小テスト／ zs-21

覆面算・虫食い算・記数法の応用

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覆面算・虫食い算・記数法の応用 ── 問題

2 進法で表された数 111011 を 10 進法で表すといくつですか。
10 進法の 113 を 6 進法で表しなさい。
2 進法で表された 10100 と 1101 の和を、2 進法で表しなさい。
2 桁の自然数 AB（十の位が A、一の位が B）と、その位を入れかえた BA の和は 121、差は 27 です。A ＞ B のとき、AB はどれですか。　（ア 83　イ 74　ウ 92　エ 65　undefined 47）
3 桁の自然数 N について、N の各位の数字を逆の順に並べた数を M とします（例: N ＝ 351 なら M ＝ 153）。N − M について正しく述べたものはどれですか。　（ア必ず 11 の倍数になるが、99 の倍数になるとはかぎらない　イ必ず 99 の倍数になる　ウ必ず偶数になる　エ N と M の各位の和が等しいので必ず 0 になる　undefined 必ず 9 の倍数になるが、99 の倍数になるとはかぎらない）

2 桁の自然数があります。十の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より 18 大きくなります。また各位の数の和は 16 です。もとの数はいくつですか。
4 進法で表すとちょうど 3 桁になる自然数のうち、最も大きいものを 10 進法で表すといくつですか。
10 進法の 402 を 3 進法で表したとき、末尾に 0 は何個続きますか。
10 進法の 237 を N 進法で表したところ 22210 になりました。N はいくつですか。
次の虫食い算で、□ に入る数字はどれですか（2 つの □ は同じ数字とはかぎりません）。 4□ × 7 ＝ 3□1　（ア十の位の □ は 5、百の位の次の □ は 1　イ十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 0　ウ十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 2　エ十の位の □ は 8、百の位の次の □ は 3　undefined 十の位の □ は 1、百の位の次の □ は 2）
2 進法で表された 1011 と、3 進法で表された 102 の和を、5 進法で表すとどれですか。　（ア 22　イ 44　ウ 24　エ 34　undefined 42）

5 進法で表された 43 と 4 の積を、5 進法で表しなさい。
10 進法で 3 桁の自然数のうち、7 進法で表すと 4 桁になるものは何個ありますか。
3 桁の自然数があります。百の位の数と一の位の数を入れかえた数は、もとの数より 396 大きくなります。十の位の数は 2、各位の数の和は 12 です。もとの数はいくつですか。
A、B、C はそれぞれ異なる 1 桁の数字で、次の覆面算が成り立ちます。A の値はどれですか。 AA ＋ BB ＝ CBC（AA は十の位も一の位も A の 2 桁の数、CBC は 3 桁の数）　（ア 8　イ 7　ウ 5　エ 6　undefined 9）

59　右から 1、2、2²、… の位。111011 ＝ 1 × 32 ＋ 1 × 16 ＋ 1 × 8 ＋ 1 × 2 ＋ 1 × 1 ＝ 59。
305　6 で割り続けて余りを下から読む。113 ÷ 6 ＝ 18 余り 5、18 ÷ 6 ＝ 3 余り 0、3 ÷ 6 ＝ 0 余り 3。余りを下から並べて 305。
100001　いったん 10 進法に直すと 10100 ＝ 20、1101 ＝ 13。和 33 を 2 進法に直して 100001。2 進法のまま筆算するなら、2 になったら 1 くり上げる。
イ　74　AB ＋ BA ＝ 11(A ＋ B) ＝ 121 → A ＋ B ＝ 11。AB − BA ＝ 9(A − B) ＝ 27 → A − B ＝ 3。よって A ＝ 7、B ＝ 4。74 ＋ 47 ＝ 121、74 − 47 ＝ 27 で確認できる。
イ　必ず 99 の倍数になる　N ＝ 100a ＋ 10b ＋ c、M ＝ 100c ＋ 10b ＋ a とすると N − M ＝ 99(a − c)。十の位は消え、差は必ず 99 の倍数（0 もふくむ）。351 − 153 ＝ 198 ＝ 99 × 2。

79　十の位を a、一の位を b とすると、(10b ＋ a) − (10a ＋ b) ＝ 9(b − a) ＝ 18 → b − a ＝ 2。a ＋ b ＝ 16 とあわせて b ＝ 9、a ＝ 7。もとの数は 79。
63　4 進法で 3 桁の数は、10 進法で 16 以上 63 以下（4 の 2 乗以上、4 の 3 乗未満）。最も大きいものは 63。
1　3 進法で末尾の 0 の個数は、3 で何回割り切れるか（3 の何乗を約数にもつか）に等しい。402 ＝ 2 × 3 × 67 なので 1 個。3 進法で書くと 112220。
3　22210 の各位を N の累乗で展開して 237 に等しいとおく。2 × N^4 ＋ 2 × N^3 ＋ 2 × N^2 ＋ 1 × N ＝ 237。N ＝ 3 を入れると成り立つ。桁数から N のおよその大きさをしぼると速い。
イ　十の位の □ は 3、百の位の次の □ は 0　一の位に注目する。□ × 7 の一の位が 1 になるのは □ ＝ 3 のときだけ（3 × 7 ＝ 21）。43 × 7 ＝ 301 なので、答えの □ は 0。かけ算の虫食い算は、まず一の位の数字から決める。
undefined　42　2 進法の 1011 ＝ 8 ＋ 2 ＋ 1 ＝ 11。3 進法の 102 ＝ 9 ＋ 2 ＝ 11。和 22 を 5 進法にすると 22 ＝ 4 × 5 ＋ 2 で 42。進法の違う数は、いったん 10 進法にそろえてから計算する。

332　10 進法に直すと 43 ＝ 23、4 ＝ 4。積 92 を 5 進法に直して 332。かけ算は 10 進法を経由するのが安全。
657　10 進法で 3 桁 → 100 以上 999 以下。7 進法で 4 桁 → 343 以上 2400 以下。両方を満たす範囲は 343 以上 999 以下で、999 − 343 ＋ 1 ＝ 657 個。
327　百の位 a、一の位 c とすると、十の位を b とすると、入れかえた差は (100c ＋ 10b ＋ a) − (100a ＋ 10b ＋ c) ＝ 99(c − a) ＝ 396 → c − a ＝ 4。a ＋ c ＝ 12 − 2 ＝ 10。この 2 つから c ＝ 7、a ＝ 3。もとの数は 327。
undefined　9　2 桁どうしの和は最大でも 99 ＋ 88 ＝ 187 なので、3 桁の答えの百の位 C は 1。よって答えは 1B1 で、AA ＋ BB ＝ 11(A ＋ B) は 11 の倍数。101 以上 191 以下の 11 の倍数で「1□1」の形は 121 だけなので B ＝ 2、A ＋ B ＝ 11 より A ＝ 9。99 ＋ 22 ＝ 121。

受験のしらべ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-21/test/ ／問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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