中1 数学 ／ 数と式 ／ m1-09

更新 2026-09-12

一次方程式の利用 ── 文章題・比例式

この単元でできるようになること

• 文章題を「何を x とおくか → 等しい関係を見つける → 方程式 → 解く → 答えを確かめる」の手順で解ける
• 代金・個数、過不足、速さ、年齢など、よく出る型の式を立てられる
• 比例式（a : b = c : d）を解ける
• 出た解が問題に合っているか（人数が負になっていないか等）を確かめられる

入試での位置づけ

方程式の文章題は出題されやすく、配点も計算問題より大きいことが多い分野です。中2の連立方程式・中3の二次方程式の文章題も、「x とおく → 等しい関係を式にする」の手順はまったく同じなので、ここで型を身につけると3年分の文章題に通用します。式が立てられない人の多くは、方程式の解き方ではなく、m1-07 でやった「等しいものを2つ見つける」で止まっています。

1. 文章題の手順 ── 5つのステップ

まずここだけ

どんな文章題も、次の5ステップで解きます。

1. 何を x とおくか決める（ふつうは「求めたいもの」）
2. 等しい2つの量を見つけて、それぞれ x の式で表す
3. = でつないで方程式にする
4. 方程式を解く
5. 解が問題に合っているか確かめて、単位をつけて答える

ステップ 2 が本体です。「何と何が等しいのか」を日本語で言えれば、式は立ちます。

例：代金の問題

1個 120 円のりんごと 1個 80 円のみかんを合わせて 10 個買ったら、代金は 1000 円だった。りんごは何個買ったか。

1. りんごの個数を x 個 とおく。すると、みかんは (10 − x) 個
2. 等しい2つ：「りんごの代金 + みかんの代金」と「1000 円」 　　りんごの代金 = 120x、みかんの代金 = 80(10 − x)
3. 120x + 80(10 − x) = 1000
4. 120x + 800 − 80x = 1000 → 40x = 200 → x = 5
5. りんご 5 個、みかん 5 個。代金 600 + 400 = 1000 円で合っている。答え：5 個

よくある間違い

• みかんの個数を「x 個」と別の文字にして 2 文字になる → 中1では文字は 1つ。「合わせて 10 個」を使って (10 − x) と表す
• 「x = 5」で終わる → 問われているのは「りんごの個数」。単位をつけて答える（5 個）
• 解の確かめを省く → 計算ミスがあっても気づけない。「代金 1000 円になるか」を代入して確かめる

2. よく出る型

型①：過不足の問題

何人かの子どもにあめを配る。1人に 4 個ずつ配ると 6 個余り、1人に 5 個ずつ配ると 2 個足りない。子どもは何人か。

等しいもの：あめの総数（配り方が変わっても、あめの数は同じ）

• 子どもを x 人とおく
• 4 個ずつで 6 個余る → あめは 4x + 6 個
• 5 個ずつで 2 個足りない → あめは 5x − 2 個
• 4x + 6 = 5x − 2 → x = 8

答え：8 人（あめは 38 個。4 × 8 + 6 = 38、5 × 8 − 2 = 38 で一致）

「余る」は +、「足りない」は − です。「5 個ずつ配ると 2 個足りない」は「あめが 5x 個あれば足りたが、実際は 2 個少ない 5x − 2 個」という意味です。

型②：速さの問題

家から駅まで、行きは分速 60 m で歩き、帰りは分速 90 m で走ったら、往復で 25 分かかった。家から駅までの道のりは何 m か。

等しいもの：行きの時間 + 帰りの時間 = 25 分

• 道のりを x m とおく
• 行きの時間 = 道のり ÷ 速さ = x/60 分、帰り = x/90 分
• x/60 + x/90 = 25
• 分母をはらう（最小公倍数 180）：3x + 2x = 4500 → 5x = 4500 → x = 900

答え：900 m（行き 15 分 + 帰り 10 分 = 25 分で一致）

速さの問題は「時間で等式を作る」か「道のりで等式を作る」のどちらかです。「往復で○分」なら時間、「追いつく」「出会う」なら道のりで作るのが基本です。

型③：追いつく問題

弟が分速 60 m で家を出た 10 分後に、兄が分速 90 m で同じ道を追いかけた。兄は何分後に弟に追いつくか。

等しいもの：追いついた時点で、2人の進んだ道のりが同じ

• 兄が出発してから追いつくまでを x 分とおく
• 兄の道のり = 90x、弟の道のり = 60 × (x + 10)（弟は 10 分早く出ている）
• 90x = 60(x + 10) → 90x = 60x + 600 → 30x = 600 → x = 20

答え：20 分後（兄 1800 m、弟 60 × 30 = 1800 m で一致）

型④：年齢の問題

現在、母は 38 歳、子は 10 歳。母の年齢が子の年齢の 3 倍になるのは何年後か。

等しいもの：（x 年後の母の年齢）=（x 年後の子の年齢）× 3

• x 年後とおく。母 38 + x、子 10 + x
• 38 + x = 3(10 + x) → 38 + x = 30 + 3x → 8 = 2x → x = 4

答え：4 年後（母 42、子 14。42 = 14 × 3 で一致）

型⑤：割合の問題

ある品物に原価の 3 割の利益を見込んで定価をつけたが、売れないので定価の 2 割引きで売ったら、利益は 80 円だった。原価はいくらか。

• 原価を x 円とおく
• 定価 = x × (1 + 0.3) = 1.3x
• 売値 = 1.3x × (1 − 0.2) = 1.04x
• 利益 = 売値 − 原価 = 1.04x − x = 0.04x
• 0.04x = 80 → x = 2000

答え：2000 円（定価 2600、売値 2080、利益 80 で一致）

「3 割」= 0.3、「2 割引き」= 0.8 倍。割合は小数に直してから式にします。

ここまでできれば十分

型①〜③（代金・過不足・速さ）が自力で立式できれば、中1の文章題の中心は押さえています。④⑤は同じ手順の応用です。

3. 比例式

まずここだけ

a : b = c : d のように、2つの比が等しいことを表した式を 比例式 といいます。比例式には次の性質があります。

a : b = c : d ならば、ad = bc（外側どうしの積 = 内側どうしの積）

これを使うと、比例式は一次方程式に直せます。

x : 6 = 5 : 3　→　3x = 30（外側 x と 3、内側 6 と 5）→ x = 10

なぜ ad = bc になるのか

a : b = c : d は「a/b = c/d」と同じ意味です（比の値が等しい）。両辺に bd をかけると ad = bc。分数の方程式を分母をはらったのと同じことです。

例

比例式の文章題

コーヒーとミルクを 5 : 2 の割合で混ぜる。コーヒーを 300 mL 使うとき、ミルクは何 mL か。

ミルクを x mL とおくと 5 : 2 = 300 : x → 5x = 600 → x = 120。答え：120 mL

「同じ割合」「同じ比で」という言葉が出たら、比例式が使えます。

よくある間違い

• 外側と内側を取り違える：x : 6 = 5 : 3 で 6x = 15 とする → 外側どうし（x と 3）、内側どうし（6 と 5）
• 比の順番を逆に書く：「コーヒー : ミルク = 5 : 2」を 2 : 5 にしてしまう → 左右で同じ順番（コーヒー : ミルク = コーヒーの量 : ミルクの量）

もう一歩（発展）：解の吟味

方程式を解いて出た数が、問題の答えとして意味を持つかを確かめることを「解の吟味」といいます。

• 人数・個数が負の数や小数になった → どこかで式が違う
• 「x 個買った」のに x が 10 より大きい（全部で 10 個のはず）→ 立式ミス
• 速さの問題で時間が負 → 立式ミス

「方程式の解」と「問題の答え」は別物です。方程式は正しく解けても、問題の条件に合わなければ答えにはなりません。入試の記述では「x = 5 はこの問題に適している」と一言書く型もあります。

4. 自己チェック

1. 何を x とおいたか、単位つきで書いたか（x 個、x 分、x 円）
2. 等しい2つの量を日本語で言えるか
3. 「余る」は +、「足りない」は − にしたか
4. 速さ：時間 = 道のり ÷ 速さ、道のり = 速さ × 時間 になっているか。単位（分と時間、m と km）はそろっているか
5. 解を問題文に戻して確かめたか。答えに単位をつけたか

5. 小テストへ

→ 小テスト（m1-09）

関連する単元

• 前提：m1-07 関係を表す式、m1-08 一次方程式の解き方
• 次に進む：m1-10 比例
• ここで使う考え方が出てくる：m2-05 連立方程式の利用、m3-07 二次方程式の利用、m3-12 平行線と線分の比（比例式）

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第1学年 A 数と式 (3) 一次方程式 ── 「一次方程式を具体的な場面で活用すること」「簡単な比例式を解くこと」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m1-09/ ／ 更新 2026-09-12

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