地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-21

更新 2026-09-14

覆面算・虫食い算・記数法の応用

この単元でできるようになること

• 覆面算（文字が数字を表す計算）を、最上位のくり上がり・一の位・同じ文字は同じ数字の 3 つの手がかりで解ける
• 虫食い算（□ に数字を入れる筆算）を、かけ算は一の位から、割り算は部分積の桁数から決められる
• 桁を入れかえた数の関係を 10a ＋ b の形で式にできる（差は 9 の倍数・99 の倍数）
• N 進法と 10 進法を行き来し、N 進法どうしの足し算・かけ算、桁数や末尾の 0 の個数を求められる

試験での位置づけ

覆面算・虫食い算は、数的推理の中では出題数は多くないものの、地方上級・国家一般職で数年に一度は見かける型です。解き方は「候補をしぼって試す」に尽きるので、しぼり方の手順を知っているかどうかで時間が大きく変わります。記数法（N 進法）は zs-11 整数の性質でも扱いますが、この単元では「N 進法の足し算・かけ算」「桁数から範囲を決める」「末尾の 0」といった応用の出方をまとめます。判断推理の zs-08 操作と手順（天秤・油分け算）と同じく、「場合を絞る」思考の練習になります。

1. 覆面算 ── 手がかりは 3 つ

まずここだけ

覆面算は、同じ文字は同じ数字、違う文字は違う数字、先頭の文字は 0 でない、という約束で「文字がどの数字か」を当てる問題です。手がかりは次の 3 つで、この順に見ると速く決まります。

1. 最上位のくり上がり：2 桁 ＋ 2 桁が 3 桁になったら、百の位は必ず 1（最大でも 99 ＋ 98 ＝ 197）
2. 一の位：くり上がりの影響を受けないので、まず一の位の候補を出す
3. 同じ文字が複数の位にあるところ：11(A ＋ B)、9(A − B) のように倍数の形に直せる

AA ＋ BB ＝ CBC（A、B、C は異なる 1 桁の数字） 手がかり 1：C ＝ 1。答えは 1B1 の形 手がかり 3：AA ＋ BB ＝ 11A ＋ 11B ＝ 11(A ＋ B) は 11 の倍数。101〜191 の 11 の倍数で「1□1」の形は 121 だけ → B ＝ 2、A ＋ B ＝ 11 → A ＝ 9 検算：99 ＋ 22 ＝ 121 ✓

ここまでできれば十分

桁を入れかえた数は覆面算の定番です。2 桁の数 AB を 10A ＋ B と書くと、

• AB ＋ BA ＝ 11(A ＋ B)　→ 和は必ず 11 の倍数
• AB − BA ＝ 9(A − B)　→ 差は必ず 9 の倍数

AB ＋ BA ＝ 121、AB − BA ＝ 27 A ＋ B ＝ 11、A − B ＝ 3 → A ＝ 7、B ＝ 4 → 74

3 桁の数 ABC（100A ＋ 10B ＋ C）と、百の位と一の位を入れかえた CBA の差は 99(A − C) で、十の位は消えます。「差が 396 → A − C ＝ 4」のように、差を 99 で割ったものがそのまま百の位と一の位の差になります。

もう一歩（発展）

「A ＋ B ＝ 11、A − B ＝ 3」のような 2 つの式が立ったあとは、和と差の偶奇が一致していることを確認してください。和が偶数なら差も偶数、和が奇数なら差も奇数でないと整数解がありません。合わないときは、くり上がりの見落としを疑います。

2. 虫食い算 ── 一の位と桁数で決める

まずここだけ

かけ算の虫食い算は、一の位から決めます。□ × 7 の一の位が 1 になる □ は 3 だけ（3 × 7 ＝ 21）のように、九九の一の位はたいてい 1 通りに決まります（偶数 × 5 のような例外を除く）。

4□ × 7 ＝ 3□1 一の位：□ × 7 の一の位が 1 → □ ＝ 3 → 43 × 7 ＝ 301 → 答えの □ は 0

ここまでできれば十分

割り算の虫食い算は、部分積の桁数と「引いたら 0 になる」場所が手がかりです。

• 割る数 × 商の 1 桁 が 3 桁なら、商のその位は大きい（割る数が 2 桁の 2□ なら 5 以上）
• 途中で「下ろした桁をそのまま次も下ろす」場所があれば、商のその位は 0

「候補を 2〜3 個に絞って、全部試す」のが結局いちばん速い、という場面が多い分野です。試す前に絞ることだけ意識してください。

3. 記数法 ── 10 進法を経由する

まずここだけ

N 進法は、右から 1、N、N²、N³、… の位です。

• N 進法 → 10 進法：各位に N の累乗をかけて足す。5 進法の 243 ＝ 2 × 25 ＋ 4 × 5 ＋ 3 ＝ 73
• 10 進法 → N 進法：N で割り続けて余りを下から読む。73 ÷ 5 ＝ 14 余り 3、14 ÷ 5 ＝ 2 余り 4、2 ÷ 5 ＝ 0 余り 2 → 243

N 進法の 1 つの位に使える数字は 0 から N − 1 まで。5 進法に 5 や 6 の数字は出てきません。

ここまでできれば十分

N 進法どうしの計算は、10 進法にそろえてから計算し、答えを N 進法に戻すのが確実です。

2 進法の 1011 ＋ 3 進法の 102 を 5 進法で 1011(2) ＝ 8 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 11、102(3) ＝ 9 ＋ 2 ＝ 11 → 和 22 → 22 ＝ 4 × 5 ＋ 2 → 42(5)

同じ N 進法どうしの足し算なら、そのまま筆算もできます。「N になったら 1 くり上げる」だけです（3 進法で 2 ＋ 2 ＝ 11）。かけ算は 10 進法を経由する方が間違えません。

桁数から範囲を決める問題は、「N 進法で k 桁」を「N^(k−1) 以上 N^k 未満」と読みかえます。

10 進法で 3 桁（100〜999）の自然数のうち、8 進法で 3 桁（64〜511）になるもの → 100〜511 の 412 個

N が分からない問題は、桁数でおよその大きさをしぼってから試します。

10 進法の 80 を N 進法で表したら 120 になった。N は？ N² ＋ 2N ＝ 80 → N ＝ 8（N ＝ 9 なら 99、N ＝ 7 なら 63 で合わない）

もう一歩（発展）

末尾の 0 の個数：N 進法で表したとき末尾に 0 が k 個続くのは、その数が N^k で割り切れて N^(k＋1) では割り切れないときです。10 進法で末尾に 0 が続く個数が「10 ＝ 2 × 5 で何回割れるか」で決まるのと同じ理屈です。2 進法の 252 は 252 ＝ 2² × 63 なので末尾の 0 は 2 個（11111100）。

N 進法の数の各位の和と N − 1 の倍数の関係も知っておくと役立ちます。10 進法で「各位の和が 9 の倍数なら 9 の倍数」と同じ理屈で、N 進法では「各位の和が N − 1 の倍数ならもとの数も N − 1 の倍数」です。

4. よくある間違い

5. 解き方の型

1. 覆面算：最上位のくり上がり → 一の位 → 同じ文字の倍数の形、の順に見る
2. 桁の入れかえは 10a ＋ b の式にして、和は 11 の倍数・差は 9 の倍数（3 桁は 99 の倍数）を使う
3. 虫食い算：かけ算は一の位から、割り算は部分積の桁数から。候補が 2〜3 個になったら全部試す
4. 記数法：10 進法を経由する。位取りは右から 1、N、N²
5. 桁数は「N^(k−1) 以上 N^k 未満」、末尾の 0 は「N で何回割れるか」

6. 小テストへ

→ 小テスト（zs-21）

関連する単元

• 前提：zs-11 整数の性質（約数・倍数・余り・N 進法）、m1-04 四則の混じった計算・素因数分解（中学数学）
• 次に進む：zs-22 実数の表とグラフ（資料解釈へ）
• 同じ考え方を使う：zs-08 操作と手順（天秤・油分け算・ハノイの塔）、ha-08 n 進法・合同式の考え方（高校数学 A）

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説 数学編」── 数学 A「数学と人間の活動」（記数法）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-21/ ／ 更新 2026-09-14

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