、一の位を b とすると、(10b ＋ a) − (10a ＋ b) ＝ 9(b − a) ＝ 27 → b − a ＝ 3。a ＋ b ＝ 11 とあわせて b ＝ 7、a ＝ 4。もとの数は 47。
  2. 6　6 進法で 2 桁の数は、10 進法で 6 以上 35 以下（6 の 1 乗以上、6 の 2 乗未満）。最も小さいものは 6。
  3. 2　3 進法で末尾の 0 の個数は、3 で何回割り切れるか（3 の何乗を約数にもつか）に等しい。441 ＝ 3^2 × 7^2 なので 2 個。3 進法で書くと 121100。
  4. 4　3102 の各位を N の累乗で展開して 210 に等しいとおく。3 × N^3 ＋ 1 × N^2 ＋ 2 ＝ 210。N ＝ 4 を入れると成り立つ。桁数から N のおよその大きさをしぼると速い。
  5. イ　十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 0　一の位に注目する。□ × 7 の一の位が 1 になるのは □ ＝ 3 のときだけ（3 × 7 ＝ 21）。43 × 7 ＝ 301 なので、答えの □ は 0。かけ算の虫食い算は、まず一の位の数字から決める。
  6. undefined　42　2 進法の 1011 ＝ 8 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 11。3 進法の 102 ＝ 9 ＋ 2 ＝ 11。和 22 を 5 進法にすると 22 ＝ 4 × 5 ＋ 2 で 42。進法の違う数は、いったん 10 進法にそろえてから計算する。
  7. 12　いったん 10 進法にする。1011（2 進法）＝ 1 × 8 ＋ 1 × 2 ＋ 1 × 1 ＝ 11。次に 11 を 9 で割り続けて余りを下から読む：11 ÷ 9 ＝ 1 余り 2、1 ÷ 9 ＝ 0 余り 1。答えは 12。進法どうしを直接変換しようとせず、10 進法を経由する。
  8. エ　72 個　9 進法で 2 桁の数は、10 進法で 9 以上 80 以下（9 の 1 乗以上、9 の 2 乗未満）。個数は 80 − 9 ＋ 1 ＝ 72 個。先頭の位は 0 以外の 8 通り、残りの 1 桁は 0〜8 の 9 通りずつ、と数えて 8 × 9^1 でも同じ。
  9. 12　十の位を a、一の位を b とすると 10a ＋ b ＝ 4(a ＋ b) → 6a ＝ 3b。十の位が小さいという条件 b ＝ a ＋ 1 を代入して 6a ＝ 3(a ＋ 1) → 3a ＝ 3 → a ＝ 1。よって a ＝ 1、b ＝ 2 で、この数は 12。検算：12 ＝ 4 × (1 ＋ 2) ＝ 4 × 3。
  10. ウ　13　BBB ＝ 111 × B ＝ 3 × 37 × B なので、ABC ＝ 37 × B。B ＝ 1〜9 で 37B を書き出すと 37・74・111・148・185・222・259・296・333。3 桁で十の位が B に一致するのは 148（B ＝ 4）だけ。148 × 3 ＝ 444。A ＋ B ＋ C ＝ 1 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 13。「同じ数字が並ぶ数は 111 の倍数」に気づくと候補が 9 個に絞れる。

発展

  1. 2002　10 進法に直すと 21 ＝ 7、22 ＝ 8。積 56 を 3 進法に直して 2002。かけ算は 10 進法を経由するのが安全。
  2. 54　10 進法で 2 桁 → 10 以上 99 以下。3 進法で 4 桁 → 27 以上 80 以下。両方を満たす範囲は 27 以上 80 以下で、80 − 27 ＋ 1 ＝ 54 個。
  3. 129　百の位を a、十の位を b、一の位を c とすると、入れかえた差は (100c ＋ 10b ＋ a) − (100a ＋ 10b ＋ c) ＝ 99(c − a) ＝ 792 → c − a ＝ 8。a ＋ c ＝ 12 − 2 ＝ 10。この 2 つから c ＝ 9、a ＝ 1。もとの数は 129。
  4. undefined　9　2 桁どうしの和は最大でも 99 ＋ 88 ＝ 187 なので、3 桁の答えの百の位 C は 1。よって答えは 1B1 で、AA ＋ BB ＝ 11(A ＋ B) は 11 の倍数。101 以上 191 以下の 11 の倍数で「1□1」の形は 121 だけなので B ＝ 2、A ＋ B ＝ 11 より A ＝ 9。99 ＋ 22 ＝ 121。
  5. ウ　448 個　使える数字は 0〜8 の 9 種類。先頭の位は 0 を除いて 8 通り、2 番目の位は先頭で使った数字を除く 8 通り（0 は使える）、3 番目は残りの 7 通り。8 × 8 × 7 ＝ 448 個。10 進法で 3 桁の数字がすべて異なる数が 9 × 9 × 8 ＝ 648 個であるのと同じ数え方。
  6. ア　24　1008 ＝ 2⁴ × 3² × 7。2 桁 × 2 桁で 1008 になる組を作ると 12 × 84、14 × 72、16 × 63、18 × 56、21 × 48、24 × 42、28 × 36。このうち位を入れかえた関係にあるのは 24 × 42 だけ。A ＜ B なので 24。かけ算の覆面算は、素因数分解して 2 桁の組を書き出すのが速い。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-21/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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