地方上級 ／ 数的推理 ／ zs-15

更新 2026-09-14

仕事算・ニュートン算

この単元でできるようになること

• 仕事全体を 1 または 日数の最小公倍数 と置いて、1 日あたりの仕事量で式を立てられる
• 「2 人で何日」「途中で 1 人が休んだ」「A が途中まで、残りを B が」の 3 つの型を同じ手順で解ける
• 水そうに水を入れる・抜く問題を、仕事算と同じ形で解ける
• ニュートン算（草が生える牧場・行列に人が並び続ける窓口）を「はじめの量 ＋ 増える量 × 時間 ＝ 処理した量」の 1 本の式で解ける

試験での位置づけ

仕事算は数的推理の定番で、地方上級・国家一般職とも単独で 1 問出ることがよくあります。式の形は zs-14 の速さ（速さ × 時間 ＝ 距離）とまったく同じで、「1 日あたりの仕事量 × 日数 ＝ 仕事全体」と読みかえるだけです。ニュートン算は「増え続ける量」が加わる分だけ難しく見えますが、式は 1 本増えるだけなので、仕事算が書ければ届きます。後半の zs-17 確率や zs-12 の文章題と比べて、手順が固定されていて練習の成果が出やすい単元です。

1. 仕事算の基本 ── 全体を 1 か最小公倍数に

まずここだけ

「A は 12 日、B は 6 日で終える仕事を 2 人でやると何日か」

仕事の量は書かれていないので、自分で決めます。決め方は 2 つあり、どちらでも同じ答えになります。

• 全体を 1 にする：A は 1 日に 1/12、B は 1/6。2 人で 1/12 ＋ 1/6 ＝ 1/4 → 4 日
• 全体を 最小公倍数 12 にする：A は 1 日に 1、B は 2。2 人で 3 → 12 ÷ 3 ＝ 4 日

分数が苦手なら最小公倍数のほうが速く、間違いも減ります。ただし人数が 3 人以上で公倍数が大きくなるときは 1 のほうが楽です。

1 日の仕事量 × 日数 ＝ 仕事全体

ここまでできれば十分

「2 人で c 日した後、A が 1 人で残りをやる」型は、仕事量を引き算で追います。

A は 10 日、B は 15 日。2 人で 3 日した後、残りを A が 1 人で。A は何日？ 全体を 30 とすると A は 3/日、B は 2/日。2 人で 3 日 → 15。残り 15 を A が 3/日 で → 5 日

「A が p 日した後、残りを B が q 日で」型は、B 1 人の日数を聞かれます。

A は 1 人で 20 日。A が 8 日した後、残りを B が 9 日で仕上げた。B 1 人なら？ A は 8/20 ＝ 2/5 終えたので、残り 3/5 を B が 9 日で → B は 1 日に 1/15 → 15 日

もう一歩（発展）

「途中で 1 人が休んだ」型は、休んだ人の働いた日数を「全体の日数 − 休んだ日数」と置きます。

A は 12 日、B は 6 日。2 人で始めたが B が途中で 3 日休んだ。仕事は全部で何日？ 全体を 12。全部で D 日とすると、A は D 日、B は D − 3 日働く。 1 × D ＋ 2 × (D − 3) ＝ 12 → 3D ＝ 18 → D ＝ 6 日 「休まなければ 4 日」に休んだ 3 日をそのまま足して 7 日、としないこと。B が休んでいる間も A は働いています

3 人のペア「A と B で a 日、B と C で b 日、A と C で c 日」型は、3 本の式をすべて足すと (A ＋ B ＋ C) の 1 日量の 2 倍が出ます。

A と B で 20 日、B と C で 12 日、A と C で 15 日（全体を 60）。 A ＋ B ＝ 3、B ＋ C ＝ 5、A ＋ C ＝ 4 → 2(A ＋ B ＋ C) ＝ 12 → 3 人で 6/日 → 10 日

2. 水そうと管 ── 引き算がある仕事算

まずここだけ

水を入れる管は「仕事をする人」、排水管は「仕事を減らす人」です。

A 管だけなら 20 分、B 管だけなら 30 分で満水。排水管 C は満水を 60 分で空にする。3 本同時に開くと？ 全体を 60。A ＝ 3、B ＝ 2、C ＝ −1 → 1 分に 3 ＋ 2 − 1 ＝ 4 → 60 ÷ 4 ＝ 15 分

排水が多くて合計が 0 以下なら、いつまでも満水になりません。問題文で「満水になる」と書かれていれば、合計は正になります。

ここまでできれば十分

人数 × 日数（延べ人日）の問題も同じ考え方です。「8 人で 15 日かかる仕事」は 120 人日。12 人なら 120 ÷ 12 ＝ 10 日。途中で人が増減する問題は、期間ごとに「人数 × 日数」を出して足します。

3. ニュートン算 ── 増え続ける量

まずここだけ

牧場の草・行列に並ぶ人・水が入り続ける水そう。共通するのは「処理している間にも量が増える」ことです。式は 1 本です。

はじめの量 ＋ 1 日に増える量 × 日数 ＝ 1 日に処理する量 × 日数

未知数は「はじめの量」と「増える量」の 2 つなので、条件が 2 組あれば連立で決まります。

牛 10 頭なら 20 日、15 頭なら 10 日で草を食べ尽くす牧場。牛 30 頭なら何日？（牛 1 頭が 1 日に食べる量を 1 とする） はじめの草 S、1 日に生える草 g。 S ＋ 20g ＝ 10 × 20 ＝ 200、S ＋ 10g ＝ 15 × 10 ＝ 150 → 10g ＝ 50 → g ＝ 5、S ＝ 100 30 頭：100 ＋ 5d ＝ 30d → 25d ＝ 100 → 4 日

ここまでできれば十分

窓口の行列も同じです。「窓口 1 つで 60 分、2 つで 20 分で列がなくなる。3 つなら？」

はじめの行列 Q 人、1 分に r 人来る、窓口 1 つで 1 分に p 人処理。 Q ＋ 60r ＝ 60p、Q ＋ 20r ＝ 40p → 引き算 40r ＝ 20p → p ＝ 2r → Q ＝ 60r 3 つ：60r ＋ rt ＝ 6rt → 5rt ＝ 60r → t ＝ 12 分

r が消えて答えが出るのがニュートン算の特徴です。文字が残っても割り算で消えるので、途中で慌てないでください。

もう一歩（発展）

「増える量を先に引いておく」考え方も速い方法です。牛の例なら、牛 30 頭のうち 5 頭分は生える草を食べるだけなので、残り 25 頭ではじめの草 100 を食べる → 100 ÷ 25 ＝ 4 日。窓口なら、窓口 3 つの処理 6r 人/分 のうち r 人/分 は新しく来る人に消えるので、残り 5r 人/分 で Q ＝ 60r 人を処理 → 12 分。「処理 − 増加 ＝ はじめの量を減らす速さ」と覚えると、最後の計算が 1 行で済みます。

4. よくある間違い

5. 解き方の型

1. 仕事全体を 1 か最小公倍数に決める（数が多ければ最小公倍数）
2. 「1 日（1 分）あたりの量」を人ごと・管ごとに書き出す（排水は負）
3. 「誰が何日働いたか」を表にして、量 × 日数 を足す ＝ 全体 の式にする
4. 増え続ける量があれば「はじめの量 ＋ 増加 × 時間 ＝ 処理 × 時間」を条件の数だけ書く
5. 答えの日数を式に戻して検算する

6. 小テストへ

→ 小テスト（zs-15）

関連する単元

• 前提：zs-13 割合・比・濃度（全体を 1 とみる）・m1-09 一次方程式の利用（中学数学）
• 次に進む：zs-12 方程式と不等式の文章題・zs-14 速さ（同じ「1 あたり × 時間」の式）
• 同じ考え方を使う：m2-05 連立方程式の利用（ニュートン算の 2 本の式）

参考資料

• 人事院「国家公務員採用一般職試験（大卒程度試験）受験案内」── 基礎能力試験の出題分野（数的処理）
• 各都道府県・政令指定都市の職員採用試験受験案内（教養試験の出題分野）
• 中学校数学の教科書（一次方程式・連立方程式の利用）

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koumuin/suteki/zs-15/ ／ 更新 2026-09-14

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