中2 数学 ／ 数と式 ／ m2-01
単項式と多項式の計算
この単元でできるようになること
- 単項式・多項式・次数の意味がわかり、式を分類できる
- 文字が2種類以上ある多項式の同類項をまとめられる
- 多項式のたし算・ひき算、多項式と数のかけ算・わり算ができる
- 単項式どうしのかけ算・わり算（累乗を含む）ができる
- かけ算とわり算が混ざった単項式の計算を、分数の形にして処理できる
入試での位置づけ
計算問題として出題されやすい単元で、とくに 単項式の乗除（6a²b ÷ 3ab × 2b など） は定番です。中3の展開・因数分解・平方根の計算は、ここでの「累乗の扱い」「係数と文字を分けて計算する」が前提になります。中1の一次式の計算（m1-06）を、文字の種類が増えても同じ手順でこなせるようにするのが目標です。
1. 単項式と多項式
まずここだけ
| 言葉 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 数や文字のかけ算だけでできた式 | 3x、−2ab、x²、5 | |
| 単項式の和の形の式（項が2つ以上） | 3x + 2y、a² − 3a + 1 |
多項式の各単項式を 項 といい、3x + 2y の項は 3x と 2y です。
次数
単項式で、かけ合わされている文字の個数を といいます。
- 3x → 文字は x が 1 個 → 次数 1
- −2ab → a と b で 2 個 → 次数 2
- 5x²y → x が 2 個、y が 1 個で 3 個 → 次数 3
- 7（数だけ）→ 次数 0
多項式の次数は、各項の次数のうち最大のものです。x² − 3x + 1 は 2 次式、3ab + a は 2 次式、2x + y − 5 は 1 次式。
よくある間違い
- 3x² の次数を「3」と答える → 係数の 3 は関係ない。x² なので次数 2
- 多項式の次数を「項の数」と混同する → x² − 3x + 1 は 3 項だが 2 次式
- x² + xy の次数を 3 とする → 各項の最大 = 2
2. 同類項をまとめる ── 文字が複数でも同じ
まずここだけ
文字の部分がまったく同じ項が同類項です。文字が2種類以上あっても、考え方は m1-06 と同じです。
3x + 2y − x + 5y → x の項：3x − x = 2x、y の項：2y + 5y = 7y → 2x + 7y
x² − 3x + 4x² + x → x² の項：x² + 4x² = 5x²、x の項：−3x + x = −2x → 5x² − 2x
x² と x は同類項ではありません（文字の個数が違う）。x² + x はこれ以上まとまりません。
例
| 式 | 答え |
|---|---|
| 5a + 2b − 3a + b | 2a + 3b |
| 2ab − 5a + ab + 3a | 3ab − 2a |
| 4x² − x + 2 − x² + 3x | 3x² + 2x + 2 |
| xy + x − xy | x |
よくある間違い
- x² + x を x³ にする → 同類項でない項はまとめない
- ab と ba を別の項と思う → ab = ba（かける順は関係ない）。同類項
- 2ab − 5a で ab と a をまとめる → 文字の部分が違う（ab と a）
3. 多項式のたし算・ひき算
まずここだけ
かっこを外して同類項をまとめます。ひき算はかっこの中の全部の項の符号を変える（m1-06 と同じ）。
(3x + 2y) + (x − 5y) = 3x + 2y + x − 5y = 4x − 3y (3x + 2y) − (x − 5y) = 3x + 2y − x + 5y = 2x + 7y
(2a² − a + 3) − (a² + 4a − 1) = 2a² − a + 3 − a² − 4a + 1 = a² − 5a + 4
多項式 × 数、多項式 ÷ 数
分配法則で全部の項にかける（わる）。
3(2x − 4y + 1) = 6x − 12y + 3 −2(a² − 3a + 5) = −2a² + 6a − 10 (8x − 12y) ÷ 4 = 2x − 3y (6a² − 9a) ÷ (−3) = −2a² + 3a
かっこが2つ
2(x − 3y) − 3(2x + y) = 2x − 6y − 6x − 3y = −4x − 9y
分数の形
(x + 2y)/3 − (x − y)/2 → 通分（分母 6）→ (2(x + 2y) − 3(x − y))/6 = (2x + 4y − 3x + 3y)/6 = (−x + 7y)/6
分子にかっこをつけて分配すること、2つ目の分数の分子の符号を全部変えること、の2点で失点が起きます。
ここまでできれば十分
文字が2種類でも「同類項だけまとめる」「ひくときは符号を全部変える」ができれば、多項式の加減は合格です。
4. 単項式のかけ算・わり算
まずここだけ：かけ算
係数どうし、文字どうしをかけます。同じ文字は累乗にします。
3a × 4b = 3 × 4 × a × b = 12ab 2x × 5x = 10 × x × x = 10x² −3a² × 2ab = −6 × a² × a × b = −6a³b（a² × a = a³） (−2x)² = (−2x) × (−2x) = 4x² (−2x)³ = −8x³
累乗の計算のきまり
- a² × a³ = a⁵（指数をたす。a を 2 個と 3 個かけるから）
- (a²)³ = a⁶（指数をかける。a² を 3 回かけるから）
- (ab)² = a²b²（それぞれを 2 乗）
- (2a)³ = 8a³（係数も 3 乗）
わり算
分数の形にして約分します。
6ab ÷ 2a = 6ab / 2a = 3b 8x² ÷ 4x = 8x² / 4x = 2x 12a²b ÷ (−3ab) = −4a 4x ÷ (2/3)x → 逆数をかける：4x × 3/(2x) = 6
分数の係数でわるときは、逆数をかける（m1-03）。(2/3)x の逆数は 3/(2x) です。
かけ算とわり算の混ざった式
全部を分数1つにまとめてから約分します。かけるものは分子、わるものは分母。
6a²b ÷ 3ab × 2b = (6a²b × 2b) / (3ab) = 12a²b² / 3ab = 4ab
8x³ ÷ (−2x)² ÷ x → まず累乗：(−2x)² = 4x² → 8x³ / (4x² × x) = 8x³ / 4x³ = 2
よくある間違い
- 2x × 5x を 10x にする → x × x = x²
- a² × a³ を a⁶ にする → 指数はたす。a⁵（a⁶ になるのは (a²)³）
- 6a²b ÷ 3ab × 2b を、÷ の後ろ全部で割って 6a²b ÷ (3ab × 2b) = 1 にする → 左から順。わるのは 3ab だけ
- (−2x)² を −4x² にする → かっこがあるので (−2)² = +4（m1-03）
- 約分で文字の指数を間違える：a³ / a = a³ とする → a³ ÷ a = a²
もう一歩（発展）：式の値を求める前に整理する
「x = 2、y = −3 のとき、3(x − 2y) − 2(2x − y) の値を求めよ」
いきなり代入せず、先に式を整理します。 3x − 6y − 4x + 2y = −x − 4y → 代入：−2 − 4 × (−3) = −2 + 12 = 10
整理してから代入すると計算量が減り、負の数を代入する回数も減るので、ミスが減ります。入試の「式の値」はほぼこの形です。
5. 自己チェック
- 次数は「かけ合わされている文字の個数」（係数は無関係）か
- 同類項は文字の部分がまったく同じ項だけか（x² と x は別）
- ひき算のかっこは全部の項の符号を変えたか
- 累乗：かけ算は指数をたす、累乗の累乗は指数をかける
- 乗除の混ざった式は分数1つにまとめて約分したか。÷ の後ろだけを分母にしたか
6. 小テストへ
→ 小テスト（m2-01）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第2学年 A 数と式 (1) 文字を用いた式 ── 「簡単な整式の加法と減法及び単項式の乗法と除法の計算」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-01/ ／ 更新 2026-09-12